1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第四节 平行关系 考纲传真 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理 .2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题 (对应学生用书第 101 页 ) 基础知识填充 1直线与平面平行的判定与性质 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 若平面外一条直线与 此平面内 的一条直线平行，则该直线与此平面平行 (简记为 “ 线线平行 ?线面平行 ”) 若直线 l 平面 ，直线l ， l ，则 l 性质定理 如果一条直线与一个平面平行 ，则过该直线的任一平面与已知平面的 交线 与该直线平行 (简
2、记为 “ 线面平行 ?线线平行 ”) 若直线 l 平面 ， l 平面 ， b，则 l b 2. 面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面内有两条 相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行 (简记为 “ 线面平行 ?面面平行 ”) 若直线 a 平面 ，直线 b ， a 平面 ，b 平面 ， a b A，并且 a ， b ，则 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面 相交 ，那么它们的 交线 平行 若平面 平面 ， 平面 a， b，则 a b 知识拓展 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若 a ， a ，则 ； (2)垂直于同一个平面的两条直
3、线平行，即若 a ， b ，则 a b； (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若 ， ，则 . (4)两个平面平行，则其中任意一个平面内的直线与另一个平面平行，即 ， m ，则 m . =【 ;精品教育资源文库 】 = 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和 这个平面平行 ( ) (2)若直线 a 平面 ， P ，则过点 P 且平行于直线 a 的直线有无数条 ( ) (3)若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 ( ) (4)若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个
4、平面平行 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2 (教材改编 )下列命题中，正确的是 ( ) A若 a， b 是两条直线，且 a b，那么 a 平行于经过 b 的任何平面 B若直线 a 和平面 满足 a ，那么 a 与 内的任何直线平行 C若直线 a， b 和平面 满足 a ， b ，那么 a b D若直线 a， b 和平面 满足 a b， a ， b ，则 b D 根据线面平行的判定与性质定理知，选 D 3设 ， 是两个不同的平面， m 是直线且 m ， “ m ” 是 “ ” 的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 B 当 m
5、时，过 m 的平面 与 可能平行也可能相交，因而 m ；当 时， 内任一直线与 平行，因为 m ，所以 m .综上知， “ m ”是 “ ” 的必要而不充分条件 4在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E 是 DD1的中点，则 BD1与平面 ACE 的位置关系是 _ 平行 如图所示，连接 BD 交 AC 于 F，连接 EF，则 EF 是 BDD1的中位线， EF BD1， 又 EF 平面 ACE， BD1 平面 ACE， BD1 平面 ACE. 5 (2017 河北石家庄质检 )设 m， n 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，给出下列四个命题： 若 m ， n ，则 m n； 若
6、 ， ， m ，则 m ； 若 n， m n， m ，则 m ； 若 ， ，则 . 其中是真命题的是 _(填上序号 ) 【导学号： 00090247】 ， m n 或 m， n 异面，故 错误；易知 正确； ， m 或 m ，故 错误；=【 ;精品教育资源文库 】 = ， 或 与 相交， 故 错误 (对应学生用书第 102 页 ) 与线、面平行相关命题真假的判断 (2017 全国卷 )在下列四个正方体中， A， B 为正方体的两个顶点， M， N， Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是 ( ) A A 项，作如图 所示的辅助线，其中 D 为 BC 的中
7、点，则 QD AB QD 平面 MNQ Q， QD 与平面 MNQ 相交， 直线 AB 与平面 MNQ 相交 B 项，作如图 所示的辅助线，则 AB CD， CD MQ， AB MQ. 又 AB 平面 MNQ， MQ 平面 MNQ， AB 平面 MNQ. C 项，作如图 所示的辅助线，则 AB CD， CD MQ， AB MQ. 又 AB 平面 MNQ， MQ 平面 MNQ， AB 平面 MNQ. =【 ;精品教育资源文库 】 = D 项，作如图 所示的辅助线，则 AB CD， CD NQ， AB NQ. 又 AB 平面 MNQ， NQ 平面 MNQ， AB 平面 MNQ. 故选 A 规律方法
8、 1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项 2 (1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断 (2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情形，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确 变式训练 1 (1)(2018 唐山模拟 )若 m， n 表示不同的直线， ， 表示不同的平面，则下列结论中正 确的是 ( ) 【导学号： 00090248】 A若 m ， m n，则 n B若 m ， n ， m ， n ，则 C若 ， m ， n ，则
9、m n D若 ， m ， n m， n ，则 n (2)在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E， F， G 分别是 A1B1， B1C1， BB1的中点，给出下列四个推断： FG 平面 AA1D1D； EF 平面 BC1D1； FG 平面 BC1D1； 平面 EFG 平面 BC1D1 其中推断正确的序号是 ( ) 图 741 A B C D (1)D (2)A (1)在 A 中，若 m ， m n，则 n 或 n ，故 A 错误在 B 中，若m ， n ， m ， n ，则 与 相交或平行，故 B 错误在 C 中，若 ，m ， n ，则 m 与 n 相交、平行或异面，故 C 错误在 D 中
10、，若 ， m ， n m， n ，则由线面平行的判定定理得 n ，故 D 正确 (2) 在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E， F， G 分别是 A1B1， B1C1， BB1的中点， FG BC1， BC1 AD1， FG AD1， FG 平面 AA1D1D， AD1 平面 AA1D1D， FG 平面 AA1D1D，故 正确； =【 ;精品教育资源文库 】 = EF A1C1， A1C1与平面 BC1D1相交， EF 与平面 BC1D1相交，故 错误； E， F， G 分别是 A1B1， B1C1， BB1的中点， FG BC1， FG 平面 BC1D1， BC1 平面 BC1D1，
11、FG 平面 BC1D1，故 正确； EF 与平面 BC1D1相交， 平面 EFG 与平面 BC1D1相交，故 错误 直线与平面平行的判定与性质 (2016 南通模拟 )如图 742 所示，斜三棱柱 ABCA1B1C1中，点 D， D1分别为 AC，A1C1上的点 (1)当 A1D1D1C1等于何值时， BC1 平面 AB1D1； (2)若平面 BC1D 平面 AB1D1，求 ADDC的值 图 742 解 (1)如图所示，取 D1为线段 A1C1的中点，此时 A1D1D1C1 1. 2 分 连接 A1B，交 AB1于点 O，连接 OD1. 由棱柱的性质知，四边形 A1ABB1为平行四边形， 点
12、O 为 A1B 的中点 在 A1BC1中，点 O， D1分别为 A1B， A1C1的中点， OD1 BC1. 4 分 又 OD1 平面 AB1D1， BC1 平面 AB1D1， BC1 平面 AB1D1. 当 A1D1D1C1 1 时， BC1 平面 AB1D1. 6 分 (2)由平面 BC1D 平面 AB1D1，且平面 A1BC1 平面 BC1D BC1，平面 A1BC1 平面 AB1D1 D1O得 =【 ;精品教育资源文库 】 = BC1 D1O， 8 分 同理 AD1 DC1， A1D1D1C1 A1OOB， A1D1D1C1 DCAD，又 A1OOB 1， DCAD 1，即 ADDC
13、1. 12 分 规律方法 1.判断或证明线面平行的常用方法有： (1)利用反证法 (线面平行的定义 )； (2)利用线面平行的判定定理 (a ， b ， a b?a )； (3)利用面面平行的性质定理 ( ， a ?a )； (4)利用面面平行的性质 ( ， a ， a ?a ) 2利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线常利用三角形的中 位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线 变式训练 2 (2018 西安模拟 )如图 743，在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 为等腰梯形， AB CD， AB 4， CD 2， E， E1分别是棱 AD，
14、 AA1的中点，设 F 是棱 AB 的中点，证明：直线 EE1 平面 FCC1； 【导学号： 00090249】 图 743 证明 法一：取 A1B1的中点为 F1，连接 FF1， C1F1， 由于 FF1 BB1 CC1，所以 F1 平面 FCC1，因此平面 FCC1即为平面 C1CFF1.连接 A1D， F1C，由于 A1F1綊 D1C1綊 CD，所以四边形 A1DCF1为平行四边形，因此 A1D F1C 又 EE1 A1D，得 EE1 F1C，而 EE1 平面 FCC1， F1C 平面 FCC1，故 EE1 平面 FCC1. 法二：因为 F 为 AB 的中点， CD 2， AB 4， AB CD，所以 CD 綊 AF，因 此四边形 AFCD 为平行四边形，所以 AD FC 又 CC1 DD1， FC CC1 C， FC 平面 FCC1，CC1 平面 FCC
