1、第八章 立体几何 8.1 空间几何体的三视图、表面积和体积 高考数学 考点一 简单几何体的结构特征 1.棱柱的结构特征 (1)棱柱的主要结构特征 :有两个面互相平行 ,其余各面都是四边形 ,并且 每相邻两个四边形的公共边都互相平行 .棱柱的两个互相平行的面叫做 棱柱的底面 ,其余各面叫做棱柱的侧面 ,两侧面的公共边叫做棱柱的侧 棱 .棱柱的两底面之间的距离 ,叫做棱柱的高 . (2)棱柱的分类 :按侧棱与底面的位置关系可分为斜棱柱、直棱柱 ;按底 面多边形边数可分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等 ;底面是正多边形的直 棱柱又称为 正棱柱 . 2.棱锥的结构特征 (1)棱锥的定义 :有一个面是多边形
2、,其余各面是有一个公共顶点的三角 知识清单 形 ,这些面围成的几何体叫做棱锥 . (2)正棱锥的定义 :如果一个棱锥的底面是正多边形 ,并且顶点在底面内 的射影是底面中心 ,这样的棱锥叫做正棱锥 . (3)正棱锥的性质 : (i)各侧棱 相等 ,各侧面都是 全等的等腰三角形 ,各等腰三 角形底边上的高相等 .侧面等腰三角形底边上的高叫做正棱锥的 斜高 . (ii)棱锥的高、斜高和斜足与底面中心连线组成一个直角三角形 ;棱锥 的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形 . 3.圆柱、圆锥、圆台的特征 分别以 矩形一边 、 直角三角形一直角边 、 直角梯形中垂直于底边的腰 所在的直线为旋转
3、轴 ,其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台 .其中 ,旋转轴叫做所围成的几何体的轴 ;垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做这个几何体的底面 ;不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做这个几何体的侧面 ,无论旋转 到什么位置 ,这条边都叫做侧面的 母线 . 4.棱台、圆台的定义 用平行于底面的平面分别去截棱锥、圆锥 , 截面与底面间 的部分 分别叫做棱台、圆台 . 5.球 (1)一个半圆围绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球 面 ,球面所围成的几何体叫做球 . 形成球的半圆的圆心叫做球心 ;连接球面上一点和球心的线段叫做球的 半径 ;连接球面上两点且通过球心的线段叫做球
4、的直径 . (2)球面被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆 ,被经过球心的平 面截得的圆叫做球的大圆 . 球的截面性质 :r= ,其中 r为截面圆的半径 ,R为球的半径 ,d 为球心到截面圆圆心的距离 . 22Rd?考点二 斜二测画法 水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法的步骤 : (1)在已知图形中取互相垂直的 x轴和 y轴 ,两轴相交于 O点 .画直观图时 , 把它们画成对应的 x轴与 y轴 ,两轴相交于 O点 ,且使 xOy=45(或 135),它们确定的平面表示水平面 ; (2)已知图形中平行于 x轴或 y轴的线段 ,在直观图中分别画成平行于 x轴 或 y轴的线段 ; (3)已知图
5、形中平行于 x轴的线段 ,在直观图中保持原长度不变 ,平行于 y 轴的线段 ,长度变为 原来的一半 . 考点三 简单几何体的三视图 1.几何体的三视图指正视图、侧视图、俯视图 .又称为主视图、左 视图、俯视图 . “视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图 .光线自 物体的前面向后正投影 ,所得的投影图称为“正视图” ;自左向右正投 影 ,所得的投影图称为“侧视图” ;自上向下正投影 ,所得的投影图称为 “俯视图” . 2.三视图的画法要求 (1)在画三视图时 ,重叠的线只画一条 ,挡住的线要画成虚线 . (2)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左 方、正上方
6、观察几何体画出的轮廓线 .画三视图的基本要求 :正俯一样 长 ,俯侧一样宽 ,正侧一样高 . (3)由三视图想象几何体特征时要根据“ 长对正 、 宽相等 、高平 齐 ”的基本原则 . 3.平行投影的投影线 互相平行 ;中心投影的投影线交于一点 . 考点四 空间几何体的表面积和体积 1.柱体、锥体、台体的侧面积就是各侧面面积之和 ,表面积是各个 面的面积之和 ,即 侧面积 与 底面面积 之和 . 2.把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形 ,称为它的展开图 ,它的 表面积就是展开图的面积 . 3.圆柱的侧面积公式是 S柱侧 = 2rl ,表面积公式是 S柱 = 2r(r+l) ; 圆锥的侧面积
7、公式是 S锥侧 = rl ,表面积公式是 S锥 = r(r+l) ;圆台的侧面积公式是 S台侧 = (r+r)l ,表面积公式是 S台 =(r2+r2+rl+rl),其 中 r,r分别为上、下底面的半径 ,l为母线长 . 4.长方体的体积公式为 V=abc,正方体的体积公式为 V=a3,圆柱的体积公 式为 V=r2h.棱柱和圆柱的体积公式可以统一为 V柱 =Sh,其中 S为底面面 积 ,h为高 . 5.圆锥的体积公式为 V= r2h ,棱锥的体积公式为 V= Sh.圆锥和 棱锥的体积公式可以统一为 V锥 = Sh ,其中 S为底面面积 ,h为高 . 6.圆台的体积公式为 V= (r2+rr+r2)h,棱台的体积公式为 V= (S+ + S)h.圆台和棱台的体积公式可以统一为 V台 = (S+ +S)h,其中 S、 S分 别为上、下底面的面积 ,h为高 . 7.球的体积及球的表面积公式 (1)半径为 R的球的体积为 V= R3; 13 131313 13 SS13 SS43
