1、4.7解三角形,-2-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,自测点评,1.正弦定理和余弦定理 在ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,则,-3-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,自测点评,-4-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,2.三角形中的常见结论(1)在ABC中,A+B+C=.(2)在ABC中,AB?ab?sin Asin B.(3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.,-5-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,-6-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,4.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角:与目标视线在同一铅垂平面内的水平
2、视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线的角叫做仰角,目标视线在水平视线的角叫做俯角(如图).,上方,下方,-7-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,(2)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东30、北偏西45、西偏北60等.(3)方位角:指从正北方向转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为(如图).(4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数.,顺时针,2,-8-,知识梳理,双基自测,3,4,1,5,自测点评,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”.(1)在ABC中,已知a,b和角B,能用正弦定理求角A;已知a,b和角C,能用余弦定理求边c. ()(2)在三角形中,已知两角和一边
3、或已知两边和一角都能解三角形. ()(3)在ABC中,sin Asin B的充分不必要条件是AB. ()(4)在ABC中,a2+b2c2是ABC为钝角三角形的充分不必要条件. ()(5)在ABC的角A,B,C,边长a,b,c中,已知任意三个可求其他三个. (),答案,-9-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,答案,-10-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,3.(2017全国,文15)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60,b= ,c=3,则A=.,答案,解析,-11-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,4.(2017全国,文
4、16)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B=.,答案,解析,-12-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,5.(教材习题改编P10T2)在ABC中,acos A=bcos B,则这个三角形的形状为.,答案,解析,-13-,知识梳理,双基自测,自测点评,1.在一个三角形中,边和角共有6个量,已知三个量(其中至少有一边)就可解三角形.2.判断三角形形状的两种思路:一是化边为角;二是化角为边,并用正弦定理(余弦定理)实施边、角转换.3.在ABC中,当a2+b2c2时,由 ,可知角C为钝角,则ABC为钝角三角形.反之,若ABC为
5、钝角三角形,则角C不一定是钝角.,-14-,考点1,考点2,考点3,考点4,例1在ABC中,角A,B,C的对边分别是(1)求a的值;(2)若角A为锐角,求b的值及ABC的面积.思考已知怎样的条件能用正弦定理解三角形?已知怎样的条件能用余弦定理解三角形?,-15-,考点1,考点2,考点3,考点4,-16-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得1.已知两边和一边的对角或已知两角和一边都能用正弦定理解三角形,正弦定理的形式多样,其中a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C能够实现边角互化.2.已知两边和它们的夹角或已知两边和一边的对角或已知三边都能直接运用余弦定理解三角形,在运
6、用余弦定理时,要注意整体思想的运用.3.已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.,-17-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练1(1)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cos C=- ,3sin A=2sin B,则c=.(2)(2017山东淄博二模)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,2cos A(ccos B+bcos C)=a.求A;,4,解析:由于3sin A=2sin B,根据正弦定理可得3a=2b.又a=2,所以b=3.,-18-,考点
7、1,考点2,考点3,考点4,(2)解:由正弦定理可知,2cos A(sin Bcos C+sin Ccos B)=sin A,即2cos Asin A=sin A.因为A(0,),所以sin A0,-19-,考点1,考点2,考点3,考点4,例2在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C.(1)求角A的大小;(2)若sin B+sin C= ,试判断ABC的形状.思考判断三角形的形状时主要有哪些方法?,-20-,考点1,考点2,考点3,考点4,-21-,考点1,考点2,考点3,考点4,即sin(B+30)=1.0B120,3
8、0B+30150.B+30=90,即B=60.A=B=C=60,ABC为等边三角形.,-22-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得判断三角形的形状时主要有以下两种方法:(1)利用正弦定理、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;(2)利用正弦定理、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=这个结论.,-23-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练2(2017广东、江西、福建十校联考)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.,(2)
9、若sin C+sin(B-A)=sin 2A,试判断ABC的形状.,解:(1)由余弦定理及已知条件,得a2+b2-ab=4.,-24-,考点1,考点2,考点3,考点4,(2)由题意得sin C+sin(B-A)=sin 2A,sin(A+B)+sin(B-A)=2sin Acos A,即sin Acos B+cos Asin B+sin Bcos A-cos Bsin A=2sin Acos A,所以有sin Bcos A=sin Acos A,当cos A=0时,A= ,ABC为直角三角形;当cos A0时,sin B=sin A,由正弦定理得a=b,ABC为等腰三角形.,-25-,考点1,
10、考点2,考点3,考点4,例3在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且(1)证明:sin Asin B=sin C;思考在三角形中进行三角变换要注意什么?,-26-,考点1,考点2,考点3,考点4,-27-,考点1,考点2,考点3,考点4,-28-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得1.在三角形中进行三角变换要注意隐含条件:A+B+C=,使用这个隐含条件可以减少未知数的个数.2.在解三角形问题中,因为面积公式中既有边又有角,所以要和正弦定理、余弦定理联系起来;要灵活运用正弦定理、余弦定理实现边角互化,为三角变换提供了条件.,-29-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练3(
11、2017安徽淮南一模)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且 acos C=(2b- c)cos A.(1)求角A的大小;,-30-,考点1,考点2,考点3,考点4,-31-,考点1,考点2,考点3,考点4,例4如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶,到A处时测得公路北侧一山脚C在西偏北30的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山脚C在西偏北75的方向上,山顶D的仰角为30,则此山的高度CD= m.思考利用正弦、余弦定理解决实际问题的一般思路是什么?,答案,-32-,考点1,考点2,考点3,考点4,-33-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得利用正弦、余弦定理解决
12、实际问题的一般思路:(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解;(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,再逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.,-34-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练4如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点,从A点测得M点的仰角MAN=60,C点的仰角CAB=45以及MAC=75;从C点测得MCA=60.已知山高BC=100 m,则山高MN= m.,-35-,考点1,
13、考点2,考点3,考点4,-36-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.正弦定理和余弦定理其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系.2.在已知关系式中,既含有边又含有角,通常的解题思路:先将角都化成边或将边都化成角,再结合正弦定理、余弦定理即可求解.3.在ABC中,已知a,b和A,利用正弦定理时,会出现解的不确定性,一般可根据“大边对大角”来取舍.,-37-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.在解三角形中,三角形内角和定理起着重要作用,在解题中要注意根据这个定理确定角的范围,确定三角函数值的符号,防止出现增解等扩大范围的现象.2.在判断三角形的形状时,等式两边一般不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.,
