1、数学试题 (考试时间120分钟,满分100分) 一、选择题(每小题2分,共16分) 1.如图是某个几何体的三视图,该几何体是 ( ) A.棱柱 B.圆锥 C.球 D.圆柱,53综合测试卷(二),答案 D 棱柱的三视图中没有圆;圆锥的三视图有三角形;球的三视图都是圆;圆柱的三视图是圆和矩形. 故选D.,2.若实数a,b,c,d在数轴上对应的点的位置如图所示,则正确的结论是 ( ) A.a-5 B.b+d0 C.|a|-c0 D.c,答案 D 由数轴可知,-5-5,b+d0,|a|-c0,c ,故选D.,3.下列运算正确的是 ( ) A.(-x2)3=-x5 B.x2+x3=x5 C.x3x4=x
2、7 D.2x3-x3=1,答案 C 选项A,(-x2)3=-x6,错误;选项B,x2与x3不是同类项,不能合并,错误;选项C,x3x4=x7,正确;选项D, 2x3-x3=x3,错误.故选C.,4.科学家在海底下约4.8公里深处的沙岩中,发现了一种世界上最小的神秘生物,它们的最小身长只有 0.000 000 02米,甚至比已知的最小细菌还要小.将0.000 000 02用科学记数法表示为 ( ) A.210-7 B.210-8 C.210-9 D.210-10,答案 B 0.000 000 02=210-8,故选B.,5.如图,直线ab,直线c与直线a,b分别交于点A,B,ACAB于点A,交直
3、线b于点C.如果1=34,那么2 的度数为 ( ) A.34 B.56 C.66 D.146,答案 B ab,ACB=1=34,2=90-ACB=56.故选B.,6.如果a+b= ,那么 + 的值是 ( ) A. B. C.2 D.4,答案 A a+b= , + = =a+b= .故选A.,7.油电混动汽车是一种节油、环保的新技术汽车.它将行驶过程中部分原本被浪费的能量回收储存于内置 的蓄电池中.汽车在低速行驶时,使用蓄电池带动电动机驱动汽车,节约燃油.某品牌油电混动汽车与普通汽 车的相关成本数据估算如下:,某人计划购入一辆上述品牌的汽车.他估算了未来10年的用车成本,在只考虑车价和燃油成本的
4、情况下,发现选择油电混动汽车的成本不高于选择普通汽车的成本.则他在估算时,预计平均每年行驶的千米数至少为 ( ) A.5 000 B.10 000 C.15 000 D.20 000,答案 B 由题意可设平均每年行驶的千米数为x,则可列不等式为 x10+17.4810 000 x10+ 15.9810 000,解得x10 000.故选B.,答案 D 由题图2可知,在同一时间内,小明游了256=150米,小林游了254=100米,小明游泳的路程大于 小林游泳的路程,而两人所用时间相同,所以小明游泳的平均速度大于小林游泳的平均速度;小明游了75米 时小林游了50米;由题图2中的实虚线有5个交点可知
5、两人共相遇5次,所以正确.故选D.,二、填空题(每小题2分,共16分) 9.等腰三角形的一个底角为50,则它的顶角的度数为 .,答案 80,解析 等腰三角形的两底角相等,180-502=80,顶角为80.,10.使式子 有意义的x的取值范围为 .,答案 x,解析 由题意可得1-2x0,解得x .,11.用一组a,b的值说明命题“若a2b2,则ab”是错误的,这组值可以是a= ,b= .,答案 -3;-1,答案不唯一,解析 a,b均为负数时,例如a=-3,b=-1,有a2b2,而ab.所以原命题错误.答案不唯一.,12.如图,四边形ABCD是平行四边形,O经过点A,C,D,与BC交于点E,连接A
6、E,若D=72,则BAE= .,答案 36,解析 四边形AECD是O的内接四边形,AEC+D=180,AEC=108,AEB=72.四边形 ABCD是平行四边形,B=D=72,BAE=180-72-72=36.,13.在某一时刻,测得身高为1.8 m的小明的影长为3 m,同时测得一建筑物的影长为10 m,那么这个建筑物的 高度为 m.,答案 6,解析 设这个建筑物的高度为x m,由题意可知 = ,解得x=6.,14.在一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外形状、大小完全相同的球,如果其中有3个白球,且摸出白球 的概率是 ,那么袋子中共有球 个.,答案 12,解析 P(摸到白球)= = ,球的总个
7、数=3 =12.故袋子中共有球12个.,15.如图的一座拱桥,当水面宽AB为12 m时,桥洞顶部离水面4 m,已知桥洞的拱形是抛物线.以水平方向为x 轴,建立平面直角坐标系,若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=- (x-6)2+4,则选取点B为坐标原点 时的抛物线解析式是 .,答案 y=- (x+6)2+4,解析 若选B点为坐标原点,则顶点坐标是(-6,4),a=- 不变,则所求抛物线解析式为y=- (x+6)2+4.,16.在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(1,0).P是第一象限内任意一点,连接PO,PA.若POA=m,PAO= n,则我们把P(m,n)叫做点P的“双角坐标”.例
8、如,点(1,1)的“双角坐标”为(45,90). (1)点 的“双角坐标”为 ; (2)若点P到x轴的距离为 ,则m+n的最小值为 .,答案 (1)(60,60) (2)90,解析 (1)设点P的坐标为 ,OP=1,POA=60,又OA=1,POA为等边三角形,POA= PAO=60,点 的“双角坐标”为(60,60). (2)以OA为直径作圆,作圆的切线l、k,且lx轴,kx轴,由题意知点P在直线l或直线k上.若点P不与切点 重合,则OPA90,即m+n90.若点P与切点重合,则OPA=90,可得POA+ PAO=90,即m+n=90,所以m+n的最小值为90.,连接EC交AD于点M. 所以
9、点M就是所求作的点. 根据小东设计的尺规作图过程, (1)使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹); (2)完成下面的证明. 证明:连接AC,ED. 四边形ABCD是平行四边形,AECD. AE= ,四边形EACD是平行四边形( )(填推理的依据). AM=MD( )(填推理的依据). 点M为所求作的边AD的中点.,解析 (1)补全的图形如图所示: (2)CD;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形; 平行四边形的对角线互相平分.,18.(5分)计算:|1- |-(-3)0+3tan 30- .,解析 原式= -1-1+3 -2=2 -4.,19.(5分)解方程: - =2.,解析 去分母,得
10、2x(x+1)-(3x-1)=2x2-2,解得x=3.经检验,x=3是原方程的解,原方程的解为x=3.,20.(5分)已知关于x的一元二次方程x2-(m-1)x+2m-6=0. (1)求证:方程总有两个实数根; (2)若方程有一个根是负数,求m的取值范围.,解析 (1)证明:=-(m-1)2-4(2m-6)=m2-2m+1-8m+24=m2-10m+25=(m-5)20,方程总有两个实数根. (2)由求根公式得x1=m-3,x2=2.有一个根是负数,m-30,m3.,21.(5分)如图,在ABCD中,过点A作AEDC交DC的延长线于点E,过点D作DFEA交BA的延长线于点F. (1)求证:四边
11、形AEDF是矩形; (2)连接BD,若AB=AE=2,tanFAD= ,求BD的长.,解析 (1)证明:四边形ABCD是平行四边形,ABDC,即AFED. DFEA,四边形AEDF是平行四边形.AEDE,E=90.四边形AEDF是矩形. (2)四边形AEDF是矩形,FD=AE=2,F=90. 在RtAFD中,tanFAD= = ,AF=5.AB=2,BF=AB+AF=7. 在RtBFD中,BD= = .,22.(6分)已知:如图,AB是O的直径,C是O上一点,ODBC于点D,过点C作O的切线,交OD的延长线于 点E,连接BE. (1)求证:BE与O相切; (2)连接AD并延长交BE于点F,若O
12、B=9,sinABC= ,求BF的长.,23.(6分)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=2x+4与曲线y= (k0)相交于A(-3,a),B两点. (1)求k的值; (2)过点P(0,m)作直线l,使直线l与y轴垂直,直线l与直线AB交于点M,与曲线y= (k0)交于点N,若点P在点M 与点N之间,直接写出m的取值范围.,解析 (1)点A(-3,a)在直线y=2x+4上, a=2(-3)+4=-2,点A的坐标为(-3,-2). 点A(-3,-2)在曲线y= (k0)上, -2= ,k=6. (2)m的取值范围是04时,点P不在点M与点N之间,不合题意;当m0时,点P不在点M与点N之间,也
13、不合题意.因为曲线y = (k0)与坐标轴没有交点,所以m的范围是0m4.,24.(6分)行驶中的汽车,在刹车后由于惯性,还要继续向前滑行一段距离才能停住,这段距离称为“刹车距 离”.为了测定某种型号汽车的刹车性能,对这种汽车的刹车距离进行测试,测得的数据如下表:,(1)在如图所示的直角坐标系中,以刹车时车速为横坐标,以刹车距离为纵坐标,描出这些数据所表示的点,并 用平滑的曲线连接这些点,得到某函数的大致图象; (2)测量必然存在误差,通过观察图象估计函数的类型,求出一个大致满足这些数据的函数表达式; (3)一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故,现场测得刹车距离约为40米,已知这条高速公路限
14、速100千 米/时,请根据你确定的函数表达式,通过计算判断在事故发生时,汽车是否超速行驶.,25.(5分)某年级共有150名女生,为了解该年级女生实心球成绩(单位:米)和一分钟仰卧起坐成绩(单位:个)的 情况,从中随机抽取30名女生进行测试,获得了她们的相关成绩,并对数据进行整理、描述和分析.下面给出 了部分信息. a.实心球成绩的频数分布表如下:,b.实心球成绩在7.0x7.4这一组的是: 7.0 7.0 7.0 7.1 7.1 7.1 7.2 7.2 7.3 7.3,c.一分钟仰卧起坐成绩如图所示:,根据以上信息,回答下列问题: (1)表中m的值为 ; 一分钟仰卧起坐成绩的中位数为 ; (
15、2)若实心球成绩达到7.2米及以上时,成绩记为优秀. 请估计全年级女生实心球成绩达到优秀的人数; 该年级某班体育委员将本班在这次抽样测试中被抽取的8名女生的两项成绩的数据抄录如下:,其中有3名女生的一分钟仰卧起坐成绩未抄录完整,但老师说这8名女生中恰好有4人两项测试成绩都达到了优秀,于是体育委员推测女生E的一分钟仰卧起坐成绩达到了优秀,你同意体育委员的说法吗?并说明你的理由.,解析 (1)9;45. (2) 150=65(人). 答:全年级女生实心球成绩达到优秀的人数约为65. 同意,理由答案不唯一.如:如果女生E的仰卧起坐成绩未达到优秀,那么只有女生A,D,F有可能两项测试成 绩都达到优秀,
16、这与恰有4人两项测试成绩都达到优秀矛盾,因此女生E的一分钟仰卧起坐成绩达到了优秀.,26.(6分)有一个二次函数满足以下条件: 函数图象与x轴的交点坐标分别为A(1,0),B(x2,0)(点B在点A的右侧); 对称轴是x=3; 该函数的最小值是-2. (1)请根据以上信息求出二次函数表达式; (2)将该函数的x5部分的图象向下翻折,与原图象未翻折的部分组成图象G,平行于x轴的直线与图象G相交 于点C(x3,y3)、D(x4,y4)、E(x5,y5)(x3x4x5),结合画出的函数图象求x3+x4+x5的取值范围.,解析 (1)由题意可知该函数图象的顶点坐标为(3,-2), 设二次函数的表达式为
17、y=a(x-3)2-2, 该图象过A(1,0),0=a(1-3)2-2,解得a= , 二次函数的表达式为y= (x-3)2-2. (2)由题意可知,直线与图象G有三个交点. 由二次函数图象的轴对称性可得x3+x4=6,又x55, x3+x4+x511. 由翻折可以得到翻折后的图象对应的函数为y=- (x-3)2+2(x5). 令- (x-3)2+2=-2,解得x=3+2 或x=3-2 (舍去), x3+x4+x59+2 .综上,11x3+x4+x59+2 .,27.(7分)如图,正方形ABCD中,点E是BC延长线上一点,连接DE,过点B作BFDE于点F,连接FC. (1)求证:FBC=CDF.
18、 (2)作点C关于直线DE的对称点G,连接CG,FG. 依据题意补全图形; 用等式表示线段DF,BF,CG之间的数量关系,并加以证明.,28.(7分)我们知道,任意一个正整数n都可以进行这样的分解:n=pq(p,q是正整数,且pq),在n的所有这种分 解中,如果p,q两因数之差的绝对值最小,我们就称pq是n的最佳分解,并规定:F(n)= .例如12可以分解成1 12,26或34,因为12-16-24-3,所以34是12的最佳分解,所以F(12)= . (1)如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方,我们称正整数a是完全平方数. 求证:对任意一个完全平方数m,总有F(m)=1; (2)如果一个两位正整数t,t=10x+y(1xy9,x,y为自然数),交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减 去原来的两位正整数所得的差为18,那么我们称这个数t为“吉祥数”.求所有“吉祥数”中F(t)的最大值.,
