1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标检测 (三十） 等比数列及其前 n 项和 练基础小题 强化运算能力 1 (2018 湖北华师一附中月考 )在等比数列 an中， a2a3a4 8， a7 8，则 a1 _. 解析：因为数列 an是等比数列，所以 a2a3a4 a33 8，所以 a3 2，所以 a7 a3q4 2q4 8，所以 q2 2，则 a1 a3q2 1. 答案： 1 2 (2018 苏州期初 )已知等比数列 an的公比大于 1，若 a5 a1 15， a4 a2 6，则a3 _. 解析：设等比数列 an的公比为 q，由题意知? a1q4 a1 15，a1q3 a1q 6， 解得
2、? a1 1，q 2 或? a1 16，q 12 (舍去 )，故 a3 a1q2 12 2 4. 答案： 4 3等比数列 an中，已知对任意正整数 n， a1 a2 a3 ? an 2n 1，则 a21 a22 a23 ? a2n _. 解析：由题知 a1 1，公比 q 2，故数列 a2n是首项为 1，公比为 4 的等比数列， 故 a21 a22 a23 ? a2n 4n1 4 13(4n 1) 答案： 13(4n 1) 4 (2018 徐州质检 )设 Sn 是等比数列 an的前 n 项的和，若 a5 2a10 0，则 S20S10_. 解析：设等比数列 an的公比为 q，则由 a5 2a10
3、 0，得 q5 12，所以 S20S10a1 q201 qa1 q101 q 1 q10 1 14 54. 答案： 54 5设 Sn是等比数列 an的前 n 项和，若 S4S2 3，则 S6S4 _. 解析：设 S2 k， S4 3k，由数列 an为等比数列，得 S2， S4 S2， S6 S4为等比数列，=【 ;精品教育资源文库 】 = S2 k， S4 S2 2k， S6 S4 4k， S6 7k， S6S4 7k3k 73. 答案： 73 练常考题点 检验高考能力 一、填空题 1在各项均为正数的等比数列 an中， a1 3， a9 a2a3a4，则公比 q 的值为 _ 解析：由 a9 a
4、2a3a4得 a1q8 a31q6，所以 q2 a21，因为等比数列 an的各项都为正数，所以 q a1 3. 答案： 3 2 (2018 杭州质检 )在等比数列 an中， a5a11 3， a3 a13 4，则 a15a5 _. 解析：根据等比数列的性质得? a3q5 2 3，a3 q10 4， 化简得 3q20 10q10 3 0，解得 q10 3 或 13，所以 a15a5 a5q10a5 q10 3 或 13. 答案： 3 或 13 3 (2018 徐州模拟 )已知 an为等比数列， a4 a7 2， a5a6 8，则 a1 a10 _. 解析：设等比数列 an的公比为 q，由? a4
5、 a7 2，a5a6 a4a7 8， 解得 ? a4 2，a7 4 或? a4 4，a7 2， 所以 ? q3 2，a1 1 或 ? q3 12，a1 8，所以 a1 a10 a1(1 q9) 7. 答案： 7 4 (2018 泰州高三期初 )在数列 an中， a1 2101，且当 2 n100 时， an 2a102 n3 2n恒成立，则数列 an的前 100 项和 S100 _. 解析：因为当 2 n100 时， an 2a102 n 32 n， 所以 a2 2a100 32 2， a3 2a99 32 3， a4 2a98 32 4， ? ， a100 2a2 32 100. 各式相加得
6、 3(a2 a3 a4 ? a100) 3(22 23 24 ? 2100)， 即 S100 a1 2101 4， 又因为 a1 2101， 所以 S100 4. 答案： 4 5 (2018 福州质检 )已知等比数列 an的前 n 项积记为 n，若 a3a4a8 8，则 9_. =【 ;精品教育资源文库 】 = 解 析 ： 由 题 意 知 ， a3a4a7q a3a7(a4q) a3a7a5 a 35 8 ， 9 a1a2a3? a9 (a1a9)(a2a8)(a3a7)(a4a6)a5 a95，所以 9 83 512. 答案： 512 6 (2018 镇江模拟 )已知 Sn是等比数列 an的
7、前 n 项和，若存在 m N*，满足 S2mSm 9， a2mam 5m 1m 1 ，则数列 an的公比为 _ 解析：设公比为 q，若 q 1，则 S2mSm 2，与题中条件矛盾，故 q1. S2mSma1 q2m1 qa1 qm1 q qm 1 9， qm 8. a2mam a1q2m 1a1qm 1 qm 8 5m 1m 1 ， m 3， q3 8， q 2. 答案： 2 7 (2017 苏州高三月考 )在正项等比数列 an中，若 a4 a3 2a2 2a1 6，则 a5 a6的最小值为 _ 解析：设正项等比数列 an的公比为 q，则 q 0， a1 0，由 a4 a3 2a2 2a1 6
8、 得 a1q2(1 q) 2a1(1 q) 6，所以 a1 6 q q2 (q 2) a5 a6 a1q4(1 q) 6q4q2 2 q2 2 q2 4q2 2 6? ?q2 4q2 4 48 ，当且仅当 q 2 时取等号 . 答案： 48 8 (2018 扬州高三期中 )已知等比数列 an的各项均为正数，且满足 a1a9 4，则数列log2an的前 9 项之和为 _ 解析：因为等比数列 an的各项均为正数，所以其公比 q 0， an 0. 记 bn log2an，则 bn 1 bn log2an 1 log2an log2an 1an log2q.所以数列 bn为等差数列 所以数列 bn的前
9、 9 项的和 T9 b1 b92 2a1 log2a92 92log2a1a9 92log24 9. 答案： 9 9若一个数列的第 m 项等于这个数列的前 m 项的乘积，则称该数列为 “ m 积数列 ” 若各项均为正数的等比数列 an是一个 “2 019 积数列 ” ，且 a1 1，则当其前 n 项的乘积取最大值时 n 的值为 _ 解析：由题可知 a1a2a3? a2 019 a2 019，故 a1a2a3? a2 018 1，所以 a1a2 018 a2a2 017 ? a10 =【 ;精品教育资源文库 】 = 09a1 010 1. 由于 an是各项均为正数的等比数列且 a1 1，所以公比
10、 0 q 1， 所以 a1 009 1,0 a1 010 1，故当数列 an的前 n 项的乘积取最大值时 n 的值为 1 009. 答案： 1 009 10 (2018 盐城模拟 )在各项均为正数的等比数列 an中，已知 a2a4 16， a6 32，记bn an an 1，则数列 bn的前 5 项和 S5为 _ 解析：设数列 an的公比为 q，由 a23 a2a4 16 得， a3 4，即 a1q2 4.又 a6 a1q5 32，解得 a1 1， q 2，所以 an a1qn 1 2n 1，则 bn an an 1 2n 1 2n 32 n 1，所以数列 bn是首项为 3，公比为 2 的等比
11、数列，所以 S5 251 2 93. 答案： 93 二、解答题 11设数列 an的前 n 项和为 Sn， a1 1，且数列 Sn是以 2 为公比的等比数列 (1)求数列 an的通项公式； (2)求 a1 a3 ? a2n 1. 解： (1) S1 a1 1，且数列 Sn是以 2 为公比的等比数列， Sn 2n 1. 又当 n2 时， an Sn Sn 1 2n 1 2n 2 2n 2. 当 n 1 时 a1 1，不适合上式 an? 1， n 1，2n 2， n2. (2)a3， a5， ? ， a2n 1是以 2 为首项， 4 为公比的等比数列， a3 a5 ? a2n 1 4n1 4 n3
12、. a1 a3 ? a2n 1 1n3 22n 1 13 . 12已知数列 an满足 a1 5， a2 5， an 1 an 6an 1(n2) (1)求证： an 1 2an是等比数列； (2)求数列 an的通项公式 解： (1)证明： an 1 an 6an 1(n2) ， an 1 2an 3an 6an 1 3(an 2an 1)(n2) a1 5， a2 5， a2 2a1 15， an 2an 10( n2) ， an 1 2anan 2an 1 3(n2) ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 数列 an 1 2an是以 15 为首项， 3 为公比的等比数列 (2)由 (1)得 an 1 2an 153 n 1 53 n， 则 an 1 2an 53 n， an 1 3n 1 2(an 3n) 又 a1 3 2， an 3n0 ， an 3n是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列 an 3n 2( 2)n 1， 即 an 2( 2)n 1 3n.
