1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 题组训练 57 空间向量的应用（二）空间的角与距离 第 2 课时 1 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 ， M 是 AB 的中点 ， 则 sin DB1 ， CM 的值等于 ( ) A.12 B. 21015 C. 23 D. 1115 答案 B 解析 分别以 DA， DC， DD1为 x， y， z 轴建系 ， 令 AD 1， DB1 (1， 1， 1)， CM (1， 12， 0) cos DB1 ， CM 1 123 52 1515 . sin DB1 ， CM 21015 . 2 已知直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 ， 底面 ABCD 为
2、正方形 ， AA1 2AB， E 为 AA1的中点 ， 则异面直线 BE 与 CD1所成角的余弦值为 ( ) A. 1010 B.15 C.3 1010 D.35 答案 C 解析 如图 ， 以 D 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标 系 设 AA1 2AB 2， 则 B(1， 1， 0)， E(1， 0， 1)， C(0， 1， 0)， D1(0， 0， 2) BE (0， 1， 1)， CD1 (0， 1， 2) cos BE ， CD1 1 22 5 3 1010 . 3 若直线 l 的方向向量与平面的法向量的夹角等于 120， 则直线 l 与平面 所成的角等于 ( ) A 120 B 6
3、0 C 30 D 150 答案 C =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 设直线 l 与平面 所成的角为 ， 则 sin |cos120 | 12， 又 0 90 . 30 . 4 (2018 天津模拟 )已知长方体 ABCD A1B1C1D1中 ， AB BC 4， CC1 2， 则直线 BC1与平面DBB1D1所成角的正弦值为 ( ) A. 32 B.52 C. 105 D. 1010 答案 C 解析 由题意 ， 连接 A1C1， 交 B1D1于点 O， 连接 BO. 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 ， AB BC4， C1O B1D1.易得 C1O 平面 DBB1D1， C1B
4、O 即为直线 BC1与平面 DBB1D1所成的角 在 Rt OBC1中 ， OC1 2 2， BC1 2 5， 直线 BC1与平面 DBB1D1所成角的正弦值为 105 ， 故选 C. 5.(2018 辽宁沈阳和平区模拟 )如图 ， 在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 ， AB 2，BB1 4， 则直线 BB1与平面 ACD1所成角的正弦值为 ( ) A.13 B. 33 C. 63 D.2 23 答案 A 解析 如图所示 ， 建立空间直角坐标系 则 A(2， 0， 0)， C(0， 2， 0)， D1(0， 0， 4)， B(2， 2， 0)， B1(2， 2， 4)，AC ( 2，
5、2， 0)， AD1 ( 2， 0， 4)， BB1 (0， 0， 4) 设平面 ACD1的法向量为 n (x， y， z)， 则?n AC 0，n AD1 0，即? 2x 2y 0， 2x 4z 0， 取 x 2， 则 y 2， z 1， 故 n (2， 2， 1)是平面 ACD1的一个法向量 设直线 BB1与平面 ACD1所成的角是，则 sin |cos n， BB1 | |n BB1 |n| |BB1 | 494 13.故选 A. 6 若正三棱柱 ABC A1B1C1的所有棱长都相等 ， D 是 A1C1的中点 ， 则直线 AD 与平面 B1DC 所=【 ;精品教育资源文库 】 = 成角
6、的正弦值为 ( ) A.35 B.45 C.34 D. 55 答案 B 解析 间接法：由正三棱柱的所有棱长都相等 ， 依据题设条件 ， 可知 B1D 平面 ACD， B1D DC， 故 B 1DC 为直角三角形 设 棱长为 1， 则有 AD 52 ， B1D 32 ， DC 52 ， S B1DC 12 32 52 158 . 设 A 到平面 B1DC 的距离为 h， 则有 VA B1DC VB1 ADC， 13 h S B1DC 13 B1D S ADC. 13 h 158 13 32 12， h 25. 设直线 AD 与平面 B1DC 所成的角为 ， 则 sin hAD 45. 向量法：
7、如图 ， 取 AC 的中点为坐标原点 ， 建立空间直角坐标系 设各棱长为 2， 则有 A(0， 1， 0)， D(0， 0， 2)， C(0， 1， 0)， B1( 3， 0， 2) 设 n (x， y， z)为平面 B1CD 的法向量 ， 则有?n CD 0，n CB1 0? y 2z 0，3x y 2z 0?n (0， 2， 1) sin AD ， n AD n|AD | n| 45. 7 (2018 山东师大附中模拟 ， 理 )如图 ， 在四棱锥 P ABCD 中 ， PA平面 ABCD， AB CD， AD CD 102 ， AB 10， PA 6， DA AB， 点 Q在 PB 上
8、， 且满足 PQQB 13 ， 则直线 CQ 与平面 PAC 所成角的正弦值为 _ 答案 13052 解析 方法一：如图 ， 过点 Q 作 QHCB 交 PC 于点 H. =【 ;精品教育资源文库 】 = DA AB， DC AB， 在 Rt ADC 中 ， AC AD2 CD2 5. PA 平面 ABCD， 在 Rt PAC 中 ， PC PA2 AC2 11. 取 AB 的中点 M， 连接 CM， DC AB， CM AD 102 ， 在 Rt CMB 中 ， CB CM2 MB2 5， 又 PB2 PA2 AB2 16， PC2 CB2 PB2， CB PC. QH BC， QH PC.
9、 PA CB， PA QH. 由 可得 ， QH 平面 PAC， QCH 是直线 CQ 与平面 PAC 所成的角 QH 14BC 54 ， HC 34PC 3 114 ， CQ QH2 HC2 262 ， sin QCH QHCQ 13052 . 方法二：以 A 为坐标原点 ， AD， AB， AP 所在的直线分别为 x， y， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则 A(0， 0， 0)， P(0， 0， 6)， C( 102 ， 102 ， 0)， B(0， 10， 0)， PQ 14PB， Q(0， 104 ， 3 64 )， 可知平面 PAC 的一个法 向量为 m ( 1， 1，
10、0)， 又 CQ (102 ， 104 ，3 64 )， |cos m， CQ | |m CQ |m|CQ | 13052 ， 故直线 CQ 与平面 PAC 所成角的正弦值为 13052 . 8 (2018 上海八校联考 )如图所示为一名曰 “ 堑堵 ” 的几何体 ， 已知AE 底面 BCFE， DF AE， DF AE 1， CE 7， 四边形 ABCD 是正方形 (1)九章算术中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑 ， 判断四面体 EABC 是否为鳖臑 ， 若是 ， 写出 其每一个面的直角，并证明；若不是，请说明理由 (2)记 AB 与平面 AEC 所成的角为 ， 求 cos2 的值 答
11、案 (1)略 (2)17 解析 (1)AE 底面 BCFE， EC， EB， BC 都在底面 BCFE 上 ， AE EC， AE EB， AE BC. 四边形 ABCD 是正方形 ， BC AB， BC 平面 ABE.又 BE ?平面 ABE， BC BE， 四面体 EABC 是鳖 臑 ， AEB， AEC， CBE， ABC 为直角 (2) AE 1， CE 7， AE EC， AC 2 2， 又 ABCD 为正方形 BC 2， BE 3. =【 ;精品教育资源文库 】 = 作 BOEC 于 O， 则 BO 平面 AEC， 连接 OA， 则 OA 为 AB 在面 AEC 上的射影 BAO
12、，由等面积法得 BEBC ECOB. OB 327 ， sin OBAB 217 ， cos2 1 2sin2 17. 提示 本题也可用向量法求解 9.(2016 课标全国 ， 理 )如图 ， 四棱锥 P ABCD 中 ， PA 底面 ABCD，AD BC， AB AD AC 3， PA BC 4， M 为线段 AD 上一点 ， AM 2MD，N 为 PC 的中点 (1)证明： MN 平面 PAB； (2)求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值 答案 (1)略 (2)8 525 解 析 (1)由已知得 AM 23AD 2. 取 BP 的中点 T， 连接 AT， TN. 由 N 为 PC
13、的中点知 TNBC ， TN 12BC 2. 又 ADBC ， 故 TN 綊 AM， 所以四边形 AMNT 为平行四边形 ， 于是 MNAT. 因为 AT?平面 PAB， MN?平面 PAB， 所以 MN 平面 PAB. (2)取 BC 的中点 E， 连接 AE.由 AB AC 得 AEBC ， 从而 AEAD ， 且 AE AB2 BE2AB2（ BC2 ） 2 5. 以 A 为坐标原点 ， AE 的方向为 x 轴正方向 ， 建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz.由题意知 ， P(0， 0， 4)， M(0， 2， 0)， C( 5， 2， 0)， N( 52 ， 1， 2)， PM (
14、0， 2， 4)， PN ( 52 ，1， 2)， AN ( 52 ， 1， 2) 设 n (x， y， z)为平面 PMN 的法向量 ， 则?n PM 0，n PN 0，即?2y 4z 0，52 x y 2z 0，=【 ;精品教育资源文库 】 = 可取 n (0， 2， 1) 于是 |cos n， AN | |n AN |n|AN | 8 525 . 所以直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值为 8 525 . 10 如图所示 ， 在四棱台 ABCD A1B1C1D1中 ， AA1 底面 ABCD， 四边形 ABCD 为菱形 ， BAD 120， AB AA1 2A1B1 2. (1)若
15、 M 为 CD 中点 ， 求证： AM 平面 AA1B1B； (2)求直线 DD1与平面 A1BD 所成角的正弦值 答案 (1)略 (2)15 解析 (1)四边形 ABCD 为菱形 ， BAD 120， 连接 AC， 如图 ， 则 ACD 为等边三角形 ， 又 M 为 CD 中点 ， AM CD， 由 CDAB ， 得 AMAB ， AA1 底面 ABCD， AM?平面 ABCD， AM AA1， 又 ABAA 1 A， AM 平面 AA1B1B. (2) 四边形 ABCD 为菱形 ， BAD 120， AB AA1 2A1B1 2， DM 1， AM 3， AMD BAM 90， 又 AA1
16、 底面 ABCD， 以 AB， AM， AA1所在直线分别为 x 轴 ， y 轴 ， z 轴 ， 建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz， 则 A1(0， 0， 2)， B(2， 0， 0)， D( 1， 3， 0)， D1( 12， 32 ， 2)， DD1 (12， 32 ， 2)， BD ( 3， 3， 0)， A1B (2， 0， 2)， 设平面 A1BD 的法向量为 n (x， y， z)， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则?n BD 0，n A1B 0，? 3x 3y 0，2x 2z 0， ?y 3x 3z， 令 x 1， 则 n (1， 3， 1)， 直线 DD1与平面 A1BD 所成角 的正弦值为 sin |cos n， DD1 | | n DD
