1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层作业 三十四 数列的综合应用 一、选择题 (每小题 5分 ,共 25分 ) 1.已知 a,b,c是三个不同的实数 ,若 a,b,c成等差数列 ,且 b,a,c成等比数列 ,则 abc 为 ( ) A.214 B.(-2)14 C.124 D.1( -2)4 【解析】 选 B.由 a,b,c成等差数列 ,设 a=m-d,b=m,c=m+d,d 0, 因为 b,a,c成等比数列 ,所以 a2=bc,即 (m-d)2=m(m+d), 化简 ,得 d=3m,则 a=-2m,b=m,c=4m, 所以 a b c=(-2) 1 4. 2.设 y=f(x)是一次函数
2、 ,若 f(0)=1,且 f(1),f(4),f(13)成等比数列 ,则 f(2)+f(4)+ +f(2n)等于( ) A.n(2n+3) B.n(n+4) C.2n(2n+3) D.2n(n+4) 【解析】 选 A.由题意可设 f(x)=kx+1(k 0),则 (4k+1)2=(k+1) (13k+1),解得 k=2,f(2)+f(4)+ +f(2n)=(2 2+1)+(2 4+1)+ +(2 2n+1)=n(2n+3). 3.若 a,b是函数 f(x)=x2-px+q(p0,q0)的两个不同的零点 ,且 a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列 ,也可适当排序后成等比数列 ,则 p+q的
3、值等于 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 【解析】 选 D.由题可知 a,b 是 x2-px+q=0的两根 , 所以 a+b=p0,ab=q0,故 a,b 均为正数 . 因为 a,b,-2适当排序后成等比数列 , 所以 -2是 a,b的等比中项 ,所以 ab=4, 所以 q=4.又 a,b,-2适当排序后成等差数列 , 所以 -2是第一项或第三项 ,不妨设 a0, =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 a=1,此时 b=4, 所以 p=a+b=5, 所以 p+q=9. 当 b0 且 q 1),由 a3=a2+a1,得 q2-q-1=0,解得 q= ,而= = = . 答案 : 5.(2
4、018宜宾模拟 )数列 an的通项 an=n(cos2 -sin2 ),其前 n项和为 Sn,则 S40为 ( ) A.10 B.15 C.20 D.25 【解析】 选 C.由题意得 ,an=n(cos2 -sin2 )=ncos , 则 a1=0,a2=-2,a3=0,a4=4,a5=0,a6=-6,a7=0, , 于是 a2n-1=0,a2n=(-1)n 2n, 则 S40=(a1+a3+ +a39)+(a2+a4+a6+ +a40) =-2+4- +40=20. 二、填空题 (每小题 5分 ,共 15分 ) 6.对于每一个正整数 n,设曲线 y=xn+2在点 (1,1)处的切线与 x轴的
5、交点的横坐标为 xn,令 an=log2xn,则a1+a2+a3+ +a62=_. =【 ;精品教育资源文库 】 = 【解析】 因为 y=(n+2)x n+1,当 x=1时 ,y=n+2, 所以曲线 y=xn+2在点 (1,1)处的切线方程为 y=(n+2)x-(n+1),令 y=0,得 xn= . 所以 an=log2xn=log2 . 所以 a1+a2+a3+ +a62= log2 =log2 =-5. 答案 :-5 7.某住宅小区计划植树不少于 100棵 ,若第一天植 2棵 ,以后每天植树的棵数是前一天的 2倍 ,则需要的最少天数 n(n N*)等于 _. 【解析】 每天植树的棵数构成以
6、 2为首项 ,2为公比的等比数列 ,其前 n项和Sn= = =2n+1-2.由 2n+1-2 100,得 2n+1 102,由于 26=64,27=128,则 n+1 7,即n 6. 答案 :6 8.(2018襄阳模拟 )用 g(n)表示自然数 n的所有因数中最大的那个奇数 ,例如 :9的因数有 1,3,9,则g(9)=9,10的因数有 1,2,5,10,g(10)=5,那么 g(1)+g(2)+ +g(2n-1)=_. 【解析】 由 g(n)的定义易知 g(n)=g(2n),且若 n为奇数则 g(n)=n, 令 f(n)=g(1)+g(2)+g(3)+ +g(2n-1) 则 f(n+1)=g
7、(1)+g(2)+g(3)+ g( -1) =1+3+ +( -1)+g(2)+g(4)+ +g( -2) = +g(1)+g(2)+ +g(2n-1)=4n+f(n), 即 f(n+1)-f(n)=4n,据此可得 : f(1)=1,f(2)-f(1)=4,f(3)-f(2)=8, , f(n)-f(n-1)=4n-1, =【 ;精品教育资源文库 】 = 以上各式相加可得 :f(n)= = . 答案 : 三、解答题 (每小题 10分 ,共 20分 ) 9.(2018南宁模拟 )某体育场一角的看台共有 20排 ,且此看台的座位是这样排列的 :第一排有 2个座位 ,从第二排起每一排比前一排多 1
8、个座位 ,记 an表示第 n排的座位数 . (1)确定此看台共有多少个座位 . (2)求数列 的前 20项和 S20. 【解析】 (1)由题可知数列 an是首项为 2,公差为 1的等差数列 , 所以 an=2+n-1=n+1(1 n 20). 所以此看台的座位数为 =230. (2)因为 = = - , 所以 S20=1- + - + + - =1- = . 10.已知 an是各项均为正数的等差数列 ,公差为 d.对任意的 n N*,bn是 an和 an+1的等比中项 . (1)设 cn= - ,n N*,求证 :数列 cn是等差数列 . (2)设 a1=d,Tn= (-1)k ,n N*,求
9、证 : 0,则 a3=a1q2,a2=a1q,所以 a1q2=a1+2a1q,所以 q2=1+2q,解得q1=1+ ,q2=1- (舍 ), = =q2=( +1)2=3+2 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 :3+2 4.(12分 )已知数列 an的首项 a1= ,an+1= ,n N*. (1)求证 :数列 为等比数列 . (2)记 Sn= + + + ,若 Sn100,求最大正整数 n. 【解析】 (1)由 an+1= 可得 = + , 所以 -1= - = . 又因为 -1= 0,所以 -1 0(n N*). 所以数列 是首项为 ,公比为 的等比数列 . (2)由 (1)可得 -1= , 所以 =2 +1. Sn= + + + =n+2
