1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 2 10 导数的概念及运算 知识梳理 1变化率与导数 (1)平均变化率 (2)导数 =【 ;精品教育资源文库 】 = 2导数的运算 =【 ;精品教育资源文库 】 = =【 ;精品教育资源文库 】 = 诊断自测 1概念思辨 (1)f( x0)与 (f(x0) 表示的意义相同 ( ) (2)f( x0)是函数 y f(x)在 x x0附近的平均变化率 ( ) (3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线 ( ) (4)曲线 y f(x)在点 P(x0， y0)处的切线与过点 P(x0， y0)的切线相同 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2教材衍化
2、 (1)(选修 A2 2P6例 1)若函数 f(x) 2x2 1 的图象上一点 (1,1)及邻近一点 (1 x,1 y)，则 y x等于 ( ) A 4 B 4x C 4 2 x D 4 2( x)2 答案 C 解析 y (1 y) 1 f(1 x) f(1) 2(1 x)2 1 1 2( x)2 4 x， y x 2 x 4，故选 C. (2)(选修 A2 2P18T7)f(x) cosx 在 ? ? 2 ， 0 处的切线的倾斜角为 _ 答案 34 解析 f( x) (cosx) sinx， f ? ? 2 1， tan 1，所以 34 . 3小题热身 (1)(2014 全国卷 )设曲线 y
3、 ax ln (x 1)在点 (0,0)处的切线方程为 y 2x，则 a ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 答案 D =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 y a 1x 1，当 x 0 时， y a 1 2， a 3，故选 D. (2)(2017 太原模拟 )函数 f(x) xex的图象在点 (1， f(1)处的切线方程是 _ 答案 y 2ex e 解析 f(x) xex， f(1) e， f( x) ex xex， f(1) 2e， f(x)的图象在点 (1， f(1)处的切线方程为 y e 2e(x 1)，即 y2ex e. 题型 1 导数的定义及应用 典例 1已知函数 f(x)
4、3 x 1，则 lim x0f?1 x? f?1? x 的值为 ( ) A 13 B.13 C.23 D 0 用定义法 答案 A 解析 由导数定义， lim x0f?1 x? f?1? x lim x0f?1 x? f?1? x f(1) ，而 f(1) 13， 故选 A. 典例 2已知 f(2) 2， f(2) 3，则 limx2f?x? 3x 2 1 的值为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 用定义法 答案 C 解析 令 x 2 x， x 2 x，则原式变为 lim x0f?2 x? f?2? x 1 f(2) 1 3，故选 C. 方法技巧 由定义求导数的方法及解题思路 1导数定义中
5、， x 在 x0处的增量是相对的，可以是 x，也可以是 2 x，解题时要将=【 ;精品教育资源文库 】 = 分子、分母中的增量统一 2导数定义 lim x0f?x0 x? f?x0? x f( x0)等价于 limx x0f?x? f?x0?x x0 f( x0) 3求函数 y f(x)在 x x0处的导数的求解步骤： 冲关针对训练 用导数的定义求函数 y 1x在 x 1 处的导数 解 记 f(x) 1x， 则 y f(1 x) f(1) 11 x 1 1 1 x1 x ?1 1 x?1 1 x?1 x?1 1 x? x1 x?1 1 x?， y x11 x?1 1 x?， lim x0 y
6、x lim x0 11 x?1 1 x? 12. y| x 1 12. 题型 2 导数的计算 典例求下列函数的导数： =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)y (3x3 4x)(2x 1)； (2)y x2sinx； (3)f(x) cos? ? 3 2x ； (4)f(x) e 2xsin2x. 用公式法 解 (1)解法一： y (3x3 4x)(2x 1) 6x4 3x3 8x2 4x， y 24x3 9x2 16x 4. 解法二： y (3x3 4x)(2 x 1) (3x3 4x)(2x 1) (9x2 4)(2x 1) (3x3 4x)2 24x3 9x2 16x 4. (2)y
7、(x2)si nx x2(sinx) 2xsinx x2cosx. (3)解法一： f( x) sin? ? 3 2x ( 2) 2sin? ? 3 2x 2sin? ?2x 3 . 解法二 ： f(x) cos 3cos2x sin 3sin2x 12cos2x 32 sin2x， f( x) sin2x 3cos2 x 2sin? ?2x 3 . (4)f( x) 2e 2xsin2x 2e 2xcos2x 2 2e 2xsin? ?2x 4 . 方法技巧 导数计算的原则和方法 1原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求 导的函数的和、差、积、商，再求导 2方法 (1)连乘积形式：先
8、展开化为多项式的形式，再求导，见典例 (1)； (2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导； (5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导，见典例 (3)； (6)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导，见典例 (4) =【 ;精品教育资源文库 】 = 冲关针对训练 1 (2017 温州 月考 )已知函数 f(x)的导函数 f( x)，且满足 f(x) 2xf(1) ln x，则 f(1) ( ) A e
9、B 1 C 1 D e 答案 B 解析 f(x) 2xf(1) ln x， f( x) 2xf(1) (ln x) 2f(1) 1x， f(1) 2f(1) 1，即 f(1) 1.故选 B. 2求下列函数的导数： (1)y e2xcos3x； (2)y ln x2 1. 解 (1)y (e2x)cos3 x e2x(cos3x) 2e2xcos3x e2x( 3sin3x) e2x(2cos3x 3sin3x) (2)y 12ln (x2 1)， y 12 2xx2 1 xx2 1. 题型 3 曲线的切线问题 角度 1 求曲线的切线方程 典例(2016 全国卷 )已知 f(x)为偶函数，当 x
10、0，则 x0)， 则 f( x) 1x 3(x0)， f(1) 2， 在点 (1， 3)处的切线方程为 y 3 2(x 1)， 即 y 2x 1. 角度 2 求切点坐标 (多维探究 ) 典例(2017 石家庄模拟 )若曲线 y xln x 上点 P 处的切线平行于 直线 2x y 1=【 ;精品教育资源文库 】 = 0，则点 P 的坐标是 _ 利用方程思想方法 答案 (e， e) 解析 设 P(x0， y0)，则 y xln x 的导函数 y ln x 1，由题意 ln x0 1 2，解得x0 e，易求 y0 e. 条件探究 试求典例中曲线 y xln x 上与直线 y x 平行的切线方程 解
11、 设切点为 (x0， y0)，因为 y ln x 1， 所以切线的斜率 k ln x0 1， 由题意知 k 1， 得 x0 1e2， y0 2e2， 故所求的切线方程为 y 2e2 ? ?x 1e2 ，即 e2x e2y 1 0. 角度 3 与切线有关的参数问题 典例(2016 北京高考 )设函数 f(x) xea x bx，曲线 y f(x)在点 (2， f(2)处的切线方程为 y (e 1)x 4.求 a， b 的值； 用方程思想方法 解 因为 f(x) xea x bx， 所以 f( x) (1 x)ea x b. 依题设，知? f?2? 2e 2，f ?2? e 1， 即? 2ea 2
12、 2b 2e 2， ea 2 b e 1. 解得 a 2， b e. 方法技巧 与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略 1求切线方程：注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线， 曲线 y f(x)在点 P(x0， f(x0)处的切线方程是 y f(x0) f( x0)(x x0)； 求过某点 M(x1， y1)的切线方程时，需设出切点 A(x0， f(x0)，则切线方程为 y f(x0) f( x0)(x x0)，再把点 M(x1，y1)代入切线方程，求 x0. 2已知切线方程 (或斜率 )求切点的一般思路是先求函数的导数，然后让导数等于切线=【 ;精品教育资源文库 】 = 的斜率，从
13、而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标见角度 2典例 3根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点 P(x0， y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解见角度 3 典例 提醒：求曲线 y f(x)过点 P(x0， y0)的切线方程时，点 P(x0， y0)不一定是切点 冲关针对训练 1 (2017 陕西五校联考 )已知直线 y x m 是曲线 y x2 3ln x 的一条切线，则 m的值为 ( ) A 0 B 2 C 1 D 3 答案 B 解析 因为直线 y x m 是曲线 y x2 3ln x 的切线，所以令 y 2x 3x 1，得x 1 或 x 32(舍 )，即切点
14、为 (1,1)，又切点 (1,1)在直线 y x m 上，所以 m 2，故选B. 2已知曲线 y 13x3 43. (1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程； (3)求斜率为 1 的曲线的切线方程 解 (1) y x2， k y| x 2 4， 曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 4x y 4 0. (2)设曲线与过点 P(2,4)的切线相切于点 A? ?x0，13x3043 ，则 k y| x x0 x20. 切线方程为 y x20x 23x30 43. 又 P(2,4)在切线上，所以 4 2x20 23x30 43，即 x30 3x20 4 0.x30 x20 4x20 4 0， (x0 1)(x0 2)2 0， x0 1， x0 2. 故所求切线为 4x y 4 0 或 x y 2 0. (3)设切点为 (x0， y0)，则 k x20 1， x0 1 ，故切点为 ? ?1， 53 ， ( 1,1)， 所求切线方程为 3x 3y 2 0 和 x y 2 0. 题型 4 导数的几何意义的应用 典例 1(2017 资阳期末 )若对 ? x 0， ) ，不等式 2axe x 1 恒成立，则实数
