1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 9.7 抛物线 最新考纲 考情考向分析 1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 . 2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质 . 抛物线的方程、几何性质及与抛物线相关的综合问题是命题的热点题型既有小巧灵活的选择、填空题，又有综合性较强的解答题 . 1抛物线的概念 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)的距离 相等 的点的轨迹叫做抛物线点 F叫做抛物线的 焦点 ，直线 l 叫做抛物线的 准线 2抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2 2px(p0) y2 2px(p0) x2 2py(p0)
2、 x2 2py(p0) p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离 图形 顶点坐标 O(0,0) 对称轴 x 轴 y 轴 焦点坐标 F? ?p2， 0 F? ? p2， 0 F? ?0， p2 F? ?0， p2 离心率 e 1 准线方程 x p2 x p2 y p2 y p2 范围 x0 ， y R x0 ， y R y0 ， x R y0 ， x R 开口方向 向右 向左 向上 向下 =【 ;精品教育资源文库 】 = 知识拓展 1抛物线 y2 2px(p0)上一点 P(x0， y0)到焦点 F? ?p2， 0 的距离 |PF| x0 p2，也称为抛物线的焦半径 2 y2 ax(a0) 的
3、焦点坐标为 ? ?a4， 0 ，准线方程为 x a4. 3设 AB 是过抛物线 y2 2px(p0)焦点 F 的弦， 若 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 (1)x1x2 p24， y1y2 p2. (2)弦长 |AB| x1 x2 p 2psin2 ( 为弦 AB 的倾斜角 ) (3)以弦 AB 为直径的圆与准线相切 (4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于 2p，通径是过焦点最短的弦 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “”) (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线 ( ) (2)方程 y ax2(a0)
4、 表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是 ? ?a4， 0 ，准线方程是 x a4.( ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形 ( ) (4)AB 为抛物线 y2 2px(p0)的过焦点 F? ?p2， 0 的弦，若 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1x2 p24，y1y2 p2，弦长 |AB| x1 x2 p.( ) (5)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切 ( ) (6)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线 x2 2ay(a0)的通径长为 2a.( ) 题组二 教材改编 2 P72T4过
5、抛物线 y2 4x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P(x1， y1)， Q(x2， y2)两点，如果 x1 x2 6，则 |PQ|等于 ( ) A 9 B 8 C 7 D 6 答案 B 解析 抛物线 y2 4x的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x 1.根据题意可得， |PQ| |PF| |QF|=【 ;精品教育资源文库 】 = x1 1 x2 1 x1 x2 2 8. 3 P72T1已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点 P( 2， 4)，则该抛物线的标准方程为 _ 答案 y2 8x 或 x2 y 解析 设抛物线方程为 y2 2px(p0) 或 x2 2py(p0) 将 P( 2
6、， 4)代入，分别得方程为 y2 8x 或 x2 y. 题组三 易错自纠 4设抛物线 y2 8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线焦点的距离是 ( ) A 4 B 6 C 8 D 12 答案 B 解析 如图所示， 抛物线的准线 l 的方程为 x 2， F 是抛物线的焦点，过点 P 作 PA y 轴，垂足是 A，延长PA 交直线 l 于点 B，则 |AB| 2.由于点 P 到 y 轴的距离为 4，则点 P 到 准线 l 的距离 |PB| 4 2 6，所以点 P 到 焦点的距离 |PF| |PB| 6.故选 B. 5已知抛物线 C与双曲线 x2 y2 1有相同的焦点，且顶点
7、在原点，则抛物线 C的方程是 ( ) A y2 2 2x B y2 2 x C y2 4 x D y2 4 2x 答案 D 解析 由已知可知双曲线的焦点为 ( 2， 0)， ( 2， 0)设抛物线方程为 y2 2 px(p0)，则 p2 2，所以 p 2 2，所以抛物线方程为 y2 4 2x.故选 D. 6设抛物线 y2 8x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l的斜率的取值范围是 _ 答案 1,1 解析 Q( 2,0)，当直线 l 的斜率不存在时，不满足题意，故设直线 l 的方程为 y k(x 2)，代入抛物线方程，消去 y 整理得 k2x2 (4
8、k2 8)x 4k2 0， 由 (4k2 8)2 4k24 k2 64(1 k2)0 ， 解得 1 k1. =【 ;精品教育资源文库 】 = 题型一 抛物线的定义及应用 典例 设 P 是抛物线 y2 4x 上的一个动点，若 B(3,2)，则 |PB| |PF|的最小值为 _ 答案 4 解析 如图，过点 B 作 BQ 垂直准线于点 Q，交抛物线于点 P1， 则 |P1Q| |P1F|. 则有 |PB| |PF| P1B| |P1Q| |BQ| 4， 即 |PB| |PF|的最小值为 4. 引申探究 1若将本例中的 B 点坐标改为 (3,4)，试求 |PB| |PF|的最小值 解 由题意可知点 B
9、(3,4)在抛物线的外部 | PB| |PF|的最小值即为 B， F 两点间的距离， F(1,0)， | PB| |PF| BF| 42 22 2 5， 即 |PB| |PF|的最小值为 2 5. 2若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为 y2 4x，直线 l 的方程为 x y 5 0，在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d1，到直线 l 的距离为 d2，求 d1 d2的最小值 解 由题意知，抛物线的焦点为 F(1,0) 点 P 到 y 轴的距离 d1 |PF| 1， 所以 d1 d2 d2 |PF| 1. 易知 d2 |PF|的最小值为点 F 到直线 l 的距离， 故 d2 |PF|
10、的最小值为 |1 5|12 ? 1?2 3 2， 所以 d1 d2的最小值为 3 2 1. 思维升华 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关 “ 看到准线想焦点，看到焦点想准线 ” ，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径 跟踪训练 设 P 是抛物线 y2 4x 上的一个动点，则点 P 到点 A( 1,1)的距离与点 P 到直线 x 1 的距离之和的最小值为 _ 答案 5 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 如图，易知抛物线的焦点为 F(1,0)，准线是 x 1， 由抛物线的定义知点 P 到直线 x 1 的距离等于点 P 到 F 的距离 于是，问题转化为在抛物线上求一
11、点 P， 使点 P 到点 A( 1,1)的距离与点 P 到 F(1,0)的距离之和最小， 显然，连接 AF 与抛物线相交的点即为满足题意的点， 此时最小值为 1 ? 1?2 ?0 1?2 5. 题型二 抛物线的标准方程和几何性质 命题点 1 求抛物线的标准方程 典例 (2017 深圳模拟 )如图所示，过抛物线 y2 2px(p0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A，B，交其准线 l 于点 C，若 |BC| 2|BF|，且 |AF| 3，则此抛物线的方程为 ( ) A y2 32x B y2 9x C y2 92x D y2 3x 答案 D 解析 分别过点 A， B 作 AA1 l， BB1 l
12、，且垂足分别为 A1， B1，由已知条件 |BC| 2|BF|，得 |BC| 2|BB1|， 所以 BCB1 30. 又 |AA1| |AF| 3， 所以 |AC| 2|AA1| 6， 所以 |CF| |AC| |AF| 6 3 3， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 F 为线段 AC 的中点 故点 F 到准线的距离为 p 12|AA1| 32， 故抛物线的方程为 y2 3x. 命题点 2 抛物线的几何性质 典例 已知抛物线 y2 2px(p0)的焦点为 F， A(x1， y1)， B(x2， y2)是过 F 的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y1y2 p2， x1x2 p24；
13、(2) 1|AF| 1|BF|为定值； (3)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为 ? ?p2， 0 . 由题意可设直线 方程为 x my p2，代入 y2 2px， 得 y2 2p? ?my p2 ，即 y2 2pmy p2 0.(*) 因为 ? ?p2， 0 在抛物线内部， 所以直线与抛物线必有两交点 则 y1， y2是方程 (*)的两个实数根， 所以 y1y2 p2. 因为 y21 2px1， y22 2px2，所以 y21y22 4p2x1x2， 所以 x1x2 y21y224p2p44p2p24. (2) 1|AF| 1|BF| 1x1 p2
14、1x2 p2 x1 x2 px1x2 p2?x1 x2? p24. 因为 x1x2 p24， x1 x2 |AB| p，代入上式， 得 1|AF| 1|BF| |AB|p24p2?|AB| p?p24 2p(定值 ) (3)设 AB 的中点为 M(x0， y0)，如图所示，分别过 A， B 作准线 l 的垂线，垂足为 C， D，过 M=【 ;精品教育资源文库 】 = 作准线 l 的垂线，垂足为 N， 则 |MN| 12(|AC| |BD|) 12(|AF| |BF|) 12|AB|. 所以 以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 思维升华 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是
15、判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程 (2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此 跟踪训练 (1)(2017 广西三市调研 )若抛物线 y2 2px(p0)上的点 A(x0， 2)到其焦点的距离是 A 到 y 轴距离的 3 倍，则 p 等于 ( ) A.12 B 1 C.32 D 2 答案 D 解析 由题意得 3x0 x0 p2，即 x0 p4， 即 A? ?p4， 2 ，代入抛物线方程，得 p22 2， p0， p 2.故选 D. (2)(2017 郑州二模 )过点 P( 2,0)的直线与抛物线 C： y2 4x 相交于 A， B 两点，且 |PA|12|AB|，则点 A 到抛物线 C 的焦点的距离为 ( ) A.53 B.75 C.97 D 2 答案 A 解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，分别过点 A， B 作直线 x 2 的垂线，垂足分别为点 D， E.| PA| 12|AB|，
