1、4.4 对数函数4.4.2 对数函数的图象和性质第1课时 知识探究 问题1:根据研究幂函数,指数函数的经验,在得出它们的概念后,接下来要研究什么?你认为可以其过程和方法是怎样的？研究一类函数的基本路径是：背景 概念 图象和性质 应用 思考(1):你还能回想起指数函数图象和性质的研究方法和途径吗？列表 描点观察图象得到指数函数的性质连线作出指数函数图象 思考(2):如果按照这样的方法和途径来研究对数函数,应该说要得到对数函数的图象和性质也是没有什么问题的.假设我们要换一种方法来研究,你认为应该从哪个方面来入手呢(比如结合对数函数概念的得来过程)？对数函数的概念是在指数函数的基础上，通过提“出反过
2、来的问题”，并利用对数和指数的关系建立起来的.因此，我们可以试着利用对数函数与指数函数的关系，并借助指数函数的图象和性质来研究对数函数的图象和性质.要注意特殊点的选取，比如(0,1).思考(3):首先来看指数y=2x的图象，若用描点法作图象，取点时要注意什么？xy-10.501122438416.xoy1 2xy 思考(4):你能根据 y=2x和 y=log2x 的关系,通过列表，描点，作出 y=log2x的图象吗？2xy 2logyx xy0.5-1102142831642logyx.思考(5):从对称的角度来看，你能看出函数 y=log2x和y=2x 的图象有什么关系吗？怎么来解释这个问题
3、？xoy1 2xy 2logyx yx 函数y=log2x和y=2x 的图象关于直线y=x对称。设P(a,b)是y=log2x图象上的任意一点，则有 b=log2a由指数和对数的关系得 a=2b即点Q(b,a)在函数的图象上P(a,b),Q(b,a)两点关于直线y=x对称函数y=log2x和y=2x 的图象关于直线y=x对称我们知道，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于 轴对称，例如与那么底数互为倒数的两个对数函数的图象是否也有某种对称关系呢?例 如 与 思考 21212().2log(6:og.)lxxyyyyxyx 由换底公式得122loglogyxx 与的图象关于 轴对称.212logl
4、ogyxyxx xoy1 2xy 2logyx yx 1 1()2xy 12logyx 事实上，当且01aa 函数与的图象关于x轴对称.1loglogaayxyx 对于函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称。结论用类似的方法，再作出下列函数的图象，并说说这些函数的底数大小与图象在一象限思的位置有何关系？考314134(7):loglogloglog.yxyxyxyx xoy2logyx 112logyx 3logyx 13logyx 4logyx 14logyx 对于对数函数y=logax，底数a越大,其图象在一象限的部分就越靠右。结论返回类比于指数函数性质的研究过程，先思考可以从
5、哪些方面观察这些函数的图象，再概括出对数函数的性质？思考log(0,(8)1):ayx aa 根据底数的范围，从图象的位置，公共点，变化趋势等方面进 行观察。图象全在在y轴右边；横向：向上可达正无穷，向下可达负无穷.向右无限延伸，向左与y轴无期限接近；纵向：位置：公共点：图象均过(1,0)点；当a1时，对称情况：每一个图象均无对称性.图象从左到右是上升的.当0a1时，图象从左到右是下降的.返回对数函数的图象和性质0a1图 象定义域值 域性 质RR都过点(1,0);(0,)无奇偶性;无最值.减函数增函数(1,0)xyolog(01)ayxa 1x (1,0)xyolog(1)ayx a 1x 返
6、回例1.比较下列各题中两个值的大小：(1)log23.4,log28.5;(2)log 0.3 1.8,log 0.3 2.7;（3)loga5.1,loga5.9.解：(1)函数y=log 2 x的底数2大于1 y=log 2 x是增函数.又3.48.5 log23.4 log28.5例析log23.4log28.5y3.4x1O8.5(2)函数y=log 0.3 x底数0.31 y=log 0.3 x 是减函数；又1.8 log 0.3 2.7 log0.31.8log0.32.7y1.8x1o2.72logyx 0.3logyx 解:(3)当a1时，函数y=logax是增函数；由5.15
7、.9 得 loga5.1 loga5.9 当0a1时 函数y=logax是减函数；由5.1 loga5.9例1.比较下列各题中两个值的大小：(1)log23.4,log28.5;(2)log 0.3 1.8,log 0.3 2.7;(3)loga5.1,loga5.9.思考：根据以上经验，请你说说如何比较比较两个同底对数值的大小?(1)根据底数a的范围判断对应函数y=logax的单调性；(2)比较真数值的大小；(3)根据单调性得出结论。注意：若底数a与1的大小不确定，应分0a 1两类进行讨论0.30.70.330.10.22.(1)log5,log0.6;(2)log0.2,log 2;(3)
8、log3,log3.例比较下列各题中两个值的大小：解:0.30.3(1)log5log10,0.30.3(2)log0.2log0.31,思考(1)：根据例2(1)并结合对数函数的图象，你能说说对数值什么情况下为正，什么情况下为负吗？1a 当时，1x 若,则log0ax ;01,x 若则log0.ax 01a 当时，1x 若,则log0ax ;01,x 若则log0ax .结 论 对于对数logab，当a,b都大于1，或a,b都小于1(且大于0)时，logab的值为正，当a,b中一个大于1，另一个小于1(且大于0)时，logab的值为负。00同大同小大于，一大一小小于0.70.3log0.6l
9、og10 0.30.7log5log0.6 33log 2log 31 0.33log0.2log 2 返回0.30.70.330.10.22.(1)log5,log0.6;(2)log0.2,log2;(3)log3,log3.例比 较 下 列 各 题 中 两 个 值 的 大 小：解:作出函数y=log0.1x和y=log0.2x的图象y=log 0.1x x=3由换底公式得当x=3时，由图象得log0.13 log0.23另解:0.10.23311log3,log3log 0.1log 0.2 33log 0.1log 0.20,3311,log 0.1log 0.2即log0.13log
10、0.23y=log 0.2x 思考(1)：对于底数不相同的两个对数，如何比较它们的大小？尽可能将它们的底数化相同，若无法化相同，可引入中间量，如0，1等，通过不等式的传递性来比较(介值法)，也可利用函数的图象，不等式的知识来解决。练习1331.loglog?yxyx 在 同 一 坐 标 系 下 画 出和的 图 象，并 说 明 它 们 之 间 的 关 系0.50.52.(1)lg 0.6,log 0.8;(2)log6,log4;(3)log5,log7.mm 比 较 下 列 各 题 中 两 个 值 的 大 小：(9,2)1(,2)9 1(,1)3 (1,0)(3,1)3logyx(9,2)(3
11、,1)1(,1)3 1(,2)9 13logyx 133loglogyxyxx 和的 图 象 关 于轴 对 称。lg 0.6log 0.8 0.50.5log6log4;01m 当时，log5log7;mm 1m 当时，log5log7.mm 教材P135练习第1,2题3.下列是6个对数函数的图象，比较它们底数的大小a4 a5 a6a1a2log 0.3 6 log 0.4 6(1)根据对数的运算性质,有1lglgHHpH 在(0,+)上,随着H+的增大,1lgH 即也减小，pH减小.随着H+的增大，pH减小.即溶液中氢离子的浓度越大,溶液的酸碱度就越大.例3.溶液酸碱度是通过pH计量的.pH
12、的计算公式为pH=-lgH,其中H表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.(1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；(2)已知纯净水中氢离子的浓度为H107摩尔/升，计算纯净水的pH.例 析解:1H 减小，7(2)10,H 当时7lg 107.pH 纯净水的pH是7.1lgH 对数函数y=logax的图象和性质指数函数y=ax的图象和性质 问题2:对照对数函数与指数函数的图象和性质，你有什么发现？你能解释其中的原因？(1)定义域和值域互换；(3)所过定点的横坐标和纵坐标(3)单调性情况相同；(4)两个函数图象关于直线y=x对称。(2)一个函数
13、中的自变量x和另一个函数中函数y的地位相当；这是由于对数函数y=logax(a0且a1)和指数函数y=ax(a0且a1)的特殊对应关系决定的。一般地，我们称具有这种特殊关系的两个函数互为反函数。互换和值域互换；返回 思考:对于指数函数y=2x，你能利用指数与对数之间的关系，得到对应的对数函数？它们的定义域，值域有什么关系？它们互为反函数吗？y=log2x y=2xx=log 2 yx改为y,y改为xxR y(0,+)x(0,+)yR 一般地，函数y=log ax与y=ax(a0,a1)互为反函数,它们的定义域，值域互换，图象关于直线y=x对称。练习某地去年的国内生产总值 为 亿元的人民币，预计
14、未来 年的平均增长率为 设经过 年后达到的年为 亿元，试写出未来 年内，关于 的函数解析式；经过几年后该地的年能达到 亿元人民币 保留整数。参考数据：，）()300056.8%.(1)5(2)3900(ln1.30.262 ln1.0680.066GDPxGDPyyxGDP （教材P135练习第3题）解:(1)3000(16.8%)xy 3000 1.068,x0,5x 由得(2)3000 1.068xy 1.068,3000 xy 即1.068log3000yx 当时,3900y 1.0683900log3000 x 1.068log1.3 ln1.30.262ln1.0680.066 0.
15、2623.970.066 经过4年后该地的年能达到亿元人民币.3900GDP 课堂小结 2.请说说对数函数的性质是怎样的？4.我们获得对数函数的概念与获得指数函数、幂函数的概念有何不同？1.对数函数的图象的特点有哪些位置与底数有何关系？指数函数、幂函数的图象和性质的研究，主要是用描点法作出图象，通过观察图象，并结合解析式和运算得出性质 对数函数的图象和性质的研究，主要是通过对数与指数的关系，利用指数函数的图象和性质得出的相关结论如何由底数和真数的范围来确定对数值的正负？其位置与底数有何关系？5.说说同底的对数函数与指数函数有什么特殊关系？3.对于比较对数值的大小，你有什么体会？作 业1.教材P140习题4.4第2，4，7题2.(选做题)若2a+log2a=4b+2log4b,则 A.a2b;B.ab2;D.ab2简析:由2a+log2a=4b+2log4b得2a+log2a=22b+log2b=22b+log22b构造函数f(x)=2x+log2x则 f(x)为增函数22b+log2b+12a+log2a22b+log22bf(a)f(2b)即 a2b
