1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 高考专题突破六 高考中的概率与统计问题 【考点自测】 1 (2018 合肥模拟 )某小区有 1 000 户，各户每月的用电量近似服从正态分布 N(300,102)，则用电量在 320 度以上的户数约为 ( ) (参考数据：若随机变量 服从正态分布 N( ， 2)，则 P( 320) 121 P(2803.841 可认为选修文理科与性别有关系出错的可能性约为 5%. =【 ;精品教育资源文库 】 = 题型一 古典概型与几何概型 例 1 (1)(2017 榆林二模 )若函数 f(x)? ex， 0 x0，即 a2b2.由题意知所有的基本事件有 9 个，即 (1,0
2、)， (1,1)， (1,2)， (2,0)， (2,1)， (2,2)， (3,0)，(3,1)， (3,2)，其中第一个数表示 a 的取值，第二个数表示 b 的取值 满足 a2b2的有 6 个基本事件，即 (1,0)， (2,0)， (2,1)， (3,0)， (3,1)， (3,2)， 所以所求事件的概率为 69 23. (2)(2017 青岛模拟 )如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为 2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角 6.现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是 _ 答案 2 32 解析 易知小正方形的边长为 3 1， 故小正
3、方形的面积为 S1 ( 3 1)2 4 2 3， 又大正方形的面积为 S 22 4，故飞镖落在小正方形内的概率 P S1S 4 2 34 2 32 . 题型二 求离散型随机变量的均值与方差 例 2 (2017 南京模拟 )最强大脑是江苏卫视推出的国内首档大型科学类真人秀电视节目该节目集结了国内外最顶尖的脑力高手，堪称脑力界的奥林匹克某校为了增强学生的记忆力和辨识力也组织了一场类似最强大脑的 PK 赛， A， B 两队各由 4 名选手组成，每局两队各派一名选手 PK，除第三局胜者得 2 分外，其余各局胜者均得 1 分，每局的负者得 0分假设每局比赛两队选手获胜的概率均为 0.5，且各局比赛结果相
4、互独立 (1)求比赛结束时 A 队的得分高于 B 队的得分的概率； (2)求比赛结束时 B 队得分 X 的分布列和均值 解 (1)记 第 i 局 A 队胜为事件 Ai(i 1,2,3,4)， 比赛结束时 A 队得分高于 B 队得分的事件记为 C， 则 P(C) P(A1A2 A 3A4) P(A3)1 P( A 1 A 2 A 4) 12. (2)X 的可能取值为 0,1,2,3,4,5. =【 ;精品教育资源文库 】 = 则 P(X 0) P(A1A2A3A4) 116， P(X 1) C13? ?12 4 316， P(X 2) P(A1A2 A 3A4) C23? ?12 4 14， P
5、(X 4) C23? ?12 4 316， P(X 5) 116， P(X 3) 1 116 316 14 116 316 14. X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P 116 316 14 14 316 116 E(X) 0 116 1 316 2 14 3 14 4 316 5 116 52. 思维升华 离散型随机变量的均值和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的均值和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其分布列然后代入相应公式计算，注意离
6、散型随机变量的取值与概率的对应 跟踪训练 2 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关某轿车制造厂 生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为 2 年现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取 50 辆，统计数据如下： 品牌 甲 乙 首次出现故障时间 x(年 ) 02 02 轿车数量 (辆 ) 2 3 45 5 45 每辆利润 (万元 ) 1 2 3 1.8 2.9 将频率视为概率，解答下列问题： (1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率； (2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为 X1，生产一辆
7、乙品牌轿车的利润为 X2，分别求 X1， X2的分布列； (3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车若=【 ;精品教育资源文库 】 = 从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由 解 (1)设 “ 甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内 ” 为事件 A，则 P(A) 2 350 110. (2)依题意得， X1的分布列为 X1 1 2 3 P 125 350 910 X2的分布列为 X2 1.8 2.9 P 110 910 (3)由 (2)得 E(X1) 1 125 2 350 3 910 14350 2.86(万元 )， E(X2) 1.
8、8 110 2.9 910 2.79(万元 ) 因为 E(X1)E(X2)，所以应生产甲品牌轿车 题型三 概率与统计的综合应用 例 3 (2018 济南模拟 )2018 年 6 月 14 日至 7 月 15 日，第 21 届世界杯足球赛将于俄罗斯举行，某大学为世 界杯组委会招收志愿者，被招收的志愿者需参加笔试和面试，把参加笔试的40 名大学生的成绩分组：第 1 组 75,80)，第 2 组 80,85)，第 3 组 85,90)，第 4 组 90,95)，第 5 组 95,100，得到的频率分布直方图如图所示： (1)分别求出成绩在第 3,4,5 组的人数； (2)现决定在笔试成绩较高的第 3
9、,4,5 组中用分层抽样抽取 6 人进行面试 已知甲和乙的成绩均在第 3 组，求甲或乙进入第二轮面试的概率； 若从这 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受考官 D 的面试，设第 4 组中有 X 名学生被考官 D面试，求 X 的分 布列和均值 解 (1)由频率分布直方图知： 第 3 组的人数为 50.0640 12. =【 ;精品教育资源文库 】 = 第 4 组的人数为 50.0440 8. 第 5 组的人数为 50.0240 4. (2)利用分层抽样，在第 3 组、第 4 组、第 5 组中分别抽取 3 人、 2 人、 1 人 设 “ 甲或乙进入第二轮面试 ” 为事件 A，则 P(A) 1 C3
10、10C312511， 所以甲或乙进入第二轮面试的概率为 511. X 的所有可能取值为 0,1,2， P(X 0) C24C2625， P(X 1)C12C14C26 815， P(X 2) C22C26115. 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 P 25 815 115 E(X) 0 25 1 815 2 115 1015 23. 思维升华 概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性 跟踪训练 3 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1 t 该产品获得利润 500元，未售出的
11、产品，每 1 t 亏损 300 元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品以 X(单 位： t,100 X150) 表示下一个销售季度内的市场需求量， T(单位：元 )表示下一个销售季度内经销该农产品的利润 (1)将 T 表示为 X 的函数； (2)根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率； (3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率 (例如：若需求量 X100,110) ，则取 X 105，且 X=【 ;精品教育资源文库 】 =
12、105 的概率等于需求量落入 100,110)的频率 )，求 T 的均值 解 (1)当 X100,130) 时， T 500X 300(130 X) 800X 39 000. 当 X130,150 时， T 500130 65 000. 所以 T? 800X 39 000， 100 X5.024， 所以在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下能认为科类的选择与性别有关 思维升华 统计以考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算为主，概率以考查概率计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来，只有这样才能有效地解决问题 跟踪训练 4 电视传媒公司为
13、了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100 名观众进行调查，其中女性有 55 名下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图： 将日均收看该体育节目时间 不低于 40 分钟的观众称为 “ 体育迷 ” (1)根据已知条件完成下面的 22 列联表，并据此资料是否可以认为 “ 体育迷 ” 与性别有关？ =【 ;精品教育资源文库 】 = 非体育迷 体育迷 合计 男 女 10 55 合计 (2)将上述调查所得到的频率视为概率现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取 1 名观众，抽取 3 次，记被抽取的 3 名观众中的 “ 体育迷 ” 人数为 X.若每次
14、抽取的结果是相互独立的，求 X 的分布列、均值 E(X)和方差 D(X) 附： K2 n?ad bc?2?a b?c d?a c?b d?. P(K2 k0) 0.10 0.05 0.01 k0 2.706 3.841 6.635 解 (1)由所给的频率分布直方图知， “ 体育迷 ” 人数为 100(100.020 100.005) 25， “ 非体育迷 ” 人数为 75，从而 22 列联表如下： 非体育迷 体育迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计 75 25 100 将 22 列联表的数据代入公式计算，得 k n?ad bc?2?a b?c d?a c?b d? 100 ?3010 4515 ?245557525 10033 3.030. 因为 2.7063.0303.841， 所以有 90%的把握认为 “ 体育迷 ” 与性别有关 (2)由频率分布直方图知，抽到 “ 体育迷 ” 的频率为 0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名 “ 体育迷 ” 的概率为 14.由题意， X B? ?3， 14 ，从而 X 的分布列为
