1、1 11.4.1 充分条件与必要条件充分条件与必要条件2 2学习目标：学习目标：1.理解充分条件与必要条件的意义.重点：充分条件与必要条件.难点：必要条件概念的理解.3 3 一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.命题的概念命题的概念判断为真的语句叫真命题。判断为假的语句叫假命题。许多数学命题可写成：“若p,则q”“如果p,那么q”命题的条件命题的结论4下列“若p,则q”形式命题中,哪些是真命题？哪些是假命题？(1)若平行四边形的对角线互相垂直,则此平行四边形是菱形.(2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等.(3)若x2-4x+3=0,则x=1.(4)若平
2、面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a/b.一、真命题与假命题在(1)和(4)中,由条件p可以推出结论q,所以它们是真命题.在(2)和(3)中,由条件p不能推出结论q,所以它们是假命题.5 5二、充分条件与必要条件二、充分条件与必要条件 一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可以推出q，记作pq.并且说p是q的充分条件(sufficient condition)q是p的必要条件(necessary condition)此时,如果q不成立,则p一定不成立.所以,q对于p成立而言是必要的.“若p,则q”为假命题,记作pq.并且说p不是q的充分条件,q不是p
3、的必要条件.推出别人的就是充分条件，被别人推出的就是必要条件.6 6下列“若p,则q”形式命题中,哪些是真命题？哪些是假命题？(1)若平行四边形的对角线互相垂直,则此平行四边形是菱形.(2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等.(3)若x2-4x+3=0,则x=1.(4)若平面内两条直线a和b均垂直于直线l,则a/b.在(1)和(4)中,p是q的充分条件,q是p的必要条件.在(2)和(3)中,p不是q的充分条件,q不是p的必要条件.1.判断下列命题的真假：(1)若x=1,则x2-4x+3=0;真命题(2)若ab=0,则a=0;假命题(1)x=1x2-4x+3=0;(2)ab=0a=0.7
4、 7例1.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？(1)若四边形的两组对角分别相等,则这个四边形是;(2)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；(3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；解：(1)这是一条平行四边形的判定定理,pq,所以p是q的充分条件.(2)这是一条相似三角形的判定定理,pq,所以p是q的充分条件.(3)这是一条菱形的性质定理,pq,所以p是q的充分条件.8 8例1.下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件？(4)若x2=1,则x=1;(5)若a=b,则 ac=bc;(6)若x,y都是无理数，则xy为无理数.解：(4
5、)由于(-1)2=1,但-11,pq,所以p不是q的充分条件.(5)由等式的性质知,pq,所以p是q的充分条件.pq,所以p不是q的充分条件.(6)设x=y=都是无理数,但 是有理数,222=29 9例1中命题(1)给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即“四边形的两组对角分别相等”.这样的充分条件唯一吗？如果不唯一，那么你能再给出几个不同的充分条件吗？不唯一p是q的充分条件(pq)，但并不意味着只能由这个条件p才能推出q.举例：若四边形的两组对边分别相等,则这个四边形是.若四边形的一组对边平行且相等,则这个四边形是.若四边形的两条对角线互相平分,则这个四边形是.10102.下列“若p，
6、则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？(1)若平面内点P在线段AB的垂直平分线上,则PA=PB;(2)若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等,则这两个三角形全等；(3)若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方.解：(1)pq，所以p是q的充分条件.(2)pq，所以p不是q的充分条件.(3)pq，所以p是q的充分条件.C1ABCABC1111例2.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？(1)若四边形为平行四边形,则此四边形的两组对角分别相等；(2)若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；(3)若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形
7、；解：(1)这是一条平行四边形的性质定理,pq,所以q是p的必要条件.(2)这是一条相似三角形的性质定理,pq,所以q是p的必要条件.(3)如图1.4-1,四边形ABCD的对角线互相垂直，但它不是菱形,pq,所以q不是p的必要条件.ABCD1212例2.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？解：(4)显然,pq,所以q是p的必要条件.(5)20=30,但23,pq,所以q不是p的必要条件.pq,所以q不是p的必要条件.(4)若x=1,则x2=1;(5)若ac=bc,则a=b;(6)若xy为无理数,则x,y都是无理数.(6)由于 是无理数,但1,不全是无理数,12=221
8、3133.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？(1)若直线l与O有且仅有一个交点，则l为O的一条切线;(2)若x是无理数，则x2也是无理数.解：(1)这是圆的切线定义,pq,所以q是p的必要条件.(2)由于 是无理数，但 不是无理数，pq,所以q不是p的必要条件.22(2)214144.如图，直线a与b被直线l所截，分别得到了1，2，3和4.请根据这些信息，写出几个“a/b”的充分条件和必要条件.解：a/b 的充分条件：abl1234 a/b的必要条件：1=2，1=4.1+3=180o.1=2，1=4.1+3=180o.15三、充分条件、必要条件与集合的关系三、充分条件、必要条件与集合的关系(1)若pq,则p是q的充分条件.PQPQPPQP(2)若pq,则p是q的必要条件.QPxPxQxQxP若pq,且pq,则p是q的充分不必要条件.P QPQPQ若pq,且pq,则p是q的必要不充分条件.Q P(Q)(Q)16165.若p:-2x5,q:0 x3.则p是q的什么条件？解：QP,pq 且pq.所以p是q的必要不充分条件.xPQ035-2
