1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第二节 两条直线的位置关系 考纲传真 1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直 .2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标 .3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离 (对应学生用书第 112 页 ) 基础知识填充 1两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线 l1， l2，若其斜率分别为 k1， k2，则有 l1 l2?k1 k2. 当直线 l1， l2不重合且斜率都不存在时， l1 l2. (2)两条直线垂直 如果两条直线 l1， l2的斜率存在，设为 k1， k2，则有 l1 l2?k1
2、k2 1. 当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为 0 时， l1 l2. 2两条直线的交点的求法 直线 l1： A1x B1y C1 0， l2： A2x B2y C2 0(A1， B1， C1， A2， B2， C2为常数 )，则 l1与l2 的交点坐标就是方程组? A1x B1y C1 0，A2x B2y C2 0 的解若方程组有唯一解，则两直线 相交 ；若方程组无解，则两条直线 平行 ；若方程组有无数 个解，则两条直线 重合 3距离 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)两点之间的距离 |P1P2| |P1P2| x2 x1 2 y2 y1 2 点 P0(x0， y0)
3、到直线 l： Ax By C 0 的距离 d |Ax0 By0 C|A2 B2 平行线 Ax By C1 0与 Ax By C2 0间的距离 d |C1 C2|A2 B2 知识拓展 1直线系方程 (1)与直线 Ax By C 0 平行的直线系方程是 Ax By m 0(m R 且 m C) (2)与直线 Ax By C 0 垂直的直线系方程是 Bx Ay n 0(n R) 2两直线平行或重合的充要条件 直线 l1： A1x B1y C1 0 与直线 l2： A2x B2y C2 0 平行或重合的充要条件是 A1B2 A2B1 0. 3两直线垂直的充要条件 直线 l1： A1x B1y C1 0
4、 与直线 l2： A2x B2y C2 0 垂直的充要条件是 A1A2 B1B2 0. =【 ;精品教育资源文库 】 = 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)当直线 l1和 l2斜率 都存在时，一定有 k1 k2?l1 l2.( ) (2)如果两条直线 l1与 l2垂直，则它们的斜率之积一定等于 1.( ) (3)点 P(x0， y0)到直线 y kx b 的距离为 |kx0 b|1 k2 .( ) (4)已知直线 l1： A1x B1y C1 0， l2： A2x B2y C2 0(A1， B1， C1， A2， B2， C2为常数
5、 )，若直线 l1 l2，则 A1A2 B1B2 0.( ) (5)若点 P， Q 分别是两条平行线 l1， l2上的任意一点，则 P， Q 两点的最小距离就是两条平行线 的距离 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 2 (教材改编 )已知点 (a,2)(a0)到直线 l： x y 3 0 的距离为 1，则 a 等于 ( ) A 2 B 2 2 C 2 1 D 2 1 C 由题意得 |a 2 3|2 1，即 |a 1| 2，又 a0， a 2 1. 3直线 l： (a 2)x (a 1)y 6 0，则直线 l 恒过定点 _ (2， 2) 直线 l 的方程变形为 a(x y) 2
6、x y 6 0， 由? x y 0， 2x y 6 0， 解得 x 2， y 2， 所以直线 l 恒过定点 (2， 2) 4已知直线 l1： ax (3 a)y 1 0， l2： x 2y 0.若 l1 l2，则实数 a 的值为 _. 【导学号： 00090269】 2 由 aa 3 2，得 a 2. 5已知直线 3x 4y 3 0 与直线 6x my 14 0 平行，则它们之间的距离是 _ 2 63 m4 14 3， m 8， 直线 6x my 14 0 可化为 3x 4y 7 0， 两平行线之间的距离 d | 3 7|32 42 2. (对应学生用书第 113 页 ) =【 ;精品教育资源
7、文库 】 = 两条直线的平行与垂直 (1)设 a R，则 “ a 1” 是 “ 直线 l1： ax 2y 1 0 与直线 l2： x (a 1)y 4 0平行 ” 的 ( ) A充分不必 要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 (2)(2018 潍坊模拟 )过点 ( 1,3)且垂直于直线 x 2y 3 0 的直线方程为 ( ) A 2x y 1 0 B 2x y 5 0 C x 2y 5 0 D x 2y 7 0 (1)A (2)A (1)当 a 1 时，显然 l1 l2， 若 l1 l2，则 a(a 1) 21 0，所以 a 1 或 a 2. 所以 a 1 是直线 l1
8、与直线 l2平行的充分不必要条件 (2)直线 x 2y 3 0 的斜率为 12，从 而所求直线的斜率为 2. 又直线过点 ( 1,3)， 所以所求直线的方程为 y 3 2(x 1)，即 2x y 1 0. 规律方法 1.判断直线间的位置关系，要注意直线方程中字母参数取值的影响，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，还要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意 x， y 的系数不能同时为零这一隐含条件 2在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论，可避免讨论另外当 A2B2C20 时，比例式 A1A2与 B1B2， C1C2的关系容易记住，在解答选择、填空题时，有时比较方便
9、变式训练 1 已知过点 A( 2， m)和点 B(m,4)的直线为 l1，直线 2x y 1 0 为 l2，直线x ny 1 0 为 l3.若 l1 l2， l2 l3，则实数 m n 的值为 ( ) A 10 B 2 C 0 D 8 A l1 l2， kAB 4 mm 2 2，解得 m 8. 又 l2 l3， ? ? 1n ( 2) 1， 解得 n 2， m n 10. 两直线的交点与距离问题 (1)直线 l 过点 P( 1,2)且到点 A(2,3)和点 B( 4,5)的距离相等，则直线 l 的方程为 _ (2)过点 P(3,0)作一直线 l，使它被两直线 l1： 2x y 2 0 和 l2
10、： x y 3 0 所截的线=【 ;精品教育资源文库 】 = 段 AB 以 P 为中点，求此直线 l 的方程 (1)x 3y 5 0 或 x 1 法一：当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y 2k(x 1)，即 kx y k 2 0. 由题意知 |2k 3 k 2|k2 1 | 4k 5 k 2|k2 1 ， 即 |3k 1| | 3k 3|， k 13， 直线 l 的方程为 y 2 13(x 1)，即 x 3y 5 0. 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x 1，也符合题意 法二：当 AB l 时，有 k kAB 13，直线 l 的方程为 y 2 13(x 1)，即
11、 x 3y 5 0. 当 l 过 AB 中点时， AB 的中点为 ( 1,4)， 直线 l 的方程为 x 1. 故所求直线 l 的方程为 x 3y 5 0 或 x 1. (2)设直线 l 与 l1的交点为 A(x0， y0)，则直线 l 与 l2的交点 B(6 x0， y0)， 2 分 由题意知? 2x0 y0 2 0，6 x0 y0 3 0， 解得 ? x0 113 ，y0 163 ，6 分 即 A? ?113 ， 163 ，从而直线 l 的斜率 k163 0113 3 8， 10 分 直线 l 的方程为 y 8(x 3)，即 8x y 24 0. 12 分 规律方法 1.求过两直线交点的直
12、线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程；也可利用过交点的直线系方程，再求参数 2利用距离公式应注意： 点 P(x0， y0)到直线 x a 的距离 d |x0 a|，到直线 y b 的距离 d |y0 b|； 两平行线间的距离公式要把两直线方程中 x， y 的系数 化为相等 变式训练 2 (1)已知直线 y kx 2k 1 与直线 y 12x 2 的交点位于第一象限，则实数 k 的取值范围是 _. 【导学号： 00090270】 (2)(2018 石家庄模拟 )若直线 l1： x ay 6 0 与 l2： (a 2)x 3y 2a 0 平行，则 l1与 l2间的距离
13、为 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)? ? 16， 12 (2)8 23 法一 ：由方程组? y kx 2k 1，y 12x 2， 解得 ? x 2 4k2k 1，y 6k 12k 1.(若 2k 1 0，即 k 12，则两直线平行 ) 交点坐标为 ? ?2 4k2k 1， 6k 12k 1 . 又 交点位于第一象限， ? 2 4k2k 1 0，6k 12k 1 0，解得 16 k 12. 法二：如图，已知直线 y 12x 2 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A(4,0)， B(0,2) 而直线方程 y kx 2k 1 可变形为 y 1 k(x 2)，表示这是一条过定点 P( 2,
14、1)，斜率为 k 的动直线 两直线的交点在第一象限， 两直线的交点必在线段 AB 上 (不包括端点 )， 动直线的 斜率 k 需满足 kPA k kPB kPA 16， kPB 12. 16 k 12. (2)由 a(a 2) 3 得 a 3 或 a 1，经检验 a 3 时两直线重合，因此 a 1，此时 l1的方程为 x y 6 0， l2的方程为 x y 23 0，两条直线间的距离为 d ? ?6 232 8 23 . 对称问题 (1)平面直角坐标系中直线 y 2x 1 关于点 (1,1)对称的直线 l 方程是 _ (2)光线从 A( 4， 2)点射出，到直线 y x 上的 B 点后被直线
15、y x 反射到 y 轴上的 C点，又被 y 轴反射，这时反射光线恰好过点 D( 1,6)，则 BC 所在的直线方程是 _ (1)y 2x 3 (2)10x 3y 8 0 (1)法一：在直线 l 上任取一点 P( x， y)，其关于点 (1,1)的对称点 P(2 x,2 y)必在直线 y 2x 1 上， 2 y 2(2 x) 1，即 2x y=【 ;精品教育资源文库 】 = 3 0. 因此，直线 l 的方程为 y 2x 3. 法二：由题意， l 与直线 y 2x 1 平行，设 l 的方程为 2x y c 0(c1) ，则点 (1,1)到两平行线的距离相等， |2 1 c|22 1 |2 1 1|22 1 ，解得 c 3. 因此所求直线 l 的方程为 y 2x 3. 法三：在直线 y 2x 1 上任取两个点 A(0,1)， B(1,3)，则点 A 关于点 (1,1)对称的点M(2,1)，点 B 关于点 (
