1、,不等式、推理与证明,第 六 章,第33讲一元二次不等式及其解法,栏目导航,三个二次之间的关系,R,?,?,1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)若不等式ax2bxc0的解集为(x1,x2),则必有a0.()(2)若不等式ax2bxc0的解集是(,x1)(x2,),则方程ax2bxc0的两个根是x1和x2.()(3)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根,则不等式ax2bxc0的解集为R.()(4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.()(5)若二次函数yax2bxc的图象开口向下,则不等式ax2bxc0的解集一定不是空集(),D,3不等式x(2x)0的解集为_.解析
2、 x(2x)0,x(x2)0,0x2,故解集为(0,2),(0,2),5不等式x2ax40的解集不是空集,则实数a的取值范围是_.解析 由题意可知a2160解得a4或a4.,14,(44,),(1)二次项中若含有参数应讨论是小于零,等于零,还是大于零,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时,讨论判别式与零的关系(3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式,一含参数的一元二次不等式的解法,【例1】 解关于x的不等式:ax222xax(aR),二一元二次不等式恒成立问题,不等式恒成立问题的求解方法(1)解决恒成立
3、问题一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数(2)对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于零就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于零就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数求最值,【例2】 函数f(x)x2ax3.(1)当xR时,f(x)a恒成立,求a的取值范围;(2)当x2,2时,f(x)a恒成立,求a的取值范围;(3)当a4,6时,f(x)0恒成立,求x的取值范围解析 (1)当xR时,有x2ax3a0恒成立,须a24(3a)0,即a24a120,所以6a2,故a的范围为6,2
4、,三一元二次不等式的实际应用,求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读、理解、审题,把握问题中的关键量,找准不等关系(2)引进数学符号,将文字信息转化为符号语言,用不等式表示不等关系,建立相应的数学模型(3)解不等式,得出数学结论,并注意数学模型中自变量的实际意义(4)回归实际问题,将数学结论还原为实际问题的结果,D,D,4解下列关于x的不等式(1)0a2(aR),错因分析:如果式子中含有两个或多个变量,解题时通常是以一个为主,兼顾其他【例1】 (1)对任意x1,1,函数f(x)x2(a4)x42a的值恒大于零,求a的取值范围(2)对任意a1,1,函数f(x)x2(a4)x42a的值恒大于零,求x的取值范围,易错点分不清主元、次元,D,