1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 2 讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式 板块一 知识梳理 自主学习 必备知识 考点 1 同角三角函数的基本关系式 1平方关系： sin2 cos2 1. 2商数关系： tan sincos . 考点 2 六组诱导公式 必会结论 1同角三角函数基本关系式的常用变形 (sin cos )2 12sin cos ； (sin cos )2 (sin cos )2 2； (sin cos )2 (sin cos )2 4sin cos . 2诱导公式可 简记为：奇变偶不变，符号看象限 考点自测 1判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)若
2、 ， 为锐角，则 sin2 cos2 1.( ) (2)已知 sin 45， ? ? 2 ， ，则 cos 35.( ) (3)sin( ) sin 成立的条件是 为锐角 ( ) (4)六组诱导公式中的角 可以是任意角 ( ) (5)若 cos(n ) 13(n Z)，则 cos 13.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 2 2018 商丘模拟 sin( 600) 的值为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A. 32 B. 22 C 1 D. 33 答案 A 解析 sin( 600) sin( 720 120) sin120 32 . 3已知 cos? ? 2 35，
3、且 ? ? 2 ， 32 ，则 tan ( ) A.43 B.34 C 34 D 34 =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 B 解析 sin 35， cos 45， tan 34.选 B. 4若 sin( ) 12，则 sin(7 ) _， cos? ? 32 _. 答案 12 12 解析 由 sin( ) 12，得 sin 12， 则 sin(7 ) sin( ) sin 12， cos? ? 32 cos? ? 32 2 cos? ? 2 cos? ? 2 sin 12. 5 课本改编 若 是第二象限角，且 tan 2，则 cos _. 答案 55 解析 由 tan 2，得 sin 2
4、cos ，代入平方关系得 5cos2 1，因为 cos 0， sinx cosx0. 由 可知 sinx cosx 75. (2)解法一：由已知条件及 (1)可知 ? sinx cosx 15，sinx cosx 75，解得? sinx 35，cosx 45， tanx 34. 又 1cos2x sin2x sin2x cos2xcos2x sin2xsin2x cos2xcos2xcos2x sin2xcos2x tan2x 11 tan2x， 1cos2x sin2x 257 . 解法二：由已知条件及 (1)可知? sinx cosx 15，sinx cosx 75，1cos2x sin2
5、x1?cosx sinx?cosx sinx?11575 257. 在本例条件下，求 sinx 2cosx4sinx cosx的值 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解 sinx 2cosx4sinx cosx tanx 24tanx 1 34 2 3 1118. 在本例条件下，求 sin2x sinxcosx 的值 解 sin2x sinxcosx sin2x sinxcosxsin2x cos2x tan2x tanxtan2x 1 91634916 1 325. =【 ;精品教育资源文库 】 = 触类旁通 同角三角函数基本关系式及变形公式的应用 (1)利用 sin2 cos2 1 可以实
6、现角 的正弦、余弦的互化，利用 sincos tan 可以实现角 的弦切互化 (2)应用公式时注意方程思想的应用：对于 sin cos ， sin cos ， sin cos这三个式子，利用 (sin cos )2 12sin cos ，可以知一求二 (3)注意公式逆用及变形应用： 1 sin2 cos2 ， sin2 1 cos2 ， cos2 1sin2 . (4)关于 sin ， cos 的齐次式，往往转化为关于 tan 的式子求解 【变式训练】 (1)已知 2tan sin 3， 2 0，则 sin ( ) A. 32 B 32 C.12 D 12 答案 B 解析 因为 2tan si
7、n 3，所以 2sin2cos 3，所以 2sin2 3cos ，即 2 2cos2 3cos ，所以 cos 12或 cos 2(舍去 )，又 2 0，所以 sin 32 . (2)已知 是三角形的内角，且 tan 13，求 sin cos 的值 解 由 tan 13，得 sin 13cos ， 将其代入 sin2 cos2 1， 得 109cos2 1， cos2 910，易知 cos 0， cos 3 1010 ， sin 1010 ， 故 sin cos 105 . 考向 利用诱导公式化简求值 命题角度 1 利用诱导公式化 简求值 例 2 已知 f( )sin?2 ?cos? ?cos
8、? ? 2 cos? ?112 cos? ?sin?3 ?sin? ?sin? ?92 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 求 f? ?114 的值 解 f( ) ? sin ? cos ? sin ? sin ? cos ?sin sin cos tan ，则 f? ?114 tan114 tan 4 1. 命题角度 2 同角关系和诱导公式的综合应用 例 3 2016 全国卷 已知 是第四象限角，且 sin? ? 4 35，则 tan? ? 4 _. 答案 43 解析 因为 sin? ? 4 35，所以 cos? ? 4 sin? 2 ? ? 4 sin? ? 4 35，因为 为第四象限角
9、，所以 2 2k 2k ， k Z，所以 34 2k 4 2k 4 ， k Z，所以 sin? ? 4 1 ? ?35 2 45，所以 tan? ? 4sin? ? 4cos? ? 4 43. 触类旁通 利用诱导公式化简求值的思路 (1)给角求值问题，关键是利用诱导 公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解转化过程中注意口诀 “ 奇变偶不变，符号看象限 ” 的应用 (2)在对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式来将角进行转化特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名称搞错 核心规律 1.三角求值、化简是三角函数的基础，在
10、求值与化简时，常用方法有： (1)弦切互化法；(2)和积转换法； (3)巧用 “1” 的变换 2.利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去 负 脱周 化锐特别注意函数名称和符号的确定 满分策略 1.同角三角函数的基本关系及诱导公式要注意角的范围对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系求三角函数值，进行开方时要根据角的范围，判断符号后，正确取舍 2.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 板块三 启智培优 破译高考 易错警示系列 5 忽视 “ 角范围 ” 的信息提取致误 2018 石家庄模拟 设 为第二象限
11、角，若 tan? ? 4 12，则 sin cos _. 错因分析 (1)不能提炼隐含信息 tan? ? 4 0. (2)利用同角三角函数平方关系，开方运算时忽视三角函数符号的判定 解析 由 tan? ? 4 12，得 cos? ? 4 2sin? ? 4 ，代入 sin2? ? 4 cos2? ? 4 1， 得 sin2? ? 4 15. 为第二象限角 2k 34 4 2k 54 ， k Z. 又 tan? ? 4 12 0， 2k 4 2k 54( k Z)， 故 sin? ? 4 55 . 因此 sin cos 2sin? ? 4 105 . 答案 105 答题启示 1.由 tan? ?
12、 4 12挖掘 tan? ? 4 0，结合 为第二象限角，进一步确定角 4 的范围 2开方运算时，应先根据角 的范围或象限角判定三角函数值的符号 跟踪训练 已知 sin cos 18，且 54 32 ，则 cos sin 的值为 ( ) A 32 B. 32 C 34 D.34 答案 B 解析 54 32 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = cos 0， sin 0 且 |cos | |sin |， cos sin 0. 又 (cos sin )2 1 2sin cos 1 2 18 34， cos sin 32 . 板块四 模拟演练 提能增分 A 级 基础达标 1 2018 洛阳模拟 下列
13、各数中与 sin2019 的值最接近的是 ( ) A.12 B. 32 C 12 D 32 答案 C 解析 2019 5360 180 39 ， sin2019 sin39 和 sin30 接近选 C. 2已知 sin( ) 3cos(2 )， | | 2 ，则 等于 ( ) A 6 B 3 C. 6 D. 3 答案 D 解析 sin( ) 3cos(2 )， sin 3cos ， tan 3. | | 2 ， 3 . 3 2018 华师附中月考 已知 tan( ) 34，且 ? ? 2 ， 32 ，则 sin? ? 2 ( ) A.45 B 45 C.35 D 35 答案 B 解析 tan( ) 34?tan 34. 又因为 ? ? 2 ， 32 ，所以 为第三象限的角， 所以 sin? ? 2 cos 45. 4已知 f( ) sin? ?cos?2 ?cos? ?tan ，则 f? ? 31
