1、第4讲数列的求和,数列求和,B,A,3.若数列an满足a11，an12an(nN*)，则a5_，,前 8 项的和 S8_. (用数字作答),为10，则项数 n_.,16,255,120,考点 1,公式或分组法求和,例1：(2016年北京)已知an是等差数列，bn是等比数列，且b23，b39，a1b1，a14b4.(1)求an的通项公式；(2)设cnanbn，求数列cn的前n项和.,设等差数列an的公差为d.因为a1b11，a14b427，所以113d27，即d2.所以an2n1(nN*).,【规律方法】若一个数列是由等比数列和等差数列组成，则求和时，可采用分组求和，即先分别求和，再将各部分合并
2、.,(2)由(1)知，an2n1，bn3n1.因此cnanbn2n13n1.从而数列cn的前n项和Sn13(2n1)133n1,【互动探究】,1.(2015年福建)在等差数列an中，a24，a4a715.(1)求数列an的通项公式；,(2)由(1)，可得bn2nn.所以b1b2b3b10(21)(222)(233)(21010)(22223210)(12310)(2112)55211532101.,考点 2,裂项相消法求和,解：(1)因为a13a2(2n1)an2n，故当n2时，a13a2(2n3)an12(n1)，两式相减，得(2n1)an2.,【规律方法】在应用裂项相消法时，要注意消项的规
3、律具有对称性，即前面剩多少项则后面也剩多少项.常见的拆项公,【互动探究】,考点 3,错位相减法求和,例3：(2017年天津)已知an为等差数列，前n项和为Sn(nN*)，bn是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2b312，b3a42a1，S1111b4.(1)求an和bn的通项公式；(2)求数列a2nbn的前n项和(nN*).,解：(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q.由已知b2b312，得b1(qq2)12.因为b12，所以q2q60.又因为q0，解得q2.所以bn2n.由b3a42a1，可得3da18.由S1111b4，可得a15d16.联立，解得a11，d3.由此可得
4、an3n2.所以an的通项公式为an3n2，bn的通项公式为bn2n.,(2)设数列a2nbn的前n项和为Tn，由a2n6n2，得Tn4210221623(6n2)2n，2Tn42210231624(6n8)2n(6n2)2n1，上述两式相减，得Tn4262262362n(6n2)2n1,(3n4)2n216.所以Tn(3n4)2n216.所以数列a2nbn的前n项和为(3n4)2n216.【规律方法】(1)一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，那么求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘等比数列bn的公比，然后作差求解.(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达
5、式时，应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式.,【互动探究】,思想与方法放缩法在数列中的应用,【规律方法】本题要利用放缩技巧构造裂项相消法求和.本题的关键在于能否看出条件方程能十字相乘求出Sn，然后利用anSnSn1求an，请记住，他山之石，可以攻玉！,【互动探究】,假设存在符合条件的 k：若 k 为偶数，则 k5 为奇数.有 f(k5)k3，f(k)2k2.若 f(k5)2f(k)2，则 k34k6?k3 与 k 为偶数矛盾.不符舍去.,若 k 为奇数，则 k5 为偶数.有 f(k5)2k8，f(k)k2.2k82(k2)2,86，则这样的 k 也不存在.综上所述，不存在符合条件的kN*，使得f(k5)2f(k)2. (3)证明：Pn(n2,2n2)，P1(1,0)，,
