1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 层级快练 (五十九 ) 1 已知集合 A (x， y)|x29y24 1， x， y R， B (x， y)|x3y2 1， x， y R， 则 AB中元素的个数为 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 答案 B 解析 集合 A 表示双曲线 ， 顶点为 (3 ， 0)， 其渐近线方程为 x3 y2 0， 集合 B 表示直线 ，与 x 轴的交点为 (3， 0)， 且与其中一条渐近线平行 ， 与双曲线有且只有一 个交点 ， 所以 AB中元素的个数为 1.故选 B. 2 直 线 l 过点 ( 2， 0)且与双曲线 x2 y2 2 仅有一个公共点 ， 这样的直线有
2、( ) A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 答案 C 解析 该点为双曲线的顶点 ， 与双曲线相切的直线有一条 ， 与渐近线平行的直线有两条 ， 共3 条 3 已知 F1， F2是双曲线 x22 y2 1 的左、右焦点 ， P， Q 为右支上的两点 ，直线 PQ 过 F2且倾斜角为 ， 则 |PF1| |QF1| |PQ|的值为 ( ) A 8 B 2 2 C 4 2 D 随 的大小而变化 答案 C 解析 由双曲线定义知： |PF1| |QF1| |PQ| |PF1| |QF1| (|PF2| |QF2|) (|PF1| |PF2|) (|QF1| |QF2|)4a 4 2. 4 已
3、知双曲线 E 的中心为原点 ， F(3， 0)是 E 的焦点 ， 过 F 的直线 l 与 E 相交于 A， B 两点 ，且 AB 的中点为 M( 12， 15)， 则 E 的方程为 ( ) A.x23y26 1 B.x24y25 1 C.x26y23 1 D.x25y24 1 答案 B =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 由已知易得 l 的斜率为 k kFM 1.设双曲线方程为 x2a2y2b2 1(a0， b0)， A(x1， y1)，B(x2， y2)， 则有?x12a2 y12b2 1，x22a2y22b2 1，两式相减并 结合 x1 x2 24， y1 y2 30， 得 y1 y2
4、x1 x2 4b25a2，从而 4b25a2 1， 即 4b2 5a2.又 a2 b2 9， 解得 a2 4， b2 5， 故选 B. 5 (2017 山东师大附中模拟 )过双曲线 x2 y23 1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A， B 两点 ，则满足 |AB| 6 的直线 l 有 ( ) A 4 条 B 3 条 C 2 条 D 1 条 答案 B 解析 当直线 l 的倾斜角为 90 时 ， |AB| 6；当直线 l 的倾斜角为 0 时 ， |AB| 20)上 ， 将点 A 的坐标代入得 a 2， 所以 C 的实轴长为 4. 7 (2018 河北石家庄摸底 )已知 F1， F2 分别为双曲线
5、 C： x2a2y2b2 1(a0， b0)的左、右焦点 ， 过 F1的直线 l 与双曲线 C 的左、右两支分别交于 A， B 两点 ， 若 |AB| |BF2| |AF2|51213 ， 则双曲线的 离心率为 ( ) A. 13 B. 41 C. 15 D. 3 答案 B 解析 设 |AF1| t， |AB| 5x， 则 |BF2| 12x， |AF2| 13x， 根据双曲线的定义 ， 得 |AF2|AF1| |BF1| |BF2| 2a， 即 13x t (5x t) 12x 2a， 解得 t 10x， x 23a， 即 |AF1| 203 a， |AF2| 263 a. |AB| |BF
6、2| |AF2| 51213 ， ABF2 是以 B 为直角的三角=【 ;精品教育资源文库 】 = 形 |BF 1| t 5x 10x 5x 15x 15 23a 10a， |BF2| 12x 12 23a 8a， 则 |BF1|2|BF2|2 |F1F2|2， 即 100a2 64a2 4c2， 即 164a2 4c2， 则 41a2 c2， 即 c 41a， 因此 ， 该双曲线的离心率 e ca 41.故选 B. 8 已知直线 y kx 1 与双曲线 x2 y24 1 交于 A， B 两点 ， 且 |AB| 8 2， 则实数 k 的值为( ) A 7 B 3或 413 C 3 D 413
7、答案 B 解析 由直线与双曲线交于 A， B 两点 ， 得 k2. 将 y kx 1 代入 x2 y24 1 得 (4 k2)x2 2kx 5 0， 则 4k2 4(4 k2)50 ， k20， 解得 b92. 14 (2018 重庆第八中学一调 )已知曲线 y2bx2a 1(ab0 且 ab) 与直线 x y 2 0 相交于 P， Q 两点 ， 且 OP OQ 0(O 为坐标原点 )， 则 1b 1a的值为 _ 答案 12 解析 设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)， OP OQ 0， OP OQ ， x1x2 y1y2 0.由?y2bx2a 1，y x 2，消去 y， 得 (a b
8、)x2 4ax 4a ab 0， 当 ( 4a)2 4(a b)(4a ab) 4ab(a 4 b)0时 ， x1 x2 4aa b， x1x2 4a aba b ， 则 y1y2 ( x1 2)( x2 2) x1x2 2(x1 x2) 4 4a aba b 8aa b 4.由 x1x2 y1y2 0， 得 4a aba b 4a aba b 8aa b 4 0， 化简得 1b 1a 12. 15 (2018 山东寿光一中月考 )设 F1， F2是双曲线 x2 y23 1 的两个焦点 ， P 是双曲线上一点，若 3|PF1| 4|PF2|， 则 PF 1F2的面积是 _ 答案 3 15 解析
9、 设 |PF1| m， |PF2| n， 因为 3|PF1| 4|PF2|， 所以 3m 4n， 即 m 43n.根据双曲线的定义可知 m n 2， 解得 n 6， m 8.在 PF 1F2 中 ， 由余弦定理 ， 得 cos F1PF2m2 n2（ 2c） 22mn 78， 所以 sin F1PF2158 ， 所以 PF 1F2的面积为 S12mnsin F1PF212 6 8 158 3 15. 16 求两条渐近线为 x 2y 0 和 x 2y 0 且截直线 x y 3 0 所得的弦长为 8 33 的双曲线的方程 答案 x24 y2 1 解析 渐近线方程为 y 12x， =【 ;精品教育资
10、源文库 】 = 可设双曲线方程为 x24my2m 1， 则 ?x24my2m 1，x y 3 0.可得 3x2 24x 36 4m 0， x1 x2 8， x1x2 36 4m3 . 由弦长公式 |AB| 1 k2 （ x1 x2） 2 4x1x2， 得 |AB| 2 48 16m3 . 又 |AB| 8 33 ， m 1. 双曲线方程为 x24 y2 1. 17 已知点 M( 2， 0)， N(2， 0)，动点 P 满足条件 |PM| |PN| 2 2， 记动点 P 的轨迹为W. (1)求 W 的方程； (2)若 A 和 B 是 W 上的不同两点 ， O 是坐标原点 ， 求 OA OB 的最
11、小值 答案 (1)x22y22 1(x 2) (2)2 解析 (1)由 |PM| |PN| 2 2知 动点 P 的轨迹是以 M， N 为焦点的双曲线的右支 ， 实半轴长a 2. 又焦距 2c 4， 所以虚半轴长 b c2 a2 2. 所以 W 的方程为 x22y22 1(x 2) (2)设 A， B 的坐标分别为 (x1， y1)， (x2， y2) 当 ABx 轴时 ， x1 x2， y1 y2， 从而 OA OB x1x2 y1y2 x12 y12 2. 当 AB 与 x 轴不垂直时 ， 设直线 AB 的方程为 y kx m(k1) ， 与 W 的方程联立 ， 消去 y得 (1 k2)x2
12、 2kmx m2 2 0， 则 x1 x2 2km1 k2， x1x2 m2 2k2 1， 所以 OA OB x1x2 y1y2 x1x2 (kx1 m)(kx2 m) (1 k2)x1x2 km(x1 x2) m2 =【 ;精品教育资源文库 】 = （ 1 k2）（ m2 2）k2 1 2k2m21 k2 m2 2k2 2k2 1 24k2 1. 又因为 x1x20， 所以 k2 10. 所以 OA OB 2. 综上所述 ， 当 AB x 轴时 ， OA OB 取得最小值 2. 18 (2017 河南安阳调研 )已知圆 C1： (x 62 )2 y2 258 ， 圆 C2： (x 62 )2
13、 y2 18， 动圆 P与已知两圆都外切 (1)求动圆的圆心 P 的轨迹 E 的方程； (2)直线 l： y kx 1 与点 P 的轨迹 E 交于不同的两点 A， B， AB 的中垂线与 y 轴交于点 N，求点 N 的纵坐标的取值范围 答案 (1)2x2 y2 1(x0) (2)( ， 32) 解析 (1)已知两圆的圆心、半径分别为 C1( 62 ， 0)， r1 5 24 ； C2( 62 ， 0)， r2 24 . 设动圆 P 的半径为 r， 由题意知 |PC1| r 5 24 ， |PC2| r 24 ， 则 |PC1| |PC2| 20) (2)将直线 y kx 1 代入双曲线方程 ，
14、 并整理 ， 得 (k2 2)x2 2kx 2 0. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， AB 的中点为 M(x0， y0)， 依题意 ， 直线 l 与双曲线的右支交于不同两点 ， 故 ?k2 20 ， （ 2k） 2 8（ k2 2） 0，x1 x2 2kk2 20，x1x2 2k2 20.所以 20) ， x0 x1 x22 m， y0 x0 m 2m， 点 M(x0，y0)在圆 x2 y2 5 上 ， m2 (2m)2 5， m 1. 2 已知 双曲线 x216y29 1 的左、右焦点分别为 F1， F2， 过 F2的直线与该双曲线的右支交于 A，B 两点 ， 若 |AB|
15、5， 则 ABF 1的周长为 ( ) A 16 B 20 C 21 D 26 答案 D 解析 由双曲线 x216y29 1， 知 a 4.由双曲线定义 |AF1| |AF2| |BF1| |BF2| 2a 8， |AF1| |BF1| |AF2| |BF2| 16 21， 所以 ABF 1 的周长为 |AF1| |BF1| |AB| 21 526. 3 (2017 南昌第一次模拟 )双曲线 x2b2y2a2 1(b0， a0)与抛物线 y18x2有一个 公共焦点F， 双曲线上过点 F 且垂直于 y 轴的弦长为 2 33 ， 则双曲线的离心率等于 ( ) A 2 B.2 33 C.3 22 D.
16、 3 答案 B 解析 双曲线与抛物线 x2 8y 的 公共焦点 F 的坐标为 (0， 2)， 由题意知点 ( 33 ， 2)在双曲=【 ;精品教育资源文库 】 = 线上 ， 于是?a2 b2 4，13b24a2 1，得 a2 3， 故 e ca 2 33 ， 故选 B. 4 (2015 四川 ， 理 )过双曲线 x2 y23 1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线 ， 交该双曲线的两条渐近线于 A， B 两点 ， 则 |AB| ( ) A.4 33 B 2 3 C 6 D 4 3 答案 D 解析 双曲线 x2 y23 1 的右焦点坐标为 (2， 0)， 渐近线方程为 y 3x， 由题意知 A(2，2 3)， B(2， 2 3)或 A(2， 2 3)， B(2， 2 3)， 所以 |AB| 4 3， 故选 D. 5 (2018 陕西质检 )双曲线 x24y212 1 的两条渐近线与直线 x
