1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 61 讲 条件概率、 n 次独立重复试验与二项分布 解密考纲 对事件的独立性与条件概率、独立重复试验与二项分布的考查在高考中三种题型均有呈现 一、选择题 1 (2018 陕西西安模拟 )甲、乙两个小组各 10 名学生的英语口语测试成绩如下 (单位：分 ) 甲组： 76,90,84,86,81,87,86,82,85,83 乙组： 82,84,85,89,79,80,91,89,79,74 现从这 20 名学生中随机抽取一人，将 “ 抽出的学生为甲组学生 ” 记为事件 A； “ 抽出学生的英语口语测试成绩不低于 85 分 ” 记为事件 B，则 P(AB)，
2、P(A|B)的值分别是 ( A ) A 14， 59 B 14， 49 C 15， 59 D 15， 49 解析 P(A) 12， P(B) 920， P(AB) 14， P(A|B) P ABP B 59. 2已知某射击运动员，每次击 中目标的概率都是 0.8，则该射击运动员射击 4 次至少击中 3 次的概率为 ( B ) A 0.85 B 0.819 2 C 0.8 D 0.75 解析 P C340.830.2 C440.84 0.819 2. 3从甲袋中摸出 1 个红球的概率为 13，从乙袋中摸出 1 个红球的概率为 12，从两袋中各摸出一个球，则 23等于 ( C ) A 2 个球都不
3、是红球的概率 B 2 个球都是红球的概率 C至少有 1 个红球的概率 D 2 个球中恰有 1 个红球的概率 解析 因为从两个袋中各摸出一个球都不是红球的概率为 ? ?1 13 ? ?1 12 13，所以至少有 1 个红球的概率为 1 13 23. 4已知盒中装有 3 只螺口灯泡与 7 只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只 并不放回，则在他第 1 次抽到的是螺口灯泡的条件下，第 2 次抽到的是卡口灯泡的概率为 ( D ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 310 B 29 C 78 D 79 解析 设事件 A 为 “ 第 1 次抽
4、到的螺口灯泡 ” ，事件 B 为 “ 第 2 次抽到的是卡口灯泡 ” ，则 P(A) 310， P(AB) 310 79 730，则所求概率为 P(B|A) P ABP A 730310 79. 5袋子 A 和 B 中装有若干个均匀的红球和白球，从 A 中摸出一个红球的概率是 13，从 B中摸出一个红球的概率为 p.若 A， B 两个袋子中的球数之比为 1 2，将 A， B 中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是 25，则 p 的值为 ( B ) A 13 B 1330 C 1730 D 12 解析 设 A 中有 x 个球， B 中有 y 个球，则因为 A， B 两个袋子中的球数之比为 1
5、 2，将A， B 中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是 25，所以13x pyx y 25且xy12，解得 p1330. 6将一枚硬币连掷 5 次，如果出现 k 次正面向上的概率等于出现 k 1 次正面向上的概率，那么 k 的值为 ( C ) A 0 B 1 C 2 D 3 解析 Ck5? ?12 5 Ck 15 ? ?12 5， k (k 1) 5， k 2. 二、填空题 7如图所示的电路有 a， b， c 三个开关，每个开关开或关的概率都是 12，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为 _18_. 解析 a， c 闭合， b 断开，灯泡甲亮， 概率为 18. =【 ;精品教育资源文库 】
6、 = 8一盒中放有大小相同的 10 个小球，其中 8 个黑球， 2 个红球，现 甲、乙二人先后各自从盒子中无放回地任意抽取 2 个小球，已知甲取到了 2 个黑球，则乙也取到 2 个黑球的概率是 _1528_. 解析 记事件 “ 甲取到 2个黑球 ” 为 A， “ 乙取到 2个黑球 ” 为 B，则有 P(B|A) P ABP A C26C281528，即所求事件的概率是1528. 9设事件 A 在每次试验中发生的概率相同，且在三次独立重复试验中，若事件 A 至少发生一次的概率为 6364，则事件 A 恰好发生一次的概率为 _964_. 解析 假设事件 A 在每次试验中发生说明试验成功，设每次试验
7、成功的概率为 p，由题意得，事件 A 发生的次数 X B(3， p)，则有 1 (1 p)3 6364，得 p 34，则事件 A 恰好发生一次的概率为 C13 34 ? ?1 34 2 964. 三、解答题 10某中学 为丰富教职工生活，国庆节举办教职工趣味投篮比赛，有 A， B 两个定点投篮位置，在 A 点投中一球得 2 分，在 B 点投中一球得 3 分规则是：每人投篮三次按先 A后 B 再 A 的顺序各投篮一次，教师甲在 A 和 B 点投中的概率分别是 12和 13，且在 A， B 两点投中与否相互独立 (1)若教师甲投篮三次，求教师甲投篮得分 X 的分布列； (2)若教师乙与教师甲在 A
8、， B 点投中的概率相同，两人按规则各投三次，求甲胜乙的概率 解析 (1)设 “ 教师甲在 A 点投中 ” 的事件为 A， “ 教师甲在 B 点投中 ” 的事件为 B. 依题 可知 X 的可能取值为 0,2,3,4,5,7. P(X 0) P( A B A ) ? ?1 12 2 ? ?1 13 16， P(X 2) P(A B A A B A) C12 12 ? ?1 13 ? ?1 12 13， P(X 3) P( A B A ) ? ?1 12 13 ? ?1 12 112， P(X 4) P(A B A) 12 ? ?1 13 12 16， P(X 5) P(A B A A B A)
9、C12 12 13 ? ?1 12 16， =【 ;精品教育资源文库 】 = P(X 7) P(A B A) 12 13 12 112. 则教师甲投篮得分 X 的分布列为 X 0 2 3 4 5 7 P 16 13 112 16 16 112 (2)教师甲胜乙包括：甲得 2 分、 3 分、 4 分、 5 分、 7 分五种情形 这五种情形之间彼此互斥，因此 所求事件的概率为 P 13 16 112 ? ?16 13 16 ? ?16 13 112 16 ? ?16 13 112 16 112 ? ?1 112 1948. 11 (2018 湖北黄冈期末 )甲、乙两位小学生各有 2008 年奥运吉
10、祥物 “ 福娃 ”5 个 (其中 “ 贝贝 ”“ 晶晶 ”“ 欢欢 ”“ 迎迎 ” 和 “ 妮妮 ” 各一个 )，现以投掷一个骰子的方式进行游戏，规则如下：当出现向上的点数是奇数时，甲赢得一个福娃；否则乙赢得甲一个福娃，规定掷骰子的次数达 9 次时，或在此前某人已赢得所有福娃时游戏终止记游戏终止时投掷骰子的次数为 . (1)求掷骰子的次数为 7 的概率； (2)求 的分布列及数学期望 E( ) 解析 (1)当 7 时， “ 甲赢 ” 即 “ 第七次甲赢，前 6 次赢 5 次，且前 5 次中必输 1次 ” ，依题意，每次甲赢或乙赢的概率均为 12， P( 7) 2C 15 12 ? ?12 4
11、12 12 564. (2)设游戏终止时骰子向上的点数是奇数出现的次数为 m，向上的点数是偶数 出现的次数为 n，则由? |m n| 5，m n ，5 9或? |m n|5，m n 9 得： 当 m 5， n 0 或 m 0， n 5 时， 5； 当 m 6， n 1 或 m 1， n 6 时， 7； 当 m 7， n 2 或 m 2， n 7 时， 9； 当 m 5， n 4 或 m 4， n 5 时， 9； 当 m 6， n 3 或 m 3， n 6 时， 9； 的可能取值是 5,7,9. 每次投掷甲赢得乙一 个福娃与乙赢得甲一个福娃的可能性相同，其概率都是 12. P( 5) 2 ? ?
12、12 5 116， P( 7) 564， P( 9) 1 P( 5) P( 7) 5564， 的分布列是 =【 ;精品教育资源文库 】 = 5 7 9 P 116 564 5564 E( ) 5 116 7 564 9 5564 27532. 12 (2018 福建泉州模拟 )在一种电脑屏幕保护画面中，符号 “” 和 “” 随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现 “” 和 “” 之一，其中出现 “” 的概率为p，出现 “” 的概率为 q.若第 k 次出现 “” ，则记 ak 1；出现 “” ，则记 ak 1，令 Sn a1 a2 ? an. (1)当 p q 12时，记 |S3|，求
13、的分布列； (2)当 p 13， q 23时，求 S8 2 且 Si0( i 1,2,3,4)的概率 解析 (1)因为 |S3|的取值为 1,3，又 p q 12， 所以 P( 1) C13? ?12 ? ?12 22 34， P( 3) ? ?12 3 ? ?12 3 14. 所以 的分布列为 1 3 P 34 14 (2)当 S8 2 时，即前八秒出现 “”5 次， “”3 次，又已知 Si0( i 1,2,3,4)，若第一、三秒出现 “” ，则其余六秒可任意出现 “”3 次； 若第一、二秒出现 “” ，第三秒出现 “” ，则后五秒可任意出现 “”3 次 故所求的概率 P (C36 C35) ? ?13 5 ? ?23 3 30838 8037? ?或 802 187 .
