1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第四节 函数 y Asin(x )的图像及三角函数的简单应用 考纲传真 1.了解函数 y AsinF(x )的物理意义；能画出函数的图像，了解参数 A， ， 对函数图像变化的影响 .2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型 (对应学生用书第 45 页 ) 基础知识填充 1函数 y Asin (x )中各量的物理意义 y Asin(x )(A0， 0， x0) ，表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 A T 2 f 1T 2 x 2. 用五点法画 y Asin(x )一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所
2、示 x 2 32 2 x 0 2 32 2 y Asin(x ) 0 A 0 A 0 3. 由 y sin x 的图像变换得到 y Asin(x )(其中 A 0， 0)的图像 先平移后伸缩 先伸缩后平移 ? ? 知识拓展 1由 y sin x 到 y sin(x )( 0， 0)的变换中，应向左平移 个单位长度，而非 个单位长度 2函数 y Asin(x )的对称轴由 x k 2 ， k Z 确定；对称中心由 x k ， k Z 确定其横坐标 =【 ;精品教育资源文库 】 = 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “ ”) (1)利用图像变换作图时
3、 “ 先平移，后伸缩 ” 与 “ 先伸缩，后平移 ” 中平移的单位长度一致 ( ) (2)将 y 3sin 2x 的图像左移 4 个单位后所得图像的解析式是 y 3sin? ?2x 4 .( ) (3)函数 f(x) Asin(x )的图像的两个相邻对称轴间的距离为一个周期 ( ) (4)函数 y Acos(x )的最小正周期为 T，那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为 T2.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2 (2016 四川高考 )为了得到函数 y sin? ?x 3 的图像，只需把函数 y sin x 的图像上所有的点 ( ) A向左平行移动 3 个单位长度 B向右平
4、行移动 3 个单位长度 C向上平行移动 3 个单位长度 D向下平行移动 3 个单位长度 A 把函数 y sin x 的图像上 所有的点向左平行移动 3 个单位长度就得到函数 ysin? ?x 3 的图像 3 (2017 山东高考 )函数 y 3sin 2x cos 2x 的最小正周期为 ( ) A 2 B 23 C D 2 C y 3sin 2x cos 2x 2sin? ?2x 6 ， T 22 . 故选 C 4将函数 y sin(2x )的图像沿 x 轴向左平移 8 个单位后，得到一个偶函数的图像，则 的一个可能取值为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 34 B 4 C 0 D
5、 4 B 把函数 y sin(2x )沿 x 轴向左平移 8 个单位后得到函数 y sin 2? ?x 2 8 sin? ?2x 4 为偶函数，则 的一个可能取值是 4. 5 (教材改编 )电流 I(单位： A)随时间 t(单位： s)变化的函数关系式是 I 5sin? ?100 t 3 ，t 0， ) ，则电流 I 变化的初相、周期分别是 _ 【导学号： 00090097】 3 ， 150 由初相和周期的定义，得电流 I 变化的初相是 3 ，周期 T 2100 150. (对应学生用书第 46 页 ) 函数 y Asin(x )的图像及变换 (1)(2017 全国卷 )已知曲线 C1： y
6、cos x， C2： y sin? ?2x 23 ，则下面结论正确的是 ( ) A把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到 的曲线 向右平移 6 个单位长度，得到曲线 C2 B把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线 向左平移 12个单位长度，得到曲线 C2 C把 C1上各点的横坐标缩短到原来的 12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向 右平移 6 个单位长度，得到曲线 C2 D把 C1上各点的横坐标缩短到原来的 12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向 左平移 12个 单位长度，得到曲线 C2 D 因为 y sin? ?2x 23 cos? ?2
7、x 23 2 cos? ?2x 6 ，所以曲线 C1： y cos x上各点的横坐标缩短到原来的 12倍，纵坐标不变，得到曲线 y cos 2x，再把得到的曲线 y=【 ;精品教育资源文库 】 = cos 2x 向左平移 12个单位长度，得到曲线 y cos 2? ?x 12 cos? ?2x 6 . 故选 D (2)已知函数 f(x) 3sin? ?12x 4 ， x R. 画出函数 f(x)在一个周期的闭区间上的简图； 将函数 y sin x 的图像作怎样的变换可得到 f(x)的图 像？ 解 列表取值： x 2 32 52 72 92 12x4 0 2 32 2 f(x) 0 3 0 3
8、0 描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图 先把 y sin x 的图像向右平移 4 个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的 2 倍，再把所有点的纵 坐标扩大为原来的 3 倍，得到 f(x)的图像 规律方法 1.变换法作图像的关键是看 x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用 x ? ?x 确定平移单位 2用 “ 五点法 ” 作图，关键是通过变量代换，设 z x ，由 z 取 0， 2 ， ， 32 ，2 来求出相应的 x，通过列表，描点得出图像如果在限定的区间内作图像，还应注意端点的确定 变式训练 1 (1)(2016 全国卷 )将函数 y 2sin? ?2x 6
9、 的图像向右平移 14个周期后，所得图像对应的函数为 ( ) A y 2sin? ?2x 4 B y 2sin? ?2x 3 C y 2sin? ?2x 4 D y 2sin? ?2x 3 (2)(2018 长春模拟 )要得到函数 f(x) cos? ?2x 3 的图像，只需将函数 g(x)=【 ;精品教育资源文库 】 = sin? ?2x 3 的图像 ( ) 【导学号： 00090098】 A向左平移 2 个单位长度 B向右平移 2 个单位长度 C向左平移 4 个单位长度 D向右平移 4 个单位长度 (1)D (2)C (1)函数 y 2sin? ?2x 6 的周期为 ，将函数 y 2sin
10、? ?2x 6 的图像向右平移 14个周期即 4 个单位长度，所得图像对应的函数为 y 2sin? ?2? ?x 4 6 2sin? ?2x 3 ，故选 D (2)f(x) cos? ?2x 3 sin? ?2x 56 ， 故把 g(x) sin? ?2x 3 的图像向左平移 4 个单位，即得函数 f(x) sin? ?2? ?x 4 3 的图像，即得到函数 f(x) cos? ?2x 3 的图像，故选 C 求函数 y Asin(x )的解析式 (1)(2016 全国卷 )函数 y Asin(x )的部分图像如图 341所示，则 ( ) 图 341 A y 2sin? ?2x 6 B y 2s
11、in? ?2x 3 C y 2sin? ?x 6 D y 2sin? ?x 3 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)已知函数 y Asin(x ) b(A 0， 0)的最大值为 4，最小值为 0，最小正周期为 2 ，直线 x 3 是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为 ( ) A y 4sin? ?4x 6 B y 2sin? ?2x 3 2 C y 2sin? ?4x 3 2 D y 2sin? ?4x 6 2 (1)A (2)D (1)由图像知 T2 3 ? ? 6 2 ，故 T ，因此 2 2.又图像的一个最高点坐标为 ? ? 3 ， 2 ，所以 A 2，且 2 3 2
12、k 2(k Z)，故 2k 6(k Z)，结合选项可知 y 2sin? ?2x 6 .故选 A (2)由函数 y Asin(x ) b 的最大值为 4，最小值为 0，可知 b 2， A 2.由函数的最小正周期为 2 ，可知 2 2 ，得 4.由直线 x 3 是其图像的一条对称轴，可知 4 3 k 2 ， k Z，从而 k 56 ， k Z，故满足题意的是 y 2sin? ?4x 6 2. 规律方法 确定 y Asin(x ) b(A 0， 0)的步骤和方法 (1)求 A， b：确定函数的最大值 M 和最小值 m，则 A M m2 ， b M m2 ； (2)求 ：确定函数的周期 T，则可得 2
13、T ； (3)求 ：常用的方法有： 代入法：把图像上的一个已知点代入 (此时 A， ， b 已知 )或代入图像与直线 y b 的交点求解 (此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上 ) 五点法：确定 值时，往往以寻找 “ 五点法 ” 中的某一个点为突破口 “ 第一点 ”( 即图像上升时与 x 轴的交点 )时 x 0； “ 第二点 ”( 即图像的 “ 峰点 ”) 时 x 2 ； “ 第三点 ”( 即图像下降时与 x 轴的交点 )时 x ； “ 第四点 ”( 即图像的 “ 谷点 ”) 时 x 32 ； “ 第五点 ” 时 x 2. 变式训练 2 (2017 石家庄一模 )函数 f(x) Asin(x )(A 0， 0)的部分图像如=【 ;精品教育资源文库 】 = 图 342 所示，则 f? ?1124 的值为 ( ) 图 342 A 62 B 32 C 22 D 1 D 由图像可得 A 2，最小正周期 T 4? ?712 3 ，则 2T 2.又 f? ?712 2sin? ?76 2，解得 53 2k( k Z)，即 k 1，
