第3讲 不等式的性质和基本不等式 讲义（学生版+教师版）-2022新人教A版（2019）《高中数学》必修第一册.rar

第 3 讲 不等式的性质和基本不等式玩前必备1不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性abbb，bcac可加性abacbcError!acbc可乘性Error!acbd同向同正可乘性Error!acbd可乘方性ab0anbn(nN，n1)可开方性ab0nanb(nN，n1)a，b 同为正数2两个实数比较大小的方法(1)作差法Error!(a，bR)(2)作商法Error!(aR，b0)3基本(均值)不等式abab2(1)基本(均值)不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当 ab 时取等号4几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)(2)baab2(a，b 同号)(3)ab(ab2)2(a，bR)(4)a2b22(ab2)2(a，bR)5算术平均数与几何平均数设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为ab2，几何平均数为ab，基本(均值)不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数6利用基本(均值)不等式求最值问题已知 x0，y0，则：(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最小值是 2p.(简记：积定和最小)(2)如果和 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最大值是p24.(简记：和定积最大)玩转典例题型一题型一 利用不等式的性质判断正误利用不等式的性质判断正误例 1例 1给出下列命题：若 ab0，ab，则1ab，cd，则 acbd；对于正数 a，b，m，若 ab，则abambm.其中真命题的序号是_【玩转跟踪】1（2020 秋驻马店期中）下列不等式中，正确的是（）A若 ab，则 a2b2 B若 ab，则 cacbC若 ab，cd，ef，则 acebdfD若 ab，cd，ef，则2.多选题（2020 秋镇江期末）下列命题中正确的是（）A若 ab0，cd0，则 acbdB若 ab，则 kakbC若 ab，则|a|b|D若 ab0，则11题型二题型二 比较大小比较大小例例 2（2020 秋下陆区校级期中）若 ab0，m0，n0，则，+，+按由小到大的顺序排列为（）A+B+C+D+【玩转跟踪】1（2020 秋唐山月考）已知 x0，y0，M=2+2，N=4()5，则 M 和 N 大小关系为（）AMNBMNCMND以上都有可能2.（2020 春福州期中）已知 0a1，且 M=11+1+，N=1+11+，则 M，N 的大小关系是（）AMNBMNCMND不能确定题型三题型三 利用不等式的性质求取值范围利用不等式的性质求取值范围例例 3（2021 春黄陵县校级月考）设 2a3，4b3，求 a+b，ab，ab，2的取值范围【玩转跟踪】1（2020 春齐齐哈尔校级期中）已知1a+b3，且 2ab4，那么 2a+3b 的取值范围是 2.三个正数 a，b，c 满足 ab+c2a，ba+c2b，则的取值范围是 题型四题型四 对基本不等式的理解对基本不等式的理解例例 4（2020 秋东城区校级月考）下列说法中错误的是（）A不等式 a+b2恒成立B若 a，bR+，则+2C若 a，bR+，满足 a+2b1，则2+1 8D存在 aR，使得 a+1 2 成立【玩转跟踪】1多选题（2020 秋无锡校级月考）下列结论成立的是（）A若 a，bR，则 a10+b102a5b5B若 x0，则 x2+12 2C若+2，则 a0，b0DaR，使 a2+96a题型五题型五 基本不等式求最值基本不等式求最值例例 5(1)已知 0 x2)在 xa 处取最小值，则 a 等于()A12 B13 C3 D4(3)已知 x54，求 f(x)4x214x5的最大值；已知 x 为正实数且 x2y221，求 x1y2的最大值；求函数 yx1x3x1的最大值例 6例 6已知 a0，b0，ab1，则1a1b的最小值为_探究 1本例的条件不变，则(11a)(11b)的最小值为_探究 2本例的条件和结论互换即：已知 a0，b0，1a1b4，则 ab 的最小值为_探究 3若将本例中的“ab1”换为“a2b3”，如何求解？玩转跟踪 1.（2020 秋大武口区校级期末）已知012，则12+41 2的最小值是（）A6B8C4D92.（2020 秋汕头校级期末）当 x1 时，求2+8 1的最小值为 3.（2021 春鼓楼区校级期末）设 x0，y0，则 x+4y+1的最小值为 题型六题型六 均值不等式的应用均值不等式的应用例例 7（2020 春南关区校级期末）已知 x0，y0，且 x+2y1，若不等式2+1 m2+7m 恒成立，则实数 m 的取值范围是（）A8m1Bm8 或 m1C1m8Dm1 或 m8例例 8（2020 秋虹口区期末）某居民小区欲在一块空地上建一面积为 1200m2的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽 3m，东西的人行通道宽 4m，如图所示（图中单位：m），问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？玩转跟踪 1.（2020 秋南开区校级月考）设 x0，y0，且不等式（ax+y）（1+1）9 恒成立，则正实数 a 的取值范围是（）A0a4B0a2Ca4Da22.（2020 秋仓山区校级期末）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园设菜园的长为 xm，宽为 ym（）若菜园面积为 72m2，则 x，y 为何值时，可使所用篱笆总长最小？（）若使用的篱笆总长度为 30m，求1+2的最小值玩转练习1（2020 春湖北期中）下列命题中，正确的是（）A若 acbc，则 abB若 ab，cd，则 acbdC若 ab0，则 a2b2D若 ab，cd，则 acbd2（2021 春金安区校级月考）已知 P=12+1，Qa2a+1，则 P、Q 的大小关系为（）APQBPQCPQD无法确定3（2021 春莲池区校级期中）已知 a0，b0，则2+1+1的最小值是（）A2B4C42D64（2021 春浙江月考）已知实数 a0，b0，且满足 aba2b20，则（a+1）（b+2）的最小值为（）A24B317+13C92+13D255.（2021 春深圳期末）已知实数 a，b，c 满足 ab0c，则下列不等式中成立的是（）A+1+1B2+2C D336（2021湖南模拟）设正实数 a、b 满足 a+b1，则下列说法错误的是（）A有最大值12B1+2+12+有最小值 3Ca2+b2有最小值12D+有最大值27（多选题）（2020山东模拟）若非零实数 a，b 满足 ab，则下列不等式不一定成立的是（）A1B+2C1212Da2+ab2+b8（多选题）（2021 春茂名期末）设正实数 a，b 满足 a+b1，则（）A1+4 9B2a+2b3C+有最大值2Da2+b2有最小值129（多选题）（2020 秋雁峰区校级月考）已知 xy0，xy1，则2+2 的最小值和此时 x、y 应取的值为（）A最小值为52B最小值为22C=32，=12Dx=6+22，y=6 2210（2021 春江津区校级月考）若正数 m，n 满足 2m+n1，则1+1的最小值为11（2021 春衢州期末）已知实数 x、y 满足 x2xy1，则 y2+3xy 的最小值为 12（2020 春黄陵县校级月考）已知，满足1 +11 +2 3，试求+3 的取值范围13.（2021 春青山湖区校级期中）已知正数 a、b 满足1+1=1（1）求 a+b 的最小值；（2）求4 1+9 1的最小值14（2020 秋开封月考）已知 x，y 为正实数，且满足 x+y1（1）若 xym 恒成立，求 m 的最小值；（2）证明：（x+1）2+（y+1）2252第 3 讲 不等式的性质和基本不等式玩前必备1不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性abbb，bcac可加性abacbcError!acbc可乘性Error!acbd同向同正可乘性Error!acbd可乘方性ab0anbn(nN，n1)可开方性ab0nanb(nN，n1)a，b 同为正数2两个实数比较大小的方法(1)作差法Error!(a，bR)(2)作商法Error!(aR，b0)3基本(均值)不等式abab2(1)基本(均值)不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当 ab 时取等号4几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)(2)baab2(a，b 同号)(3)ab(ab2)2(a，bR)(4)a2b22(ab2)2(a，bR)5算术平均数与几何平均数设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为ab2，几何平均数为ab，基本(均值)不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数6利用基本(均值)不等式求最值问题已知 x0，y0，则：(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最小值是 2p.(简记：积定和最小)(2)如果和 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最大值是p24.(简记：和定积最大)玩转典例题型一题型一 利用不等式的性质判断正误利用不等式的性质判断正误例 1例 1给出下列命题：若 ab0，ab，则1ab，cd，则 acbd；对于正数 a，b，m，若 ab，则ab0，则1ab0，又 ab，所以aabbab，所以1a1b，所以正确；对于，若 a7，b6，c0，d10，则 706(10)，错误；对于，对于正数 a，b，m，若 ab，则 ambm，所以 amabbmab，所以 0a(bm)0，所以abambm，正确综上，真命题的序号是.【玩转跟踪】1（2020 秋驻马店期中）下列不等式中，正确的是（）A若 ab，则 a2b2 B若 ab，则 cacbC若 ab，cd，ef，则 acebdfD若 ab，cd，ef，则【分析】根据不等式的性质只能判断选项 B 正确，得不出其它选项正确，然后可举反例说明其它选项都错误【解答】解：Aab 得不出 a2b2，比如 a2，b3，该选项错误；Bab，ab，cacb该选项正确；Cab，cd，ef 得不出 acebdf，比如，a1，b2，c2，d3，e2，f1，该选项错误；Dab，cd，ef 得不出，比如，a1，b6，c1，d2，e6，f1故选：B2.多选题（2020 秋镇江期末）下列命题中正确的是（）A若 ab0，cd0，则 acbdB若 ab，则 kakbC若 ab，则|a|b|D若 ab0，则11【分析】由不等式的性质逐一判断即可【解答】解：对于 A，若 ab0，cd0，则 acbd，故 A 正确；对于 B，当 k0 时，不等式 kakb 不成立，故 B 不正确；对于 C，若 ab0，则|a|b|，故 C 不正确；对于 D，若 ab0，则11显然成立，故 D 正确故选：AD题型二题型二 比较大小比较大小例例 2（2020 秋下陆区校级期中）若 ab0，m0，n0，则，+，+按由小到大的顺序排列为（）A+B+C+D+【分析】利用作差比较法，分别计算它们的差，与 0 比较，即可得到结论【解答】解：+=+(+)=()(+)，ab0，m0，n0，()(+)0，+，+=(+)()+()(+)(+)(+)，ab0，m0，n0，(+)()+()(+)(+)(+)0，+0，+，+=+(+)=()(+)，ab0，n0，+0，+，综上可知，+，故选：A【玩转跟踪】1（2020 秋唐山月考）已知 x0，y0，M=2+2，N=4()5，则 M 和 N 大小关系为（）AMNBMNCMND以上都有可能【分析】利用作差法即可比较大小【解答】解：MN=2+24()5=2+82 45(+2)=2+42 4+425(+2)=(2)2+425(+2)0MN故选：A2.（2020 春福州期中）已知 0a1，且 M=11+1+，N=1+11+，则 M，N 的大小关系是（）AMNBMNCMND不能确定【分析】直接利用代数式的运算的应用和数的大小比较的应用求出结果【解答】解：由于 0a1，所以 0ab1即 1ab0所 以 M N=11+1+1+11+=1 +1+1 1+=(1 )(1+)+(1+)(1 )(1+)(1+)=2(1 )(1+)(1+)0所以 MN，故选：A题型三题型三 利用不等式的性质求取值范围利用不等式的性质求取值范围例例 3（2021 春黄陵县校级月考）设 2a3，4b3，求 a+b，ab，ab，2的取值范围【分析】根据不等式的性质进行运算即可得到结论【解答】解：2a3，4b3，3b4，131 14，2a+b0，5ab7，14 113，12 1，即1 12，6ab12，12ab6，9b216，13112，328，综上：2a+b0，5ab7，1 12，12ab6，328【玩转跟踪】1 （2020 春齐齐哈尔校级期中）已知1 a+b 3，且 2 a b 4，那么 2a+3b 的取值范围是 【分析】把 2a+3b 设为 m（a+b）+n（ab），解出 m，n，回代，然后利用不等式的性质，求出 2a+3b的取值范围【解答】解：2a+3bm（a+b）+n（ab），+=2 =3m=52，n=122a+3b=52（a+b）12（ab）1a+b3，2ab4，5252（a+b）152，2 12（ab）1，9252（a+b）12（ab）132即 922a+3b132故答案为：922a+3b1322.三个正数 a，b，c 满足 ab+c2a，ba+c2b，则的取值范围是 【分析】将不等式进行转化，利用不等式的性质建立关于的不等式关系，即可得到结论【解答】解：三个正数 a，b，c，满足 ab+c2a，ba+c2b，1+2，1+2，即 2 1 ，不等式的两边同时相加得 1 2 1 2，则等价为1 2 1 1 2，即2332，即2332，故答案为：23，32题型四题型四 对基本不等式的理解对基本不等式的理解例例 4（2020 秋东城区校级月考）下列说法中错误的是（）A不等式 a+b2恒成立B若 a，bR+，则+2C若 a，bR+，满足 a+2b1，则2+1 8D存在 aR，使得 a+1 2 成立【解题思路】利用特殊值判断选项 A，D，利用基本不等式求解最值判断选项 B，C【解答过程】解：对于 A，当 a0，b0 时，不等式 a+b2不成立，故选项 A 错误；对于 B，因为 a，bR+，则+2=2，当且仅当 ab 时取等号，故选项 B 正确；对于 C，因为 a0，b0 且 a+2b1，所以2+1=(2+1)(+2)=4+4 24+4=8，当且仅当 a2b 时取等号，故选项 C 正确；对于 D，当 a1 时，a+1 2 成立，故选项 D 正确故选：A【玩转跟踪】1多选题（2020 秋无锡校级月考）下列结论成立的是（）A若 a，bR，则 a10+b102a5b5B若 x0，则 x2+12 2C若+2，则 a0，b0DaR，使 a2+96a【解题思路】根据题意，结合基本不等式和不等式的性质依次分析选项，综合即可得答案【解答过程】解：对于选项 A：a10+b102 1010=2|a5b5|2a5b5（当且仅当 ab 时取“），选项A 正确；对于选项 B：当 x0 时，x2+12 2 212=2（当且仅当 x2=12时取“），选项 B 正确；对于选项 C：当 ab1 时满足+2，但 a0，b0，选项 C 错误；对于选项 D：a2+96a（a3）20，即 a2+96a 恒成立，选项 D 错误故选：AB题型五题型五 基本不等式求最值基本不等式求最值例例 5(1)已知 0 x2)在 xa 处取最小值，则 a 等于()A12 B13 C3 D4(3)已知 x54，求 f(x)4x214x5的最大值；已知 x 为正实数且 x2y221，求 x1y2的最大值；求函数 yx1x3x1的最大值听前试做(1)0 x2，x20，f(x)x1x2(x2)1x222x21x22224，当且仅当 x21x2，即(x2)21，x1 或 3.又x1，x3.(3)因为 x0，则 f(x)4x214x5(54x154x)3231.当且仅当 54x154x，即 x1 时，等号成立故 f(x)4x214x5的最大值为 1.因为 x0，所以 x1y22 x2(12y22)2x2(12y22)2.又 x2(12y22)(x2y22)1232，所以 x1y22(1232)324，当且仅当 x212y22，即 x32时，等号成立故(x1y2)max324.令 tx10，则 xt21，所以 ytt213ttt2t4.当 t0，即 x1 时，y0；当 t0，即 x1 时，y1t4t1，因为 t4t244(当且仅当 t2 时取等号)，所以 y1t4t115，即 y 的最大值为15(当 t2，即 x5 时 y 取得最大值)答案：(1)B(2)C例 6例 6已知 a0，b0，ab1，则1a1b的最小值为_听前试做a0，b0，ab1，1a1babaabb2baab22baab4，即1a1b的最小值为 4，当且仅当 ab12时等号成立答案：4探究 1本例的条件不变，则(11a)(11b)的最小值为_解析：(11a)(11b)(1aba)(1abb)(2ba)(2ab)52(baab)549.当且仅当 ab12时，取等号答案：9探究 2本例的条件和结论互换即：已知 a0，b0，1a1b4，则 ab 的最小值为_解析：由1a1b4，得14a14b1.ab(14a14b)(ab)12b4aa4b122b4aa4b1.当且仅当 ab12时取等号答案：1探究 3若将本例中的“ab1”换为“a2b3”，如何求解？解：a2b3，13a23b1，1a1b(1a1b)(13a23b)1323a3b2b3a122ab9ab1223.当且仅当 a2b323 时，取等号故1a1b的最小值为 1223.玩转跟踪 1.（2020 秋大武口区校级期末）已知012，则12+41 2的最小值是（）A6B8C4D9【解题思路】根据 a 给定的范围可判定各因子的符号，然后利用“12a+（12a）”将12+41 2转化成（12+41 2）2a+（12a），最后利用基本不等式即可求出所求【解答过程】解：因为012，所以 2a0，12a0，12+41 2=（12+41 2）2a+（12a）1+4+1 22+81 2 5+21 2281 2=9，当且仅当1 22=81 2，即 a=16时取等号，所以12+41 2的最小值是 9故选：D2.（2020 秋汕头校级期末）当 x1 时，求2+8 1的最小值为 【解题思路】将2+8 1转化为积为定值的形式后即可利用基本不等式进行求解【解答过程】解：当 x1 时，2x+8 1=2（x1）+8 1+22 2(1)8 1+210，当且仅当12(1)=8 1，即 x3 时等号成立，所以 2x+8 1的最小值为 10故答案为：103.（2021 春鼓楼区校级期末）设 x0，y0，则 x+4y+1的最小值为【解题思路】由基本不等式得 x+4y2 4，4+1 24，注意等号要同时取得即可【解答过程】解：x+4y2 4=4（当且仅当 x4y 时，等号成立），4+1 24=4（当且仅当 4=1时，等号成立），故 x+4y+1 4（当且仅当 4=1且 x4y，即 x1，y=14时，等号成立），故 x+4y+1的最小值为 4，故答案为：4题型六题型六 均值不等式的应用均值不等式的应用例例 7（2020 春南关区校级期末）已知 x0，y0，且 x+2y1，若不等式2+1 m2+7m 恒成立，则实数 m 的取值范围是（）A8m1Bm8 或 m1C1m8Dm1 或 m8【解题思路】由题意可得2+1=（x+2y）（2+1）=4+44+24=8，不等式2+1 m2+7m 成立m2+7m（2+1）min，即可求得实数 m 的取值范围【解答过程】解：x0，y0，x+2y1，2+1=（x+2y）（2+1）=4+44+24=8（当4=，即 x2y=12时取等号），不等式2+1 m2+7m 成立，m2+7m8，求得8m1故选：A例例 8（2020 秋虹口区期末）某居民小区欲在一块空地上建一面积为 1200m2的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽 3m，东西的人行通道宽 4m，如图所示（图中单位：m），问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？【解题思路】设矩形停车场南北侧边长为 xm，则其东西侧边长为1200m，人行道占地面积为 S（x+6）（8+1200）12008x+7200+48，然后结合基本不等式即可求解【解答过程】解：设矩形停车场南北侧边长为 xm，则其东西侧边长为1200m，人行道占地面积为 S（x+6）（8+1200）12008x+7200+48 2 8 7200+48528，当且仅当 8x=7200，即 x30（m）时取等号，Smin96（m2），此时1200=40（m），所以矩形停车场的南北侧边长为 30m，则其东西侧边长为 40m，才能使人行通道占地面积最小，最小面积是 528m2玩转跟踪 1.（2020 秋南开区校级月考）设 x0，y0，且不等式（ax+y）（1+1）9 恒成立，则正实数 a 的取值范围是（）A0a4B0a2Ca4Da2【解题思路】利用题设条件和基本不等式求得（ax+y）（1+1）的最小值，即可得到（+1）29，解出 a 的取值范围即可【解答过程】解：x0，y0，a0，（ax+y）（1+1）a+1+a+1+2=（+1）2（当且仅当=时取“），又（ax+y）（1+1）9 恒成立，（+1）29，解得：a4，故选：C2.（2020 秋仓山区校级期末）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园设菜园的长为 xm，宽为 ym（）若菜园面积为 72m2，则 x，y 为何值时，可使所用篱笆总长最小？（）若使用的篱笆总长度为 30m，求1+2的最小值【解题思路】（）由已知可得 xy72，而篱笆总长为 x+2y利用基本不等式 x+2y22即可得出；（II）由已知得 x+2y30，利用基本不等式（1+2）（x+2y）5+2+2 5+222，进而得出【解答过程】解：（）由已知可得 xy72，而篱笆总长为 x+2y又x+2y22=24，当且仅当 x2y，即 x12，y6 时等号成立菜园的长 x 为 12m，宽 y 为 6m 时，可使所用篱笆总长最小（）由已知得 x+2y30，又（1+2）（x+2y）5+2+2 5+222=9，1+2310，当且仅当 xy，即 x10，y10 时等号成立1+2的最小值是310玩转练习1（2020 春湖北期中）下列命题中，正确的是（）A若 acbc，则 abB若 ab，cd，则 acbdC若 ab0，则 a2b2D若 ab，cd，则 acbd【解题思路】根据不等式的基本性质，对选项中的命题判断正误即可【解答过程】解：对于 A，由 acbc，c0 时，ab；c0 时，ab，所以 A 错误；对于 B，当 ab0，cd0 时，有 acbd，所以 B 错误；对于 C，当 ab0 时，有 a2b2，所以 C 正确；对于 D，由 ab，cd，得出dc，所以 adbc，D 错误故选：C2（2021 春金安区校级月考）已知 P=12+1，Qa2a+1，则 P、Q 的大小关系为（）APQBPQCPQD无法确定【解题思路】配方可得 P 和 Q 都大于 0，作商法比较可得【解答过程】解：P=12+1=1(+12)2+340，Qa2a+1（a 12）2+340，=（a2a+1）（a2+a+1）（a2+1）2a2（a2）2+a2+11，故 QP 当且仅当 a0 时取等号故选：C3（2021 春莲池区校级期中）已知 a0，b0，则2+1+1的最小值是（）A2B4C42D6【解题思路】利用基本不等式可解决此题【解答过程】解：a0，b0，2+1+1 2+2 4当且仅当 ab1 时，取等号故选：B4（2021 春浙江月考）已知实数 a0，b0，且满足 aba2b20，则（a+1）（b+2）的最小值为（）A24B317+13C92+13D25【解题思路】根据等式 aba2b20 表示出 b，求出 a 的范围，然后将（a+1）（b+2）中的 b 消去，再利用基本不等式可求出（a+1）（b+2）的最小值【解答过程】解：因为 aba2b20，所以 b=+2 2，又 a0，b0，所以+2 20，解得 a2，又 b=+2 2=1+4 2，所以（a+1）（b+2）ab+2a+b+2a+2b+2+2a+b+23a+3b+43a+12 2+73（a2）+12 2+13 2 3(2)12 2+13=25，当且仅当 3（a2）=12 2即 a4 时等号成立，即（a+1）（b+2）的最小值为 25故选：D5.（2021 春深圳期末）已知实数 a，b，c 满足 ab0c，则下列不等式中成立的是（）A+1+1B2+2C D33【解题思路】根据不等式的性质判断 A，根据举实例判断 CD，根据作差法判断 B【解答过程】解：A、ab0，11，+1+1，A 错误，B、ab0，2+2=(2+)(+2)(+2)=2 2(+2)0，B 正确，C、当 a2，b1，c1 时，=13，=1，C 错误，D、当 a8，b1，c1 时，3=12，3=1，33，D 错误，故选：B6（2021湖南模拟）设正实数 a、b 满足 a+b1，则下列说法错误的是（）A有最大值12B1+2+12+有最小值 3Ca2+b2有最小值12D+有最大值2【解题思路】利用“乘 1 法”与基本不等式的性质即可求解【解答过程】解：由题意可知，正实数 a、b 满足 a+b1，由基本不等式可得+2=12，当且仅当 ab=12，等号成立，故 A 选项正确，由基本不等式可得1+2+12+=13(3+3)(1+2+12+)，=13(+2)+(2+)(1+2+12+)=13(2+2+2+22+)13(2+2+22+2+2)=43，当且仅当 ab=12时，等号成立，故 B 选项错误，a2+b2（a+b）22ab (+)2 2 (+2)2=(+)22=12，当且仅当 ab=12时，等号成立，故 C 选项正确，(+)2=+2 2（a+b）2，则+2，当且仅当 ab=12时，等号成立，故 D 选项正确故选：B7（多选题）（2020山东模拟）若非零实数 a，b 满足 ab，则下列不等式不一定成立的是（）A1B+2C1212Da2+ab2+b【解题思路】当 ab0 时，1 不成立可判断 A；当0时，+2不成立可判断 B；利用作差可判断 C，D【解答过程】解：当 ab0 时，1 不成立，当0时，+2不成立，因为1212=()20，则1212一定成立，因为 a2b2+ab（ab）（a+b+1）符号不定，故 a2+ab2+b 不一定成立故选：ABD8（多选题）（2021 春茂名期末）设正实数 a，b 满足 a+b1，则（）A1+4 9B2a+2b3C+有最大值2Da2+b2有最小值12【解题思路】利用1+4=(+)(1+4)=5+4 5+24=9，再分析即可判断选项 A；利用2a+2b2 2 2=2 2+再分析即可判断选项B；利用+=+21+214=2即可判断选项 C；利用 a2+b2（a+b）22ab12ab 即可判断选项 D【解答过程】解：1+4=(+)(1+4)=5+4 5+24=9（当且仅当=4，即 b2a时等号成立），所1+4 9，故选项 A 正确，2+22 2=2 2+=22（当且仅当=12时等号成立），由于223，所以选项 B 错误；+=+21+214=2，所以C正确；2+2=(+)2 2=1 2 1 2 14=12，D 正确故选：ACD9（多选题）（2020 秋雁峰区校级月考）已知 xy0，xy1，则2+2 的最小值和此时 x、y 应取的值为（）A最小值为52B最小值为22C=32，=12Dx=6+22，y=6 22【解题思路】由已知2+2 =2+2 2+2 =()2+2 =xy+2 ，然后结合基本不等式可求【解答过程】解：因为 xy0，xy1，所以 xy0，则2+2 =2+2 2+2 =()2+2 =xy+2 22，当且仅当 xy=2 时取等号，此时 xy=2，xy1，所以 x=6+22，y=6 22时取等号，故选：BD10（2021 春江津区校级月考）若正数 m，n 满足 2m+n1，则1+1的最小值为3+22【解题思路】利用“乘 1 法”与基本不等式的性质即可得出【解答过程】解：因为正数 m，n 满足 2m+n1，则1+1=2+2+=3+2 3+22=3+22，当且仅当=2且 2m+n1 时取等号，故1+1的最小值 3+22故答案为：3+2211（2021 春衢州期末）已知实数 x、y 满足 x2xy1，则 y2+3xy 的最小值为 1【解题思路】实数 x、y 满足 x2xy1，可得 x0，y=2 1，代入 y2+3xy=(2 1)2+3x2 1，化简利用基本不等式即可得出【解答过程】解：实数 x、y 满足 x2xy1，x0，y=2 1则 y2+3xy=(2 1)2+3x2 1=x22+12+3x234x2+12 52 4212 51，当且仅当x22时取等号y2+3xy 的最小值为1故答案为：112（2020 春黄陵县校级月考）已知，满足1 +11 +2 3，试求+3 的取值范围【解题思路】该问题是已知不等关系求范围的问题，可以用待定系数法来解决【解答过程】解设+3（+）+v（+2）（+v）+（+2v）比较、的系数，得+=1+2=3，从而解出 1，v2分别由、得11，22+46，两式相加，得 1+37故+3 的取值范围是1，713.（2021 春青山湖区校级期中）已知正数 a、b 满足1+1=1（1）求 a+b 的最小值；（2）求4 1+9 1的最小值【解题思路】（1）利用乘 1 法 a+b（a+b）（1+1），展开后结合基本不等式即可求解；（2）先对已知式子进行变形，结合已知条件可得（a1）（b1）1，利用基本不等式可求【解答过程】解：（1）因为 a、b 是正数，所以+=(+)(1+1)=2+2+2=4，当且仅当 ab2 时等号成立，故 a+b 的最小值为 4（2）因为 a1，b1，所以 a10，b10，则4 1+9 1=4+4 1+9+9 1 13+24 19 1=25，当且仅当=53、=52时等号成立，故4 1+9 1的最小值为 2514（2020 秋开封月考）已知 x，y 为正实数，且满足 x+y1（1）若 xym 恒成立，求 m 的最小值；（2）证明：（x+1）2+（y+1）2252【解题思路】（1）由 (+2)2=14，结合题意可得 14，进而求解；（2）先证明1+1 4，再根据(+1)2+(+1)2(+1+1)22=(1+1+1)22(1+4)22=252即得证【解答过程】解：（1）x0，y0，x+y1，由基本不等式得 (+2)2=14，当且仅当=12时取等号，xym 恒成立，14，故实数 m 的最小值为14（2）证明：1+1=(+)(1+1)=2+2+2=4，(+1)2+(+1)2(+1+1)22=(1+1+1)22(1+4)22=252，当且仅当=12时取等号，得证