1、专题6：函数的单调性和奇偶性一、单选题1下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（）ABCD2定义在R上的奇函数，满足，且在上单调递减，则不等式的解集为（ ）ABCD3已知函数，若对任意，且，都有，则实数a的取值范围是（ ）ABCD4函数的单调递增区间是（ ）ABCD5设是偶函数，是奇函数，那么的值为（ ）ABCD16已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，)上是增函数，设af()，则a，b，c的大小关系是（ ）AacbBbacCbcaDcba7我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性
2、质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征，函数的图象大致为（ ）ABCD8已知函数，若函数在开区间上恒有最小值，则实数的取值范围为（ ）ABCD二、多选题9已知是定义在R上的偶函数，当时，则下列说法不正确的是（ ）A当时，B的最小值为C函数的单调增区间为D若方程有2个不同的实数解，则10已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：，；，当时，都有；.则下列选项成立的是（ ）AB若，则C若，则D,使得三、填空题11设函数为定义在上的奇函数，且当时，（其中为实数），则的值为_12已知函数，则_.四、解答题13已知函数.（1）判断函数的奇偶性；（2）证明：函数在区间上单调递增；（3）若在上
3、恒成立，求实数的取值范围.14已知函数过定点，函数的定义域为.（）求定点并证明函数的奇偶性；（）判断并证明函数在上的单调性；（）解不等式.15已知实数且，函数，.（1）已知，求实数，的值.（2）当时，用定义法判定函数的奇偶性.（3）当时利用对数函数单调性讨论不等式的解集.16(补充) 1已知定义在上的函数，满足对任意的，都有.当时，.且（3）.（1）求的值；（2）判断并证明函数在上的奇偶性；（3）在区间，上，求的最值.答案1B2B3C4C5C6C7D因为的定义域为，关于原点对称，又，所以是奇函数，其图象关于原点对称，故排除AB；因为，故排除C.故选：D.8A由题恒成立，所以定义域为R，所以为定
4、义在R上的偶函数，当在单调递减，在单调递增，所以在单调递减，在单调递增，在单调递减，在单调递增，所以函数在和处均取得最小值，若函数在开区间上恒有最小值，则或，解得：故选：A9ACD对于A，当时，又是定义在R上的偶函数，故A错误；可知，作出函数图像如下，对于B，由图可知，的最小值为，故B正确；对于C，由图可知，函数的单调增区间为和，故C错误；对于D，由图可知，方程有2个不同的实数解，则或，故D错误；故选：ACD10CD定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：，说明函数是偶函数，满足；，当时，都有，说明函数在是增函数；，所以，则选项A不正确；若，又，或，则或，求解得：，选项B不正确；若，则
5、，得，故选项C正确；因为定义在R上函数的图象是连续不断的，且在上单调递增，所以，所以对，只需即可，故选项D正确.故选：CD.，当时，都有在上单调递增；，当时，都有在上单调递减.11129；因为所以，所以.故答案为：913（1）奇函数；（2）见解析；（3）.（1）函数的定义域为，定义域关于原点对称.，是奇函数.（2）任取，故函数在区间上单调递增；（3）在上恒成立，等价于，由（2）知在单调递增，解得.14（）定点为，奇函数，证明见解析；（）在上单调递增，见解析；（）.（）函数过定点，定点为，定义域为，.函数为奇函数.（）在上单调递增.证明：任取，且，则.，即，函数在区间上是增函数.（），即，函数为奇函数在上为单调递增函数， ，解得：.故不等式的解集为：15（1），；（2）函数为奇函数；（3）见解析.（1）因为，即，解得，则，又因为,解得.（2）当时，函数定义域为，所以函数为奇函数.（3）当，则，由即当时，要使不等式成立，则，解得.当时，要使不等式成立，则，解得，综上所述：当时不等式的解集为.当时不等式的解集为.16（1）0；（2）奇函数（3）最大值为12，最小值为.（1）令，得，.（2）令，得，即对于定义域内的任意一个，都有，是奇函数.（3）任取实数、，且，这时，时，在，上是减函数.故的最大值为，最小值为（9）.而（9）（3），（9）.在区间，上的最大值为12，最小值为.
