1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层训练 (三十一 ) 等差数列及其前 n 项和 A 组 基础达标 一、选择题 1已知数列 an是等差数列， a1 a7 8， a2 2，则数列 an的公差 d 等于 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 C 法一：由题意可得? a1 (a1 6d) 8，a1 d 2， 解得 a1 5， d 3. 法二： a1 a7 2a4 8， a4 4， a4 a2 4 2 2d， d 3. 2 (2016 全国卷 ) 已知等 差数列 an前 9 项的和为 27， a10 8，则 a100 ( ) A 100 B 99 C 98 D 97 C 法一： an是等差数列
2、，设其公差为 d， S9 92(a1 a9) 9a5 27， a5 3. 又 a10 8， ? a1 4d 3，a1 9d 8， ? a1 1，d 1. a100 a1 99d 1 991 98.故选 C. 法二： an是等差数列， S9 92(a1 a9) 9a5 27， a5 3. 在等差数列 an中， a5， a10， a15， ? ， a100成等差数列，且公差 d a10 a5 8 3 5. 故 a100 a5 (20 1)5 98.故选 C. 3设 Sn为等差数列 an的前 n 项和，若 a1 1，公差 d 2， Sn 2 Sn 36，则 n ( ) A 5 B 6 C 7 D 8
3、 D 由题意知 Sn 2 Sn an 1 an 2 2a1 (2n 1)d 2 2(2n 1) 36，解得 n 8. 4 (2017 全国卷 ) 等差数列 an的首项为 1，公差不为 0.若 a2， a3， a6成等比数列，则 an前 6 项的和为 ( ) A 24 B 3 C 3 D 8 A 由已知条件可得 a1 1， d0 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 由 a23 a2a6可得 (1 2d)2 (1 d)(1 5d)， 解得 d 2. 所以 S6 61 65 ( 2)2 24. 故选 A. 5 (2018 云南二检 )已知等差数列 an中， a1 11， a5 1，则 an的前 n
4、 项和 Sn的最大值是 ( ) 【 导学号： 79140173】 A 15 B 20 C 26 D 30 C 设数列 an的公差为 d，则 d 14(a5 a1) 3，所以 an 11 3(n 1) 14 3n，令 an 14 3n0 ，解得 n 143 ，所以 Sn的最大值为 S4 411 432 ( 3) 26，故选 C. 二、填空题 6在等差数列 an中，公差 d 12，前 100 项的和 S100 45，则 a1 a3 a5 ? a99 _. 10 S100 1002 (a1 a100) 45， a1 a100 0.9 a1 a99 a1 a100 d 0.4， 则 a1 a3 a5
5、? a99 502(a1 a99) 502 0.4 10. 7九章算术是我国第一部数学专著，下面有源自其中的一个问题： “ 今有金箠 (chu)，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问金箠重几何？ ” 意思是： “ 现有一根金箠，长 5 尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下 1 尺，重 4 斤；在细的一端截下 1尺，重 2 斤；问金箠重多少 斤？ ” 根据上面的已知条件，若金箠由粗到细的重量是均匀变化的，则答案是 _ 15 斤 由题意可知金 箠 由粗到细各尺的重量成等差数列 ，且 a1 4， a5 2，则 S55(a1 a5)2 15，故金 箠 重 15 斤 8在等差数列 an中， a1
6、 7，公差为 d，前 n 项和为 Sn，当且仅当 n 8 时 Sn取得最大值，则 d 的取值范围为 _. 【导学号： 79140174】 ? 1， 78 由题意，当且仅当 n 8 时 Sn 有最大值，可得? d 0，a8 0，a9 0，即=【 ;精品教育资源文库 】 = ? d 0，7 7d 0，7 8d 0，解得 1 d 78. 三、解答题 9在等差数列 an中， a1 1， a3 3. (1)求数列 an的通项公式； (2)若数列 an的前 k 项和 Sk 35，求 k 的值 解 (1)设等差数列 an的公差为 d， 则 an a1 (n 1)d. 由 a1 1， a3 3，可得 1 2d
7、 3， 解得 d 2. 从而 an 1 (n 1)( 2) 3 2n. (2)由 (1)可知 an 3 2n， 所以 Sn n1 (3 2n)2 2n n2. 由 Sk 35，可得 2k k2 35， 即 k2 2k 35 0，解得 k 7 或 k 5. 又 k N ，故 k 7. 10已知等差数列的前三项依次为 a,4,3a，前 n 项和为 Sn，且 Sk 110. (1)求 a 及 k 的值； (2)设数列 bn的通项公式 bn Snn，证明：数列 bn是 等差数列，并求其前 n 项和 Tn. 解 (1)设该等差数列为 an，则 a1 a， a2 4， a3 3a， 由已知有 a 3a 8
8、，得 a1 a 2，公差 d 4 2 2， 所以 Sk ka1 k(k 1)2 d 2k k(k 1)2 2 k2 k. 由 Sk 110，得 k2 k 110 0， 解得 k 10 或 k 11(舍去 )，故 a 2， k 10. (2)证明：由 (1)得 Sn n(2 2n)2 n(n 1)， 则 bn Snn n 1， 故 bn 1 bn (n 2) (n 1) 1， 即数列 bn是首项为 2，公差为 1 的等差数列， 所以 Tn n(2 n 1)2 n(n 3)2 . =【 ;精品教育资源文库 】 = B 组 能力提升 11 (2018 呼和浩特一调 )等差数列 an中， a2 8，前
9、 6 项的和 S6 66，设 bn 2(n 1)an，Tn b1 b2 ? bn，则 Tn ( ) A 1 1n 1 B 1 1n 2 C.12 1n 1 D 12 1n 2 D 由题意得? 6a1 15d 66，a1 d 8， 解得 ? a1 6，d 2， 所以 an 2n 4，因此 bn2(n 1)(2n 4)1(n 1)(n 2)1n 11n 2，所以 Tn12131314 ? 1n 11n 2 12 1n 2，故选 D. 12设数列 an的前 n 项和为 Sn，若 SnS2n为常数，则称数列 an为 “ 吉祥数列 ” 已知等差数列 bn的首项为 1，公差不为 0，若数列 bn为 “ 吉
10、祥数列 ” ，则数列 bn的通项公式为( ) A bn n 1 B bn 2n 1 C bn n 1 D bn 2n 1 B 设等差数列 bn的公差为 d(d0) ， SnS2n k，因为 b1 1，则 n 12n(n 1)dk? ?2n 122 n(2n 1)d ， 即 2 (n 1)d 4k 2k(2n 1)d， 整理得 (4k 1)dn (2k 1)(2 d) 0. 因为对任意的正整数 n 上式均成立， 所以 (4k 1)d 0， (2k 1)(2 d) 0， 解得 d 2， k 14， 所以数列 bn的通项公式为 bn 2n 1. 13设 等差数列 an的前 n 项和为 Sn， Sm
11、1 2， Sm 0， Sm 1 3，则正整数 m 的值为 _ 5 因为等差数列 an的前 n 项和为 Sn， Sm 1 2， Sm 0， Sm 1 3， 所以 am Sm Sm 1 2， am 1 Sm 1 Sm 3，数列的公差 d 1， am am 1 Sm 1 Sm 1 5，即 2a1 2m 1 5， 所以 a1 3 m. =【 ;精品教育资源文库 】 = 由 Sm (3 m)m m(m 1)2 1 0， 解得正整数 m 的值为 5. 14已知数列 an的前 n 项和为 Sn， a1 1， an0 ， anan 1 S n 1，其中 为常数 . 【导学号： 79140175】 (1)证明：
12、 an 2 an ； (2)是否存在 ，使得 an为等差数列？并说明理由 解 (1)证明：由题设知 anan 1 S n 1， an 1an 2 S n 1 1， 两式相减得 an 1(an 2 an) a n 1， 由于 an 10 ，所以 an 2 an . (2)由题设知 a1 1， a1a2 S 1 1， 可得 a2 1. 由 (1)知， a3 1. 令 2a2 a1 a3，解得 4. 故 an 2 an 4，由此可 得 a2n 1是首项为 1，公差为 4 的等差数列， a2n 1 4n 3； a2n是首项为 3，公差为 4 的等差数列， a2n 4n 1. 所以 an 2n 1， an 1 an 2， 因此存在 4，使得数列 an为等差数列
