1、2.1 基本不等式 第1课时 基本不等式的概念 引入 我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用。那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式时也有着与乘法公式类似的作用呢？我们本节就来研究这个问题。在上一节，我们利用乘法的完全平方公式得到了一个重要不等式，你还记得？一 般 地，有当 且 仅 当时，等 号 成 立。22,2a bRababab 重要不等式 探究新知(一)一 般 地，有当 且 仅 当时，等 号 成 立。22,2a bRababab 重要不等式如果我们用分别代替以上不等式中的可得到什么结论？问题：0,0,1,ababa b 22()()abab 即 2abab 当且仅当时，等号成立
2、()ab 2abab 对任意的，有00ab 我们把这个不等式叫基本不等式。返回返回 基本不等式的代数特征：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当且仅当这两个正数相等时，二者相等.基 本 不 等 式 对 任 意 的，有 当 且 仅 当时，等 号 成 立002abababab a，b的几何平均数a，b的算术平均数当且仅当的意思思考1：是什么？基本不等式的变形：算术平均几何 思考以上叫的数，叫的。你能代数的这个 角度来解释 平这均个不等式？数2：吗,2,abababab a+b2 ab ;2a+bab()2“”是“”的充要条件2ababab 返回返回(2)如何用a,b表示CD?(1)如何用a
3、,b表示OD?2abO D (3)OD与CD的大小关系怎样?问题2：如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD。你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?基本不等式的几何解释：圆O的半弦CD不大于圆的半径OD，当且仅当C与圆心O重合时，二者相等 探究新知(二)ADCDBCDABEO Cab返回返回证明：2a bab求证：若，则，当且仅当时 ，等 立。成 号0,02abababab ，2abab 2abab=22()()2abab=22()2()2aabb=2()2ab2()02ab作差法思考1：你能用其它方法来证明吗？前
4、面我们用重要不等式的特殊情况推导出了基本不等式，也可以说证明了这个不等式，我们又能不能直接利用不等式的性质来推问题3：导它呢？探究新知(三)当且仅当时，等号成立。ab 返回返回证明：只需证明2abab要证，只需证明要证，只要证 显然成立，并当且仅当a=b时,中的等号成立。22(0,0,(),()abaabb 求证：若，则，当且仅当时 ，等 立。成 号0,02abababab 2 abab20abab不 等 式成 立。2abab 分析法 思考2：事实上，把以上的过程倒过来就能直接推导出基本不等式，你能写出这个过程并说各步的根据吗？要证明2()0ab 要证，只要证2()0ab 2()0ab 2()
5、0ab 20abab 2 abab当且仅当=取=()2ababab综合法(可乘性)(同解变形)(可加性:移项)(可乘性)返回返回求证：若，则，当且仅当时 ，等 立。成 号0,02abababab 思考3：这种证明方法叫分析法。你能归纳出分析法的基本思路和证明格式吗？1.基本思路：要证.只需证.要证.只需证.显然，xxx成立分析法的思路及格式 从要证明的结论出发，一步一步地寻求使它成立的充分条件，最后归结为一个明显成的条件(如公式,定理,定义,已知等等)执果索因。2.基本格式：注意：每一步都一定要有文字说明 已知 求证21.,:()2aba bRab 练习证 明：2()2abab 224(2)4
6、abaabb 2224aabb 2()4ab 2()04ab 2()2abab 另 证：要证，只需证2()2abab 2224aabbab 要证上式成立，只需证 2242abaabb要证上式成立，只需证22024aabbab 要证上式成立，只需证2202aabb 要证上式成立，只需证0()a b 显然，成立。20()a b 2.,:2(1)2;(2)x yxyxyxyxyyxxy 已知 都是正数，且，求证 （教材P45练习第1，2题）已知 都是正数，且，求证2.,:2(1)2;(2)x yxyxyxyxyyxxy 证明：都是正数(1),x yxyyx 22xyyx xy,xyyx 不等式的等号
7、不成立2xyyx 都 是 正 数，且(2),x yxy 2xyxy 两边同乘以 得xy2 xyxyxy ()2xyxyxy 两边同除以 得xy 2 xyxyxy 例 已知，求 的最小值。1.01xxx 例析什么是 的最小值？思考1：1xx 设 是时 的 最 小 值，则 满 足：0001yxyxx 使 ；0000(1)0,1xxyx 有 .0000(2)0,1xxyx 什么这个式子的结构有可特点，能不用基本 不等 思考式求最2：小值？中，是的形式和积，的，在 与与11111xxxxxxxx a+b2 ab 求最小值。因此，可以用例 已知，求 的最小值。1.01xxx 解：0 x 21xx 1xx
8、 2 当且仅当，即，时，等号成立2111xxxx 所求的最小值为2以上解答过程中当且仅当，即思考3:，时，等号成立，为什 么是否 一定要说明?2111xxxx 的 一 个 值，即 说 明这 是 在 确 定是 式 子12xx“使 00000,1xxyx 思考4：通过以上过程，说说什么样的代数式可以用基本不等式求其最值？代数式可化为是两正数之和且积为定值的形式，或是两正数之积且和为定值的形式，并在这两正数可以相等时。返回返回用基本不等式求代数式最值的条件一正二定三相等：(1)各项均为正数 (2)和为定值或积为定值；(3)基本本不等式中的等号要成立。若x0,你能求出的最大值吗？思考 5:1xx 0
9、x 10,0 xx 1xx )1()(xx （）（）11()2()2xxxx 当且仅当，即，时，等号成立2111xxxx 2 所求的最小值为2返回返回例 已知 都是正数，求证 如果积等于定值，那么当时，和 有最小值 如果和等于定值，那么当时，积 有最大值.22.,:(1)2;1(2)4xyxyPxyxyPxySxyxyS 例析解：(1)0,0 xy xy 2 xy 2 P 当且仅当时，等号成立。xy 当时，有最小值2.xyxyP (2)0,0 xy xy2()2xy 当且仅当时，等号成立。xy 当时，有最大值21.4xyxyS 214S 思考4：通过本题，你能说说用基本不等式能解决什么样的问题
10、吗？当两个正数的积为定值时，如何求它们和的最小值。当两个正数的和为定值时，如何求它们积的最大值。最值定理 两个正数的积为定值时，和有最小值；和为定值时，积有最大值。即积定和最小，和定积最大 取什么值时，取得最小值，最小值是多少？2211.xxx 练习解：由题得 x02210,0 xx 又221xx 2212xx 2 当且仅当，即，时，等号成立。242111xxxx 所求的最小值为2，此时。1x 22.-111xx 已知，求 的最大值。解：21x=(1)(1)xx 1x 当时，210 x (1)(1)xx -11x 当时，11xx 和都为正数2(1)(1)2xx 1 110 xxx 当且仅当，即
11、时取等号。综上，所求的最大值为1。（教材P45练习第3题）（教材P45练习第4题）2 直角三角形的面积为50cm，当两直角边各为多少时，这两条直角边的和最小？最小值是多少？3.解：设两个直角边分别为a,b,则当且仅当时等号成立。ab ，1502ab 100ab ab 2 ab2 10020 此时,100abab 10ab 当两直角边都为10cm时,它们的和有最小值20cm。变式:直角三角形的两直角边的和为10cm，求这个三 角形面积的最大值？12ab S21()22ab 252 ab 当且仅当时等号成立,5100ababab 此 时即 （教材P45练习第5题）22525cmcm当两直角边都为时，三角形面积有最大值简析：小结1.基本不等式是如何推导出来的？2.基本不等式怎样的，什么条件下不等式的等号成立？4.本节课在证明不等式时我们用到过哪些方法？3.用基本不等式求最值的条件是什么？基本不等式的代数特征是怎样的，可以从几何图形上进行怎样的解释？什么样的代数式可以用基本不等式求最值？作差法，综合法，分析法作业教材P48习题2.2 第1,2,3题
