1、4.5.1 函数的零点与方程的解函数的零点与方程的解怎么解呢？怎么解呢？提出提出问题问题问题问题1、求下列方程的根、求下列方程的根(1)6x-1=0(2)3x2+6x-1=0(3)3x5+6x-1=0方程解法时间图 中国 公元50年100年一次方程、二次方程和三次方程根11世纪北宋贾宪三次方程正根数值解法13世纪南宋秦九韶任意次代数方程正根解法7世纪隋唐王孝通三次或三次以上方程方程解法时间图 西方 一次方程、二次方程的一般解法1541年意大利塔尔塔利亚三次方程一般解法18021829挪威阿贝尔证明了五次以上一般方程没有求根公式记载了费拉里的四次方程一般解法9世纪阿拉伯花拉子米1545年意大利卡
2、尔达诺解解方程的历史方程的历史方程方程 函数函数函函数数的的图图象象方程的实数根方程的实数根函数的图象与函数的图象与 x 轴的交点轴的交点x2-2x+1=0 x2-2x+3=0y=x2-2x-3y=x2-2x+1x1=-1，x2=3x1=x2=1无实数根无实数根(-1,0)、(3,0)(1,0)无交点无交点x2-2x-3=0y=x2-2x+3-131问题探究问题探究思考思考:方程的根与函数的图象和方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标轴交点的横坐标有什么关系有什么关系?观察函数的图象思考：观察函数的图象思考：1.方程的根与函数的图象和方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标有什么关系轴交点的横坐
3、标有什么关系?1、方程根的个数和对应函数与、方程根的个数和对应函数与x轴交点个数相同轴交点个数相同.2、方程的根是函数与、方程的根是函数与x轴交点的横坐标轴交点的横坐标.3、若一元二次方程无实数根，则相应的二次函数图像与若一元二次方程无实数根，则相应的二次函数图像与x轴无交点轴无交点.问题探究问题探究思考：若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及思考：若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相应的二次函数的图象与相应的二次函数的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立轴交点的关系，上述结论是否仍然成立?判别式判别式 0 0 0)的图象的图象ax2+bx+c=0 (a0
4、)的根的根xyx1x20 xy0 x1xy0函数的图象函数的图象与与x 轴的交点轴的交点两个交点两个交点(x1,0),(x2,0)无交点无交点有两个相等的有两个相等的实数根实数根x1=x2无实数根无实数根两个不相等的两个不相等的实数根实数根x1、x2)0,2(ab 一一个个交交点点问题探究问题探究 一元二次方程一元二次方程的根就是相应的二次函数图象与的根就是相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标。轴交点的横坐标。若一元二次方程无实数根，则相应的二次函数图像与若一元二次方程无实数根，则相应的二次函数图像与x轴无交点。轴无交点。思考：若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及思考：若将上面
5、特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相应的二次函数的图象与相应的二次函数的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立轴交点的关系，上述结论是否仍然成立?问题探究问题探究推广到更一般的情况，得：推广到更一般的情况，得：轴轴交交点点的的横横坐坐标标的的图图象象与与函函数数的的实实数数根根方方程程xxfyxf)(0)(零点：零点：对于函数对于函数y=f(x),我们把使我们把使f(x)=0的实数的实数x叫做函数叫做函数y=f(x)的零点的零点.问题问题1:函数的零点是一个点吗？函数的零点是一个点吗？零点不是一个点，零点指的是一个实数零点不是一个点，零点指的是一个实数.问题问题2:试归纳函数零点
6、的等价说法？试归纳函数零点的等价说法？方程方程f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)有零点有零点 函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴轴有交点有交点概念解析概念解析跟踪训练跟踪训练1思考辨析思考辨析(1)所有的函数都有零点所有的函数都有零点()(2)若方程若方程f(x)=0有两个不等实根有两个不等实根x1，x2，则函数，则函数y=f(x)的零点为的零点为(x1,0)、(x2,0)()(3)若函数若函数y=f(x)在区间在区间(a，b)上有零点，则一定有上有零点，则一定有f(a)f(b)0.()跟踪训练跟踪训练2、函数函数y=2x1的零点是的零点是()2.)21,0.()0,21.
7、(21.DCBAA观察函数的图象并填空观察函数的图象并填空:1、在区间、在区间(a,b)上上f(a)f(b)_0(“”)在区间在区间(a,b)上上_(有有/无无)零点；零点；2、在区间、在区间(b,c)上上f(b)f(c)_0(“”)在区间在区间(b,c)上上_(有有/无无)零点；零点；3、在区间、在区间(c,d)上上f(c)f(d)_0(“”)在区间在区间(c,d)上上_(有有/无无)零点；零点；4、在区间、在区间(e,g)上上f(e)f(g)_0(“”)在区间在区间(e,g)上上_(有有/无无)零点；零点；有有有有有有xyOabcd问题问题2:在怎样的条件下，函数在怎样的条件下，函数yf(
8、x)在区间在区间a,b上存在零点？上存在零点？Oyxge无无问题探究问题探究零点存在性定理零点存在性定理:如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图象是上的图象是连续不断的一条曲线连续不断的一条曲线，并且，并且有有f(a)f(b)0，那么，函数，那么，函数y=f(x)在区间在区间(a,b)内有零点内有零点.即存在即存在c(a,b)，使得，使得f(c)=0，这个，这个c就是方程就是方程f(x)=0的根的根.定理解读定理解读思考思考1:为什么强调为什么强调“函数函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图象一条上的图象一条不间断不间断的曲的曲线线”?如果函数图象如果函数图象不连续不连续，或者
9、，或者y=f(x)不满足不满足f(a)f(b)0，那么零点，那么零点存在性定理还成立吗？存在性定理还成立吗？xyOabOyxbaOyxbaOyxba定理解读定理解读例例1、求求方程方程lnx+2x-6=0的实数解的个数的实数解的个数法一：可以先借助计算工具画出函数法一：可以先借助计算工具画出函数y=lnx+2x-6的的图象或图象或列出列出x，y的对应值表，为观察、判断零点所在区间提供帮助的对应值表，为观察、判断零点所在区间提供帮助典例解析典例解析解解：设函数：设函数f(x)=lnx+2x-6，利用计算工具，列出函数利用计算工具，列出函数y=f(x)的的对应值对应值表并表并画出图象画出图象xy1
10、-42-1.306931.098643.386355.609467.791879.9459812.0794914.1972由表和图可知由表和图可知，f(2)0，则则f(2)f(3)0.由由函数零点存在定理可知，函数零点存在定理可知，函数函数f(x)=lnx+2x-6在在区区间间(2,3)内至少有一个零点内至少有一个零点容易证明，容易证明，函数函数f(x)=lnx+2x-6，x(0,+)是增函是增函数，数，所以所以它只有一个零点，即相应它只有一个零点，即相应方程方程lnx+2x-6=0只只有有一个实数解一个实数解解：由已知得，即求方程解：由已知得，即求方程lnx+2x-6=0的根；的根；方程变形
11、为：方程变形为：lnx=-2x+6由图可得由图可得两函数图象只有一个公共点，两函数图象只有一个公共点，所以函数有一个零点。所以函数有一个零点。x1lnyx226yx yo163例例1、求求方程方程lnx+2x-6=0的实数解的个数的实数解的个数法二：法二：该问题转化为求函数该问题转化为求函数y=ln x与与y=6-2x的图象的交点个数的图象的交点个数,因此因此只需画出图只需画出图,数形结合即可数形结合即可.令令y=lnx,y=-2x+6典例解析典例解析12要点：转化为两个常见函数的交点个数要点：转化为两个常见函数的交点个数跟踪训练跟踪训练1、函数、函数f(x)=ex+4x-3零点零点的个数是的
12、个数是_2、函数函数f(x)=lnx-x+2零点零点的个数是的个数是_C 由由f(x)=0得得2x23x1=0,所以函数所以函数f(x)有有2个零点个零点当堂达标当堂达标1、函数函数f(x)=2x23x1的零点个数是的零点个数是()A0B1 C2 D3121 xx或或2、函数函数f(x)=2x3的零点所在的区间是的零点所在的区间是()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)Bf(1)=2-3=-10，f(1)f(2)0，即，即f(x)的零点所的零点所在的区间为在的区间为(1,2)3、对于函数对于函数f(x)，若，若f(-1)f(3)0，则，则()A方程方程f(x)=0一定有实数解一定有
13、实数解 B方程方程f(x)=0一定无实数解一定无实数解C方程方程f(x)=0一定有两实根一定有两实根 D方程方程f(x)=0可能无实数解可能无实数解D函数函数f(x)的图象在的图象在(-1,3)上未必连续，故尽管上未必连续，故尽管f(-1)f(3)0，但方，但方程程f(x)=0在在(-1,3)上可能无实数解上可能无实数解4、若若f(x)=xb的零点在区间的零点在区间(0,1)内，则内，则b的取值范围为的取值范围为_ 010100)1(0)0()1,0()()(bbbffbxxfbxxf，内内的零点在区间的零点在区间是增函数，又是增函数，又(-1,0)5、当、当a为何值时，函数为何值时，函数y=
14、7x2-(a+13)x+a2-a-2的一个零点在区间的一个零点在区间(0,1)上，另一个零点在区间上，另一个零点在区间(1,2)上上.012 02)13(228)2(02)13(7)1(02)0(222aaafaaafaaf oaaaaa或或或或化简得化简得342124312-aa或或即即B6、若方程若方程2ax2-x-1=0在区间在区间(0,1)内恰有一解，则内恰有一解，则a的取值范围为的取值范围为()A.a1 C.-1a1 D.0a1分析：分析：令令f(x)=2ax2-x-1在在(0,1)内恰有一解，则内恰有一解，则f(0)f(1)0即即-1(2a-2)17、已知函数已知函数f(x)=x2
15、x2a.(1)若若a=1，求函数，求函数f(x)的零点；的零点；(2)若若f(x)有零点，求实数有零点，求实数a的取值范围的取值范围.解：解：(1)当当a=1时，时，f(x)=x2x2.令令f(x)=x2x2=0，得，得x=-1或或x=2.即函数即函数f(x)的零点为的零点为-1和和2.8181081)()2(aaaaxf的取值范围是的取值范围是所以所以，解得，解得有零点，则有零点，则要使要使_0,ln20,32)(82的零点的个数为的零点的个数为、函数、函数 xxxxxxf2个个_3)()(0,20),1(log)(922的的取取值值范范围围是是零零点点，则则实实数数个个有有，若若函函数数、
16、已已知知函函数数mmxfxgxxxxxxf 0m12、方程、函数、函数图象之间的关系方程、函数、函数图象之间的关系方程方程f(x)0有实数根有实数根函数函数yf(x)的图象与的图象与_有交点有交点函数函数yf(x)有有_3、函数零点的存在性定理函数零点的存在性定理如果函数如果函数yf(x)在区间在区间a，b上的图象是上的图象是_的一条曲线，并且有的一条曲线，并且有_.那么，函数那么，函数yf(x)在区间在区间(a，b)内有零点，即存在内有零点，即存在c(a，b)，使，使得得_，这个，这个c也就是方程也就是方程f(x)0的根的根1、函数的零点函数的零点对于函数对于函数yf(x)，把使，把使_叫做函数叫做函数y=f(x)的零点的零点f(x)=0的实数的实数x课堂小结课堂小结x轴轴零点零点连续不断连续不断f(a)f(b)0f(c)=0
