1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 7.2 空间几何体的表面积与体积 基础送分 提速狂刷练 一、选择题 1 (2017 东北五校联考 )如左图所示，在三棱锥 D ABC 中，已知 AC BC CD 2， CD 平面 ABC， ACB 90. 若其正视图、俯视图如右图所示，则其侧视图的面积为 ( ) A. 6 B 2 C. 3 D. 2 答案 D 解析 由几何体的结构特征和正视图、俯视图，得该几何体的侧视图是一个直角三角形，其中一直角边为 CD，其长度为 2，另一直角边为底面三角形 ABC 的边 AB 上的中线，其长度为2，则其侧视图的面积为 S 122 2 2，故选 D. 2某几何体的三视图如图
2、所示，则该几何体的体积为 ( ) A 16 8 B 8 8 C 16 16 D 8 16 =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 A 解析 由三视图可知该几何体由长方体和圆柱的一半组成 (如图所示 )，其中长方体的长、宽、高分别为 4,2,2，圆柱的底面半径为 2，高为 4.所以该几何体的体积 V 422 122 24 16 8. 故选 A. 3 (2018 合肥质检 )一个几何体的三视图如图所示 (其中正视图的弧线为四分之一圆周 )，则该几何体的表面积为 ( ) A 72 6 B 72 4 C 48 6 D 48 4 答案 A 解析 由三视图知，该几何体由一个正方体的 34部分与一个圆柱的
3、14部分组合而成 (如图所=【 ;精品教育资源文库 】 = 示 )，其表面积为 162 (16 4 )2 4(2 2 ) 72 6. 故选 A. 4三棱锥 P ABC 的四个顶点都在体积为 5003 的球的表面上，底面 ABC 所在的小圆面积为 16 ，则该三棱锥的高的最大值为 ( ) A 4 B 6 C 8 D 10 答案 C 解析 依题意，设题中球的球心为 O、半径为 R， ABC的外接圆半径为 r，则 4 R33 5003 ，解得 R 5，由 r2 16 ，解得 r 4，又球心 O 到平面 ABC 的距离为 R2 r2 3，因此三棱锥 P ABC 的高的最大值为 5 3 8.选 C. 5
4、 (2017 广东广州一模 )九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底 面垂直的四棱锥称为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑若三棱锥 P ABC 为鳖臑， PA 平面 ABC， PA AB 2， AC 4，三棱锥 P ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为 ( ) A 8 B 12 C 20 D 24 答案 C 解析 如图，因为四个面都是直角三角形，所以 PC 的中点到每一个顶点的距离都相等，即 PC 的中点为球心 O，易得 2R PC 20，所以 R 202 ，球 O 的表面积为 4 R2 20. 选C. 6 (2016 山东高考 )一个由半球和四棱锥组成的
5、几何体，其三视图如图所示则该几何体的体积为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A.13 23 B.13 23 C.13 26 D 1 26 答案 C 解析 由三视图可知四棱锥为正四棱锥，底面正方形的边长为 1，四棱锥的高为 1，球的直径为正四棱锥底面正方形的外接圆的直径，所以球的直径 2R 2，则 R 22 ，所以半球的体积为 23 R3 26 ，又正四棱锥的体积为 131 21 13，所以该几何体的体积为 13 26 .故选 C. 7 (2018 河南郑州质检 )某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则 xy 的最大值为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A
6、32 B 32 7 C 64 D 64 7 答案 C 解析 由三视图知三棱锥如图所示 ， 底面 ABC 是直角三角形 ， AB BC， PA 平面 ABC，BC 2 7， PA2 y2 102， (2 7)2 PA2 x2， 因此 xy x 102 x2 7 2 x 128 x2 x2 x22 64，当且仅当 x2 128 x2，即 x 8 时取等号，因此 xy的最大值是 64.选 C. 8 (2018 福建质检 )空间四边形 ABCD 的四个顶点都在同一球面上， E， F 分别是 AB， CD的中点，且 EF AB， EF CD.若 AB 8， CD EF 4，则该球的半径等于 ( ) A.
7、65 216 B.65 28 C. 652 D. 65 答案 C =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 如图，连接 BF， AF， DE， CE，因为 AE BE， EF AB，所以 AF BF.同理可得 EC ED.又空间四边形 ABCD 的四个顶点都在同一球面上，所以球心 O 必在 EF 上，连接 OA， OC.设该球的半径为 R， OE x，则 R2 AE2 OE2 16 x2 ， R2 CF2 OF2 4 (4 x)2 ，由 解得 R 652 .故选 C. 9 (2018 雁塔期末 )在六条棱长分别为 2,3,3,4,5,5 的所有四面体中，最大的体积是( ) A.8 23 B.5
8、116 C. 4624 D 2 6 答案 A 解析 由题意可知，由棱长 2、 3、 3、 4、 5、 5 构成的四面体有如下三种情况： 左图中，由于 32 42 52，即图中 AD 平 面 BCD， V1 13 122 32 124 8 23 ； 中间图，由于此情况的底面与上相同，但 AC 不与底垂直，故高小于 4，于是得 V2 V1； 右图中，高小于 2，底面积 125 32 ? ?52 2 5 114 . =【 ;精品教育资源文库 】 = V3 13 5 114 2 5 116 8 23 . 最大体积为 8 23 .故选 A. 10 (2017 衡水中学三调 )已知正方体 ABCD A B
9、 C D 的外接球的体积为 32 ，将正方体割去部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则剩余几何体的表面积为 ( ) A.92 32 B 3 3或 92 32 C 2 3 D.92 32 或 2 3 答案 B 解析 设正方体的棱长为 a，依题意得， 43 3 3a38 32 ，解得 a 1.由三视图可知，该几何体的直观图有以下两种可能，图 1 对应的几何体的表面积为 92 32 ，图 2 对应的几何体的表面积为 3 3.故选 B. 二、填空题 11 (2017 天津高考 )已知一个正方体的所 有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为 _ 答案 92 =【 ;精品教育资源
10、文库 】 = 解析 设正方体的棱长为 a，则 6a2 18， a 3. 设球的半径为 R，则由题意知 2R a2 a2 a2 3， R 32.故球的体积 V 43 R3 43 ? ?32 3 92 . 12 (2016 四川 高考 )已知三棱锥的四个面都是腰长为 2 的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 _ 答案 33 解析 由题意及正视图可知三棱锥的底面等腰三角形的底长为 2 3，三棱锥的高为 1，则三棱锥的底面积为 12 22 3 22 3 3， 该三棱锥的体积为 13 31 33 . 13 (2017 江 苏高考 )如图，在圆柱 O1O2内有一个球 O，该球与圆柱的
11、上、下底面及母线均相切，记圆柱 O1O2的体积为 V1，球 O 的体积为 V2，则 V1V2的值是 _ 答案 32 解析 设球 O 的半径为 R， 球 O 与圆柱 O1O2的上、下底面及母线均相切， 圆柱 O1O2的高为 2R，圆柱 O1O2的底面半径为 R. V1V2 R22 R43 R3 32. 14 (2018 太原模拟 )已知三棱锥 A BCD 中， AB AC BC 2， BD CD 2，点 E 是BC 的中点，点 A 在平面 BCD 内的射影恰好为 DE 的中点，则该三棱锥外接球的表面积为=【 ;精品教育资源文库 】 = _ 答案 6011 解析 如图，作出三棱锥 A BCD 的外
12、接球，设球的半径为 r，球心 O 到底面 BCD 的距离为 d，DE 的中点为 F，连接 AF，过球心 O 作 AF 的垂线 OH，垂足为 H，连接 OA， OD， OE， AE.因为BD 2， CD 2， BC 2，所以 BD CD，则 OE 平面 BCD， OE AF，所以 HF OE d.所以在 Rt BCD 中， DE 1， EF 12. 又 AB AC BC 2，所以 AE 3，所以在 Rt AFE中， AF 112 ，所以 r2 d2 1 ? ?112 d2 14，解得 r2 1511，所以三棱锥 A BCD 的外接球的表面积 S 4 r2 6011 . 三、解答题 15 (201
13、7 梅州一模 )如图所示 的多面体是由一个直平行六面体被平面 AEFG 所截后得到的，其中 BAE GAD 45 ， AB 2AD 2， BAD 60. (1)求此多面体的全面积； (2)求此多面体的体积 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解 (1)在 BAD 中， AB 2AD 2， BAD 60 ， 由余弦定理可得 BD 3， 则 AB2 AD2 BD2， AD BD. 由已知可得， AG EF， AE GF， 四边形 AEFG 为平行四边形， GD AD 1， EF AG 2. EB AB 2， GF AE 2 2. 过 G 作 GH DC 交 CF 于 H，得 FH 2， FC 3.
14、过 G 作 GM DB 交 BE 于 M，得 GM DB 3， ME 1， GE 2. cos GAE 8 2 422 2 2 34， sin GAE 74 . S?AEFG 2 12 22 2 74 7. 该几何体的全面积 S 7 2 121 3 1211 1222 12(1 3)2 12(2 3)1 7 3 9. (2)V 多面体的体积 VA BEGD VG BCD VG BCFE 13SBEGD AD 13S BCD DG 13S 四边形 BCFE BD 13 12(DG BE) BD AD 13 12BC CDsin60 DG 13 12(BE CF) BC BD 3 32 . 16一几何体按比例绘制的三视图如图所示 (单位： m)
