2022新人教A版（2019）《高中数学》必修第一册尖子生培优卷（含解析）（全册5份打包）.rar.

第一章第一章 集合与常用逻辑用语集合与常用逻辑用语 尖子生培优卷尖子生培优卷一、单选题。本大题共一、单选题。本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，每小题只有一个选项符合题意。分，每小题只有一个选项符合题意。1某小学对小学生的课外活动进行了调查调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有 63 人，参加唱歌课外活动的有 89 人，参加体育课外活动的有 47 人，三种课外活动都参加的有 24 人，只选择两种课外活动参加的有 46 人，不参加其中任何一种课外活动的有 15 人，问接受调查的小学生共有多少人？（）A120B144C177D1922设集合S、T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数 yf x满足：i(),Ty yf xxS，ii对任意1x，2xS，当12xx时，恒有12f xf x，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的个数是（）AN，BN13,8010AxxBx xx 或05,AxxBR,AN BQA1B2C3D43设1,2,3,4,I，A与B是I的子集，若1,3AB，则称(,)A B为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”（规定(,)A B与(,)B A是两个不同的“理想配集”的个数是（）A16B9C8D44非空集合A具有下列性质：若x、yA，则xAy；若x、yA，则xyA，下列判断一定成立的是（）（1）1A；（2）20202021A；（3）若x、yA，则xyA；（4）若x、yA，则xyA.A（1）（3）B（1）（2）C（1）（2）（3）D（1）（2）（3）（4）5定义|,ABx xA xB，设A、B、C是某集合的三个子集，且满足ABBAC，则ACBBC是ABC 的（）A充要条件B充分非必要条件C必要非充分条件D既非充分也非必要条件6已知集合|64Ax xmn其中,m nZ，|108Bx xab，其中,a bZ则A与B的关系为AABBB ACA BDAB 7若集合1|,6Ax xmmZ，1|,23Bnx xnZ，1|,26pCx xpZ，则 A，B，C 之间的关系是（）AA B CBAB=CCABCDBCA8已知集合1,2,3,4,5,6,7,8S，对于它的任一非空子集 A，可以将 A 中的每一个元素 k 都乘以(1)k再求和，例如2,3,8A，则可求得和为238(1)2(1)3(1)87 ，对 S 的所有非空子集，这些和的总和为A508B512C1020D1024二、多选题。本大题共二、多选题。本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，每小题有两项或以上符合题意。分，每小题有两项或以上符合题意。9设非空集合Sx mxn满足：当 xS 时，有 x2S.给出如下命题，其中真命题是（）A若 m=1，则|1Sx xB若12m ，则14n1C若12n，则202mD若 n=1，则10m 10当一个非空数集G满足“如果,a bG,则,ab ab abG,且0b时,aGb”时,我们称G就是一个数域,以下关于数域的说法:0 是任何数域的元素;若数域G有非零元素,则2019 G;集合|2,Px xk kZ是一个数域;有理数集是一个数域;任何一个有限数域的元素个数必为奇数.其中正确的选项有ABCD11设集合22|,Ma axyx y=-Z，则对任意的整数n，形如4,41,42,43nnnn+的数中，是集合M中的元素的有A4nB41nC42nD43n12（多选）若非空数集M满足任意,x yM，都有xyM，xyM，则称M为“优集”已知,A B是优集，则下列命题中正确的是（）AAB是优集BAB是优集C若AB是优集，则AB或BAD若AB是优集，则AB是优集三、填空题。本大题共三、填空题。本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13高一某班共有 54 人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择 3 门进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少 25 人，这三门学科均不选的有 8 人.这三门课程均选的8 人，三门中任选两门课程的均至少有 15 人.三门中只选物理与只选化学均至少有 6 人，那么该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有_人.14 已知集合B和C，使得1,2,3,4,5,6,7,8,9,10BC，BC ，并且C的元素乘积等于B的元素和，写出所有满足条件的集合C _.15设集合1,2,Am，其中m为实数，令2BaaA，CAB，若C中的所有元素之和为 6，C中的所有元素之积为_16已知集合 MxN|1x21，集合 A1，A2，A3满足每个集合都恰有 7 个元素；A1A2A3M集合 Ai中元素的最大值与最小值之和称为集合 Ai的特征数，记为 Xi（i1，2，3），则 X1+X2+X3的最大值与最小值的和为_四、解答题。本大题共四、解答题。本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。分，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。17已知集合A为非空数集，定义：|,Sx xab a bA，|,Tx xab a bA.（1）若集合13A，求证：2S，并直接写出集合T；（2）若集合1234,Ax x x x，1234xxxx，且TA，求证：1423xxxx；（3）若集合|02021,AxxxN，ST，记A为集合A中元素的个数，求A的最大值.18设正整数3n，集合12,1,2,nkAa ax xxxR kn，对于集合A中的任意元素12,nax xx和12,nby yy，及实数，定义：当且仅当kkxy(1,2,)kn时ab；1122,nnabxy xyxy；12,naxxx.若A的子集123,Ba a a满足：当且仅当1230时，1 12233(0,0,0)aaa，则称B为A的完美子集.（1）当3n时，已知集合1(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)B，2(1,2,3),(2,3,4),(4,5,6)B.分别判断这两个集合是否为A的完美子集，并说明理由；（2）当3n时，已知集合(2,1),(,2,1),(,1,2)Bm m mmm mm mm.若B不是A的完美子集，求m的值；（3）已知集合123,Ba a aA，其中,(1,2,3)iiiinax xxi.若1232iiiiixxxx对任意1,2,3i 都成立，判断B是否一定为A的完美子集.若是，请说明理由；若不是，请给出反例.19已知集合 A 为非空数集，定义：,Sx xab a bA，,Tx xab a bA（1）若集合1,3A，直按写出集合 S，T（无需写计算过程）（2）若集合1234,Ax x x x，1234xxxx，且TA，求证：1423xxxx（3）若集合02021,AxxxN，ST，记A为集合 A 中元素的个数，求A的最大值.20已知集合22190Dx xaxa，集合1,2,3B，集合0,1,2C，且集合D满足DB ，DC .（1）求实数a的值.（2）对集合12,2kAa aakL，其中1,2,iaikZL.定义由A中的元素构成两个相应的集合,Sa b aA bA abA，,Ta b aA bA abA，其中,a b是有序实数对，集合S和T中的元素的个数分别为m和n，若对任意的aA总有3aA，则称集合A具有性质P.请检验集合BC与BD是否具有性质P，并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T.试判断m和n的大小关系，并证明你的结论.21对于有限个自然数组成的集合A，定义集合()|,S Aab aA bA，记集合()S A的元素个数为()d S A.定义变换T，变换T将集合A变换为集合()()T AAS A.（1）若0,1,2A，求(),()S A T A；（2）若集合1212,(),nnAx xxxxxnN，证明：()2 d S An的充要条件是21321nnxxxxxx.22已知集合22|,Ax xmnm nZ（1）判断 8，9，10 是否属于集合 A；（2）已知集合|21,Bx xkkZ，证明：“xA”的充分条件是“xB”；但“xB”不是“xA”的必要条件；（3）写出所有满足集合 A 的偶数.参考答案参考答案1A【解析】如图所示，用韦恩图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合,A B C表示，则()63,()89,()47,()24card Acard Bcard Ccard ABC 不妨设总人数为n，韦恩图中三块区域的人数分别为,x y z即()24,()24,()24card ABx card ACycard BCz 46xyz 由容斥原理：15()()()()()()()ncard Acard Bcard Ccard ABcard ACcard BCcard ABC 638947(24)(24)(24)24xyz 解得：120n故选：A2A【解析】对于：若AN，BN，存在函数 1,fxxNx,“,满足 i(),By yf xxA，ii对任意1x，2xA，当12xx时，恒有12f xf x，那么称这两个集合“保序同构”，所以选项是“保序同构”;对于：若13,8010AxxBx xx 或，存在函数 8,155,1322xf xxx i(),By yf xxA，ii对任意1x，2xA，当12xx时，恒有12f xf x，那么称这两个集合“保序同构”，所以选项是“保序同构”；对于：若05,AxxBR，存在函数 tan52f xx满足 i(),By yf xxA，ii对任意1x，2xA，当12xx时，恒有12f xf x，那么称这两个集合“保序同构”，所以选项是“保序同构”;对于：不能找到函数，使得两个集合“保序同构”.从另一个角度来思考，前三个选项中的集合对是“保序同构”,由排除法可知,不是“保序同构”只有，所以不是“保序同构”的个数为 1.故选：A3B【解析】由题意，对子集A分类讨论：当集合1,3A，集合B可以是1,2,3,4,1,3,4,1,2,3,1,3，共 4 中结果；当集合1,2,3A，集合B可以是1,3,4,1,3，共 2 种结果；当集合1,3,4A，集合B可以是1,2,3,1,3，共 2 种结果；当集合1,2,3,4A，集合B可以是1,3，共 1 种结果，根据计数原理，可得共有4 2 2 1 9 种结果.故选：B.4C【解析】由可知0A.对于（1），若1A，对任意的xA，0 x，则1xxA，所以，0 xxA，这与0A矛盾，（1）正确；对于（2），若0 x且xA，则1xAx，21 1A ，32 1A，依此类推可得知，nN，nA，2020A，2021A，20202021A，（2）正确；对于（3），若x、yA，则0 x且0y，由（2）可知，1A，则1Ay，所以，1xxyAy，（3）正确；对于（4），由（2）得，1,2A，取 2,1xy，则1xyA，所以（4）错误.故选：C.5A【解析】如图，由于ABBAC，故两个阴影部分均为，于是,AIIVV BIIIIVV CIIIIIIV，（1）若ABC ，则V ，AIIV，而CBBCIIIIV，ACBBC成立；（2）反之，若ACBBC，则由于CBBIIICIV，AIIVV，IIVVIIIIV，V，ABC，故选：A6A【解析】任取11,64,xA xmn m nZ当,m n同为奇数或同为偶数时，1108()2nmxm当,m n一奇一偶时，1510(2)8()2nmxm因为,m nZ所以2nmZ，52nmZ所以1108,xab a bZ 所以1,xB任取2,xB2108,xab a bZ，2642xaab,a bZ，2 abZ所以2,xA所以AB故选：A7B【解析】将各集合中元素的公共属性化归为同一形式，集合 A 中，6166mx，mZ；集合 B 中，3(1)166nx，nZ；集合 C 中，3166px，pZ由1n 与 p 均表示整数，且63(2)mm，可得AB=C故选 B.8B【解析】因为元素1,2,3,4,5,6,7,8在集合 S 的所有非空子集中分别出现72次，则对 S 的所有非空子集中元素 k 执行乘以(1)k再求和操作,则这些和的总和是7123456782(1)1(1)2(1)3(1)4(1)5(1)6(1)7(1)8 72(12345678)512 .故选 B9BC【解析】非空集合Sx mxn满足：当 xS 时，有 x2S.当 mS 时，有 m2S，即2mm，解得：m1或0m；同理：当 nS 时，有 n2S，即2nn，解得：01n.对于 A:m=1,必有 m2=1S，故必有01nmn解得：1mn，所以 1S，故 A 错误；对于 B:12m ,必有 m2=14S，故必有201nmn，解得：114n，故 B 正确；对于 C:若12n，有221212mmmm，解得：202m，故 C 正确；对于 D:若 n=1，有2211mmmm，解得：10m 或1m，故 D 不正确.故选：BC10AD【解析】当ab时，由数域的定义可知，若,a bG，则有a bG，即0G，故是真命题;当0ab时，由数域的定义可知，若,a bG，则有aGb，即1 G，若1 G，则1 12G ，则2 1 3 G ，L 则1 20182019G，故是真命题；当2,4ab时，12aGb，故是假命题；若,a bQ，则,ab ab abQ，且0b时,aQb，故是真命题；0G，当bG且0b时，则bG，因此只要这个数不为0就一定成对出现，所以有限数域的元素个数必为奇数，所以是真命题.故选：AD.11ABD【解析】224(1)(1)nnn=+-，4nM.2241(21)(2)nnn+=+-，41nM+.2243(22)(21)nnn+=+-+，43nM+.若42nM+，则存在,Zx y 使得2242xyn-=+，则42()(),nxy xyxy+=+-+和xy的奇偶性相同.若xy和xy都是奇数，则()()xyxy为奇数，而42n是偶数，不成立；若xy和xy都是偶数，则()()xyxy能被 4 整除，而42n不能被 4 整除，不成立，42nM+.故选 ABD.12ACD【解析】对于 A 中，任取,xAB yAB，因为集合,A B是优集，则,xyA xyB，则 xyAB，,xyA xyB，则xyAB，所以 A 正确；对于 B 中，取|2,|3,Ax xk kZBx xm mZ，则|2ABx xk或3,xk kZ，令3,2xy，则5xyAB，所以 B 不正确；对于 C 中，任取,xA yB，可得,x yAB，因为AB是优集，则,xyAB xyAB，若xyB，则()xxyyB，此时 AB；若xyA，则()xxyyA，此时 BA，所以 C 正确；对于 D 中，AB是优集，可得AB，则ABA为优集；或BA，则ABB为优集，所以AB是优集，所以 D 正确.故选：ACD.139【解析】把学生 54 人看成集合U，选择物理的人组成集合A，选择化学的人组成集合B，选择生物的人组成集合C，选择物理与化学但未选生物的人组成集合D.要使选择物理与化学但未选生物的学生人数最多，除这三门课程都不选的 8 人，则结合 Venn 图可知，其他区域人数均为最少，即得到只选物理与只选化学均至少 6 人，只选生物的最少 25 人，做出下图，得该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有 9 人.故答案为：9.146,7或1,4,10或1,2,3,7.【解析】1,2,3,4,5,6,7,8,9,10BC，,B C中所有元素之和为121055；若C中仅有一个元素，设 Ca，则55aa，解得：552a，不合题意；若C中有且仅有两个元素，设,Ca bab，则55abab，当6a，7b时，55abab，6,7C；若C中有且仅有三个元素，设,Ca b cabc，则55abcabc；当1a，4b，10c 时，55abcabc，1,4,10C若C中有且仅有四个元素，设,Ca b c dabcd，则55abcdabcd，当1a，2b，3c，7d 时，55abcdabcd，1,2,3,7C；若C中有且仅有五个元素，若1,2,3,4,5C，此时1 2 3 4 512055 ，C中最多能有四个元素；综上所述：6,7C 或1,4,10或1,2,3,7.故答案为：6,7或1,4,10或1,2,3,7.158【解析】因为2BaaA，而1,2,Am，故21,4,BB mB，所以21,4,CC mC，若21m，则1m 或1m（舍），此时1,2,4,1C，故C中的所有元素之积为8.若22m，则2m ，这与1,2,4,2C 或1,2,4,2C，这与C中的所有元素之和为 6 矛盾.若2mm，则0m 或1m（舍），此时1,2,4,0C，这与C中的所有元素之和为 6 矛盾.若21,2,mm，则21,2,4,Cm m，则21246mm，即210mm，无解.故答案为：8.16132【解析】集合 MxN|1x21，由集合 A1，A2，A3满足每个集合都恰有 7 个元素；A1A2A3M可知最小的三个数为 1，2，3；21 必是一个集合的最大元素，含有 21 集合中的元素，有 21，20，19，16 和 1，2，3 中一个组成，这样特征数最小，不妨取 1，这时 X1最小值为 22；15 必是一个集合的最大元素，含有 15 集合中的元素，有 15，14，13，10 和 2，3 中一个组成，这样特征数最小，不妨取 2，这时 X2最小值为 17；9 必是一个集合的最大元素，含有 9 集合中的元素，有 9，8，7，4 和 3 组成，这样特征数最小，这时X3最小值为 10；则 X1+X2+X3的最小值为 22+17+1251同理可知最大的三个数为 21，20，19；含有 21 集合中的元素，有 21，18，17，16，16，15，13；这样特征数最大，为 34；含有 20 的集合中元素为 20，12，11，10，9，8，7，这样特征数最大，为 27；含有 19 的集合中元素为 19，6，5，4，3，2，1，特征数最大，且为 20；则 X1+X2+X3的最大值为 34+27+2081；所以 X1+X2+X3的最大值与最小值的和为 51+81132故答案为：13217（1）证明见解析，0 2T，；（2）证明见解析；（3）集合 A 中元素的个数的最大值为 1348.18（1）1B是完美子集，2B不是完美子集，理由见解析（2）14（3）B一定是A的完美子集，理由见解析19（1）2,4,6S，0,2T；（2）见解析；（3）1348.【解析】解：（1）根据题意，由集合1A，3，计算集合2S，4，6，0T，2；（2）由于集合1Ax，2x，3x，4x，1234xxxx，且TA，所以T中也只包含四个元素，即0T，21xx，31xx，41xx，剩下的324321xxxxxx，所以1423xxxx；（3）设1Aa，2a，ka 满足题意，其中12kaaa，则11213123122kkkkkkaaaaaaaaaaaaaa，|21Sk，1121311kaaaaaaaa，|Tk，ST ，由容斥原理|31STSTk，ST中最小的元素为 0，最大的元素为2ka，|21kSTa，31 21 4043(*)kkakN，1348k，实际上当674A，675，676，2021时满足题意，证明如下：设Am，1m，2m，2021，mN，则2Sm，21m，22m，4042，0T，1，2，2021m，依题意有20212mm，即26733m，故m的最小值为 674，于是当674m时，A中元素最多，即674A，675，676，2021时满足题意，综上所述，集合A中元素的个数的最大值是 134820（1）2（2）BC具有性质P，BD不具有性质P；0,0,1,0,0,2,2,0,0,3,3,0,1,1,1,2,2,1S，0,0,1,0,1,1,2,0,2,1,2,2,3,0,3,1,3,2,3,3T；mn，证明见解析.【解析】（1）由1,2,3B，0,1,2C，DB ，DC ，可得3D，则2233190aa，则5a 或2，5a 时，25602,3Dx xx，不满足DC ，2a时，221505,3Dx xx，满足题意，综上，2a.（2）0,1,2,3BC，具有性质P，0,0,1,0,0,2,2,0,0,3,3,0,1,1,1,2,2,1S，0,0,1,0,1,1,2,0,2,1,2,2,3,0,3,1,3,2,3,3T，1,2,3,5BD，5BD，但35BD，则BD不具有性质P.mn，证明如下：对任意,a bS，有aA，bA，abA，则abbA，则,ab bT，若111222,ab bab b，则12aa，12bb，则不同,a b对应的,ab b不同，则S中每个元素在T中都能找到不同元素与之对应，则T中元素个数不少于S中元素个数，对任意,a bT，有aA，bA，abA，则abbA，则,ab bS，若111222,ab bab b，则12aa，12bb，则不同,a b对应的,ab b不同，则T中每个元素在S中都能找到不同元素与之对应，则S中元素个数不少于T中元素个数，综上mn.21（1）()()0,1,2,3,4S AT A；（2）证明见解析.【解析】解：（1）若集合0,1,2A,则根据定义可得：()()0,1,2,3,4S AT A.（2）由1212,(),nnAx xxxxxnN.充分性：设 kx是公差为()d d 0的等差数列,则111(1)(1)2(2)(1,)ijxxxidxjdxijdi jn 且22ijn,所以ijxx共有2n个不同的值,即()2d S An.必要性：若()2d S An,因为1122,(1,21)iiiixxxxin,所以()S A中有2n个不同的元素：12122312,22,nnnxxx xx xxxx,任意1,ijxxi jn（）的值都与上述某一项相等.又1212iiiiiixxxxxx,且111221,22,iiiiixxxxxin.所以212iiixxx,所以 kx是等差数列，且公差不为0.22（1）8A，9A，10A；（2）证明见解析；（3）所有满足集合 A 的偶数为4,k kZ【解析】（1）22831，22954，8A，9A，假设2210mn，,m nZ，则(|)(|)10mnmn，且|0mnmn，10 1 102 5 ，则101mnmn或52mnmn，显然均无整数解，10A，综上，有：8A，9A，10A；（2）集合|21,Bx xkkZ，则恒有22211kkk，21kA，即一切奇数都属于 A，又8A，而8B“xA”的充分条件是“xB”；但“xB”不是“xA”的必要条件；（3）集合22|,Ax xmnm nZ，22()()mnmn mn成立，当 m，n 同奇或同偶时，,m n m n均为偶数，()()mn mn为 4 的倍数；当 m，n 一奇，一偶时，,m n m n均为奇数，()()mn mn为奇数，综上，所有满足集合 A 的偶数为4,k kZ 第三章第三章 函数的概念与性质函数的概念与性质 尖子生培优卷尖子生培优卷一、单选题。本大题共一、单选题。本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，每小题只有一个选项符合题意。分，每小题只有一个选项符合题意。1设单调递增函数 f x满足：对任意aR，均有12af af a，则（）A 211f B 211 fC 010ffD 011 ff2已知()f x的定义域为()0,+，()fx为()f x的导函数，且满足()()f xxfx ，则不等式2111fxxfx的解集是（）A()0,1B()2,+C()1,2D()1,+3已知函数 1,f xxa xm n的值域为,()m n mn，则实数a的取值范围为（）A3 1,4 4B11,4 C10,)4D3(,044对于定义域为I的函数，如果存在区间,m nI，同时满足下列两个条件：()f x在区间,m n上是单调的；当定义域是,m n时，()f x的值域也是,m n，则称,m n是函数()yf x的一个“黄金区间”.如果,m n可是函数221(0)aa xyaa x的一个“黄金区间“，则n m的最大值为（）A33B1C2 33D25已知函数()yf x的定义域为R，且函数(1)yf x的图象关于点(1,0)对称，对于任意的x，总有(2)(2)f xf x成立，当(0,2)x时，2()21f xxx，函数2()g xmxx（xR），对任意xR，存在tR，使得()()f xg t成立，则满足条件的实数m构成的集合为（）A1|4m mB1|4m mC1|04mmD1|4m m6已知(1)f x 是偶函数，对任意1(,1x ，2(,1x ，且12xx，都有1212()()0f xf xxx，且(0)0f，则()0f x 的解集是（）A(,0)(2,)B(0,2)C(,0)D(2,)7牛顿冷却定律描述一个事物在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为0T，则经过一定时间t后的温度T满足012thaaTTTT，其中aT是环境温度，h称为半衰期，现有一杯 80的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在 55经测量室温为 25，茶水降至 75大约用时 1 分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待（）（参考数据：lg30.4771，lg50.6990，lg111.0414）A4 分钟B5 分钟C6 分钟D7 分钟8已知函数 f xg x、是定义在 R 上的函数，其中 f x是奇函数，g x是偶函数，且 22f xg xaxx，若对于任意1212xx，都有12122g xg xxx，则实数a的取值范围是（）A1(,0,)2 B(0,)C1,)2D1,0)2二、多选题。本大题共二、多选题。本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，每小题有两项或以上符合题意。分，每小题有两项或以上符合题意。9我们把定义域为0，+）且同时满足以下两个条件的函数 f（x）称为“函数”（1）对任意的 x0，+），总有 f（x）0；（2）若 x0，y0，则有 f（x+y）f（x）+f（y）成立，下列判断正确的是（）A若 f（x）为“函数”，则 f（0）=0 不一定成立B若 f（x）为“函数”，则 f（x）在0，+）上不一定是增函数C函数0,()1,xQg xxQ，在（0，+）上是“函数”D函数 g（x）=x2+x 在0，+）上是“函数”10已知函数 f（x）ln（21x x）x53，函数 g（x）满足 g（x）g（x）6则（）Af（lg3）f（lg13）6B函数 g（x）的图象关于点（3，0）对称C若实数 a，b 满足 f（a）f（b）6，则 ab0D若函数 f（x）与 g（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），则 x1x2x3y1y2y3611一般地，若函数 f x的定义域为,a b，值域为,ka kb，则称为的“k倍跟随区间”；若函数的定义域为,a b，值域也为,a b，则称,a b为 f x的“跟随区间”下列结论正确的是（）A若1,b为 222f xxx的“跟随区间”，则2b B函数 11f xx 存在“跟随区间”C若函数 1f xmx存在“跟随区间”，则1,04m D二次函数 212f xxx 存在“3 倍跟随区间”12已知()f x是定义在区间 1，1上的奇函数，且f（1）1，若a，1b，1，0a b 时，有()()0f af bab若2()55f xmmt对所有 1x，1，1t，1恒成立，则实数m的取值范围可能是（）A(，6B(6，6)C(3，5D6，)三、填空题。本大题共三、填空题。本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13若不等式22360 xmxm对一切2,1m 恒成立，则实数 x 的取值范围是_.14已知函数2(1)22f xxx，若对于，1x，2,1xm m，都有12(1)(2)f xfx，则实数m的取值范围为_.15已知函数24()|,()6f xxag xxaxx，若对于任意的实数1x和2x，当11,4x，21,22x时，都有 12f xg x成立，则实数 a 的取值范围是_16定义在R上函数 f x满足 112fxfx，且当0,1x时，121fxx，则使得 116f x 在,m 上恒成立的m的最小值是_.四、解答题。本大题共四、解答题。本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。分，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。171.若函数 f（x）满足：存在整数 m，n，使得关于 x 的不等式()m f xn的解集恰为m，n，则称函数 f（x）为 P 函数（1）判断函数1(),(0,)f xxx是否为 P 函数，并说明理由；（2）是否存在实数 a 使得函数2()1f xxaxa为 P 函数，若存在，请求出 a 的值；若不存在，请说明理由18已知22221()10af xxmaxmxx（1）当1,0am时，求()f x的值域；（2）对任意mR和任意1,22x，都有1()2f x 恒成立，求实数 a 的取值范围19定义：对于定义在1D上的函数 yf x和定义在2D上的函数()yg x=满足：存在012xDD，使得 000f xg x，我们称函数 h xf x g x为函数 f x和函数 g x的“均值函数”.（1）若 23,f xxg xax，函数 f x和函数 g x的均值函数是偶函数，求实数a的值；（2）若 2134f xkxkx，232g xxx，且存在函数 f x和函数 g x的“均值函数”，求实数k的取值范围；（3）若 221xxf x，0,1x，g x是 f x和1fx的“均值函数”，求 g x的值域.20已知 3213f xxxax（1）若31()43f xx在区间1,4恒成立，求a的取值范围；（2）当1a时，是否存在点,m n，使得 f x 的图像关于点,m n对称？若存在，求出点,m n，若不存在，请说明理由；21已知实数a b c d,不全为 0，给定函数2()f xbxcxd，32()g xaxbxcxd记方程()0f x 的解集为A，方程()0g f x的解集为B，若满足AB，则称(),()f xg x为一对“太极函数”问：（1）当1acd，0b时，验证(),()f xg x是否为一对“太极函救”；（2）若(),()f xg x为一对“太极函数”，求d的值；（3）已知(),()f xg x为一对“太极函数”，若1a，0c，方程()0f x 存在正根m，求c的取值范围（用含有m的代数式表示）22已知幂函数 23122233ppf xppx，满足 24ff.（1）求函数 f x的解析式.（2）若函数 2g xfxmf x，1,9x，是否存在实数m使得 g x的最小值为 0？（3）若函数 3h xnf x，是否存在实数,a b ab，使函数 h x在,a b上的值域为,a b？若存在，求出实数n的取值范围；若不存在，说明理由.参考答案参考答案1C【解析】因为12af af a，故1f aa或2f aa，所以 1f aa或 2f aa，证明一个引理：如果存在aR，使得 2f aa，则任意xa，总有 2f xx.用反证法证明如下：假设存在0 xa，有001f xx，由 0f xf a可得01ax，对任意的00,1xx x，则有 00011xf xf xf x，而001f xx或0011f xx，故 001xf xx，又 2f xx或 1f xx，若 2f xx，则0012xxx 即0012xxx，与00,1xx x矛盾；故任意的00,1xx x，总有 1f xx.因为0 xa，故存在非负整数k，使得00,1axk xk.由前述证明可知：同理有：任意的001,2xxx，总有 1f xx；任意的002,3xxx，总有 1f xx；任意的00,1axk xk，总有 1f xx；这样 2f aa矛盾，故引理得证.又 11f 或 10f，若 11f，由引理可得当1x 时，2f xx，此时 02f，此时排除 BD.若 10f，此时 211f，此时排除 A.因为 02f 或 01f，此时总有 010ff，故选：C.2B【解析】根据题意，构造函数()yxf x，0,x，则()()0yf xxfx，所以函数()yxf x的图象在0,上单调递减.又因为2111f xxf x，所以 22(1)(1)11xf xxf x，所以2011xx，解得2x 或1x （舍）.所以不等式2111f xxf x的解集是2,.故选：B.3C【解析】由题意得()1f xxa在m，n上单调递减，因为函数的值域为m，n，所以()1()1f mmanf nnam，11(1)(1)mnnmmn(11)(11)mnmn，mn，110mn，111mn，111mn，221111(1)1(1)24annnnn ，mn，11mn，结合111mn可得：10n，1)2，0a，1)4故选：C4C【解析】由题意，222111aa xaya xaa x 在,0和0,上均是增函数，而函数 f x在“黄金区间”,m n上单调，所以,0m n 或,0,m n，且 f x在,m n上单调递增，故 f mmf nn，即,m n为方程211axaa x的两个同号实数根，即方程22210a xaa x有两个同号的实数根，因为210mna，所以只需要222403aaaa 或1a，又22211aaamnaamna，所以22222241144333aanmmnmnaaa，则当3a 时，n m有最大值2 33.5A【解析】由函数(1)yf x的图象关于点(1,0)对称知函数()yf x的图象关于原点对称，即函数()yf x是奇函数，由任意的x，总有(2)(2)f xf x成立，即(4)()f xf x恒成立，于是得函数()yf x的周期是 4，又当(0,2)x时，2()21f xxx，则当(0,2)x时，0()1f x，而()f x是奇函数，当(2,0)x 时，1()0f x，又(2)(2)ff，f(-2)=-f(2)，从而得(2)(2)(0)0fff，即 2,2)x 时，1()1f x，而函数()yf x的周期是 4，于是得函数()yf x在R上的值域是(1,1)，因对任意xR，存在tR，使得()()f xg t成立，从而得不等式()1g x ，即21mxx 在R上有解，当0m 时，取2x，4221m 成立，即得0m，当0m 时，210mxx 在R上有解，必有140m ，解得14m，则有104m，综上得14m，所以满足条件的实数m构成的集合为1|4m m.故选：A6A【解析】因为(1)f x 是偶函数，所以()f x的图像关于 x=1 对称，而(0)0f，则(2)0f，又因为任意1(,1x ，2(,1x ，且12xx，都有1212()()0f xf xxx，所以()f x在(,1单调递减，结合函数图像的对称性可知函数在1,单调递增.所以()0f x 的解集是(,0)(2,).故选：A.7C【解析】根据题意，11752580252h，即1101112h设茶水从75降至55大约用时 t 分钟，则1552575252ht，即3152ht，即310511t两边同时取对数：31010lglglg1 lg1151111ttt解得lg3lg551 lg11t，所以从泡茶开始大约需要等待5 16 分钟故选：C8C【解析】由题得：f x是奇函数，所以 fxf x；g x是偶函数，所以 gxg x将x代入2()()2f xg xaxx得：2()()2f xg xaxx联立22()()2()()2f xg xaxxf xg xaxx 解得：22g xax 1212()()2g xg xxx，1212xx等价于1212()()2g xg xxx，即：1122()2()2g xxg xx，令 2222h xg xxaxx，则 h x在()1,2单增当0a 时，函数的对称轴为2102xaa ，所以 h x在()1,2单增当0a 时，函数的对称轴为2102xaa ，若 h x在()1,2单增，则12a，得：102a 当0a 时，h x单增，满足题意综上可得：12a 故选：C9BD【解析】解：对于 A：对任意的0 x，)，总有()0