1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 高考专题突破六 高考中的概率与统计问题 【考点自测】 1在可行域内任取一点，其规则如算法框图所示，则能输出数对 (x， y)的概率是 ( ) A. 8 B. 4 C. 6 D. 2 答案 B 解析 由题意知，可行域为正方形，输出数对 (x， y)形成的图形为图中阴影部分，故所求概率为 P14 ?22222 22 4. 2 (2017 湖南邵阳二模 )假设有两个分类变量 X 和 Y 的 22 列联表如下： YX y1 y2 总计 x1 a 10 a 10 x2 c 30 c 30 总计 60 40 100 对同一样本，以下数据能说明 X 与 Y 有关系的可能性最
2、大的一组为 ( ) A a 45， c 15 B a 40， c 20 =【 ;精品教育资源文库 】 = C a 35， c 25 D a 30， c 30 答案 A 解析 根据 22 列联 表与独立性检验可知，当 aa 10与 cc 30相差越大时， X 与 Y 有关系的可能性越大，即 a， c 相差越大， aa 10与 cc 30相差越大，故选 A. 3设样本数据 x1， x2， ? ， x10的均值和方差分别为 1 和 4，若 yi xi a(a 为非零常数， i1,2， ? ， 10)，则 y1， y2， ? ， y10的均值和方差分别为 ( ) A 1 a,4 B 1 a,4 a C
3、 1,4 D 1,4 a 答案 A 解析 x1 x2 ? x1010 1， yi xi a，所以 y1， y2， ? ， y10的均值为 1 a，方差不变仍为 4.故选 A. 4已知高一年级某班有 63 名学生，现要选 1 名学生作为标兵，每名学生被选中的概率是相同的，若 “ 选出的标兵是女生 ” 的概率是 “ 选出的标兵是男生 ” 的概率的 1011，则这个班男生的人数为 _ 答案 33 解析 根据题意，设该班的男生人数为 x，则女生人数为 63 x，因为每名学生被选中的概率是相同的， 根据古典概型的概率计算公式知， “ 选出的标兵是女生 ” 的概率是 63 x63 ， “ 选出的标兵是男生
4、 ” 的概率是 x63，故 63 x63 1011 x63，解得 x 33，故这个班男生的人数为 33. 5某单位为了解用电量 y(度 )与气温 x() 之间的关系，随机统计了某 4 天的用电量与当天气温，并制作了对照表： 气温 () 18 13 10 1 用电量 (度 ) 24 34 38 64 由表中数据得线性回归方程为 y bx a 中的 b 2，预测当气温为 4 时，用电量约为_度 答案 68 解 析 根据题意知 x 18 13 10 ? 1?4 10， y 24 34 38 644 40，因为回归直线过样本点的中心， 所以 a 40 ( 2)10 60，所以当 x 4 时， y (
5、2)( 4) 60 68，所以用电量约=【 ;精品教育资源文库 】 = 为 68 度 . 题型一 古典概型与几何概型 例 1 (1)(2017 榆林二模 )若函数 f(x)? ex， 0 x0，即 a2b2.由题意知所有的基本事件有 9 个，即 (1,0)， (1,1)， (1,2)， (2,0)， (2,1)， (2,2)， (3,0)，(3,1)， (3,2)，其中第一个数表示 a 的取值，第二个数表示 b 的取值 满足 a2b2的有 6 个基本事件，即 (1,0)， (2,0)， (2,1)， (3,0)， (3,1)， (3,2)， 所以所求事件的概率为 69 23. (2)(2017
6、 青岛模拟 )如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为 2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角 6.现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是 _ 答案 2 32 解析 易知小正方形的边长为 3 1，故小正方形的面积为 S1 ( 3 1)2 4 2 3， 又大正方形的面积为 S 22 4，故飞镖落在小正方形内的概率 P S1S 4 2 34 2 32 . 题型二 概率与统计的综合应用 例 2 (2017 西安质检 )长时间用手机上网严重影响着学生的身体健康，某校为了解 A， B 两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取 5 名同学进行调查，
7、将他们平均每周手机上网的时长作为样本绘制成茎叶图如图所示 (图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字 ) (1)你能否估计哪个班级平均每周上 网时间较长？ (2)从 A 班的样本数据中随机抽取一个不超过 19 的数据记为 a，从 B 班的样本数据中随机抽取一个不超过 21 的数据记为 b，求 ab 的概率 解 (1)A 班样本数据的平均值为 15(9 11 14 20 31) 17， 由此估计 A 班学生每周平均上网时间为 17 小时； =【 ;精品教育资源文库 】 = B 班样本数据的平均值为 15(11 12 21 25 26) 19， 由此估计 B 班学生每周平均上网时间为 19 小时 所以
8、 B 班学生上网时间较长 (2)A 班的样本数据中不超过 19 的数据 a 有 3 个，分别为 9,11,14， B 班的样本数据中不超过21 的数据 b 也有 3 个，分别为 11,12,21.从 A 班和 B 班的样本数据中各随机抽取一个共有 9种不同的情况， 分别为 (9,11)， (9,12)， (9,21)， (11,11)， (11,12)， (11,21)， (14,11)， (14,12)， (14,21)， 其中 ab 的情况有 (14,11)， (14,12)2 种，故 ab 的概率 P 29. 思维升华 概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点
9、和热点它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现 了概率与统计的工具性和交汇性 跟踪训练 2 某校从高一年级学生中随机抽取 40名学生，将他们的期中考试数学成绩 (满分 100分，成绩均为不低于 40 分的整数 )分成六段： 40,50)， 50,60)， ? ， 90,100)后得到如图所示的频率分布直方图 (1)求图中实数 a 的值； (2)若该校高一年级共有 640 人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于 60 分的人数； (3)若从数学成绩在 40,50)与 90,100)两个分数段内的学生中随机选取 2 名学生，求这 2 名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率 解 (
10、1)由已知，得 10(0.005 0.010 0.020 a 0.025 0.010) 1，解得 a 0.03. (2)根据频率分布直方图，可知成绩不低于 60 分的频率为 1 10(0.005 0.010) 0.85.由于该校高一年级共有学生 640 人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于 60 分的人数为 6400.85 544. (3)易知成绩在 40,50)分数段内的人数为 400.05 2，这 2人分别记为 A， B；成绩在 90,100)分数段内的人数为 400.1 4，这 4人分 别记为 C， D， E， F.若从数学成绩在 40,50)与 90,1
11、00)两个分数段内的学生中随机选取 2 名学生，则所有的基本事件有 (A， B)， (A， C)， (A， D)，=【 ;精品教育资源文库 】 = (A， E)， (A， F)， (B， C)， (B， D)， (B， E)， (B， F)， (C， D)， (C， E)， (C， F)， (D， E)，(D， F)， (E， F)，共 15 个如果 2 名学生的数学成绩都在 40,50)分数段内或都在 90,100)分数段内，那么这 2 名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于 10.如果一个成绩在 40,50)分数段内，另一个成绩在 90,100)分数段内，那么这 2 名学生的数学成绩之差的
12、绝对值一定大于 10.记 “ 这 2 名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10” 为事件 M，则事件 M 包含的基本事件有 (A， B)， (C， D)， (C， E)， (C， F)， (D， E)， (D， F)， (E， F)，共 7 个，故所求概率 P(M) 715. 题型三 概率与统计案例的综合应用 例 3 某校计划面向高一年级 1 200 名学生开设校本选修课程，为确保工作的顺利实施，先按性别进行分层抽样，抽取了 180 名学生对社会科学类、自然科学类这两大类校本选修课程进行选课意向调查，其中男生有 105 人在这 180 名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45 人 (1)分别
13、计算抽取的样本中男生、女生选择社会科学类的频率，并以统计的频率作为概率，估计实际选课中选择社会科学类的学生人数； (2)根据抽取的 180 名学生的调查结果，完成以下 22 列联表并判断能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为科类的选择与性别有关？ 选择自然科学类 选择社会科学类 合计 男生 女生 合计 附： 2 n?ad bc?2?a b?c d?a c?b d?，其中 n a b c d. P( 2 k) 0.500 0.400 0.250 0.150 0.100 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 P( 2 k) 0.050 0.025 0.010
14、0.005 0.001 k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解 (1)由条件知，抽取的男生有 105 人，女生有 180 105 75(人 )男生选择社会科学类的频率为 45105 37，女生选择社会科学类的频率为 4575 35. 由题意，知男生总数为 1 200 105180 700， =【 ;精品教育资源文库 】 = 女生总数为 1 200 75180 500， 所以估计选择社会科学类的人数为 700 37 500 35 600. (2)根据统计数据，可得列联表如下： 选择自然科学类 选择社会科学类 合计 男生 60 45 105 女生 30 45 75 合
15、计 90 90 180 则 2 180 ?6045 3045 ?2105759090 367 5.142 95.024 ， 所以在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下能认为科类的选择与性别有关 思维升华 统计以考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算为主，概率以考查概率计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来，只有这样才能有效地解决问题 跟踪训练 3 近几年出现各种食品问题，食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病为了解三高疾病是否与性别有关，医院随机对入院的 60 人 进行了问卷调查，得到了如下的列联表： (1)请将如图的列联表补充完整若用分层抽样的方法在患三高疾病的人群中抽 9 人，其中女生抽多少人？ (2)为了研究患三高疾病是否与性别有关，请计算出统计量 2，并说明是否可以在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为患三高疾病与性别有关 . 患三高疾病 不患三高疾病 总计 男 6 30 女 总计
