1、6.2等差数列及其前n项和,-2-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,自测点评,1.等差数列(1)定义:一般地,如果一个数列从起,每一项与它的前一项的等于,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的,公差通常用字母d表示.数学语言表示为(nN*),d为常数.(2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是,其中A叫做a,b的.(3)等差数列的通项公式:an=,可推广为an=.,第2项,差,同一个常数,公差,an+1-an=d,等差中项,a1+(n-1)d,am+(n-m)d,-3-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,2.等差数列及其前n项和的性质(1)若m+n=p+q
2、,则(m,n,p,qN*);m+n=2p,则am+an=2ap(m,n,pN*).(2)若an是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)是公差为的等差数列.(3)若an,bn是等差数列,p,qR,则pan+qbn也是等差数列.(4)设Sn是等差数列an的前n项和,则数列也是数列.(5)若等差数列an的前n项和为Sn,则S2n-1=(2n-1)an.(6)若n为偶数,则 ;若n为奇数,则S奇-S偶=a中(中间项).,am+an=ap+aq,md,等差,-4-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,3.等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系(1)an=a1+(
3、n-1)d可化为an=dn+a1-d的形式.当d0时,an是关于n的一次函数;当d0时,数列为递增数列;当d0,d0,则Sn存在最值.,大,小,2,-6-,知识梳理,双基自测,3,4,1,5,自测点评,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”.(1)若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列. ()(2)已知数列an的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列an一定是等差数列. ()(3)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数. ()(4)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*,都有2an+1=an+an+2. ()(5)等差数列a
4、n的单调性是由公差d决定的. ()(6)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数. (),答案,-7-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,2.(2017浙江,6)已知等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,则“d0”是“S4+S62S5”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件,答案,解析,-8-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,3.(2017辽宁抚顺重点校一模)在等差数列an中,a3+a6=11,a5+a8=39,则公差d为()A.-14B.-7C.7D.14,答案,解析,-9-,知识梳理,双基自测,自测点评,2
5、,3,4,1,5,4.已知an为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=6,a3+a5=0,则S6=.,答案,-10-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,答案,解析,5.(教材例题改编P16例7)在100以内(包括100)的正整数中有个能被6整除的数.,-11-,知识梳理,双基自测,自测点评,1.用等差数列的定义判断数列是否为等差数列,要注意定义中的三个关键词:“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”.2.等差数列与函数的区别:当公差d0时,等差数列的通项公式是n的一次函数;当公差d=0时,an为常数.3.公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数,且常数项为0
6、.4.等差数列的前n项和公式有两种表达形式,要根据题目给出的条件判断使用哪一种表达形式.,-12-,考点1,考点2,考点3,考点4,例1(1)在等差数列an中,a4=2,且a1+a2+a10=65,则公差d的值是()A.4B.3C.1D.2(2)设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m等于()A.3B.4C.5D.6思考求等差数列基本量的一般方法是什么?,答案,-13-,考点1,考点2,考点3,考点4,解析: (1)在等差数列an中,a4=2,且a1+a2+a10=65,公差d的值是3.故选B.(2)(方法一)由已知得,am=Sm-Sm-1=2,am+1=
7、Sm+1-Sm=3,数列an为等差数列,d=am+1-am=1,m0,a1=-2,又am=a1+(m-1)d=2,解得m=5.,-14-,考点1,考点2,考点3,考点4,-15-,考点1,考点2,考点3,考点4,-16-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得1.等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.2.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,已知其中三个就能求出另外两个,体现了用方程组解决问题的思想.3.减少运算量的设元的技巧,若三个数成等差数列,可设这三个数为a-d,a,a+d;若四个数成等差数列
8、,可设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d.,-17-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练1(1)已知等差数列an前9项的和为27,a10=8,则a100=()A.100B.99C.98D.97(2)设Sn为等差数列an的前n项和,a12=-8,S9=-9,则S16=.,答案,-18-,考点1,考点2,考点3,考点4,-19-,考点1,考点2,考点3,考点4,-20-,考点1,考点2,考点3,考点4,例2数列an满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.(1)设bn=an+1-an,证明bn是等差数列;(2)求an的通项公式.思考判断一个数列为等差数列的基本方法有哪
9、些?,-21-,考点1,考点2,考点3,考点4,(1)证明 由an+2=2an+1-an+2得an+2-an+1=an+1-an+2,即bn+1=bn+2.又b1=a2-a1=1,所以bn是首项为1,公差为2的等差数列.(2)解 由(1)得bn=1+2(n-1)=2n-1,即an+1-an=2n-1.所以an+1-a1=n2,即an+1=n2+a1.又a1=1,所以an的通项公式为an=n2-2n+2.,-22-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得1.等差数列的四种判断方法(1)定义法:an+1-an=d(d是常数)?an是等差数列.(2)等差中项法:2an+1=an+an+2(nN*)
10、?an是等差数列.(3)通项公式:an=pn+q(p,q为常数)?an是等差数列.(4)前n项和公式:Sn=An2+Bn(A,B为常数)?an是等差数列.2.若证明一个数列不是等差数列,则只要证明存在连续三项不成等差数列即可.,-23-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练2设数列an的前n项和为Sn,且Sn=2n-1.数列bn满足b1=2,bn+1-2bn=8an.(1)求数列an的通项公式;,-24-,考点1,考点2,考点3,考点4,-25-,考点1,考点2,考点3,考点4,考向一等差数列项的性质的应用例3(1)(2017福建龙岩一模)在等差数列an中,a3,a7是函数f(x)=x2-
11、4x+3的两个零点,则an的前9项和等于()A.-18B.9C.18D.36(2)已知an是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+ =-3,S5=10,则a9的值是.思考利用等差数列项的性质解决问题时常用到什么思想方法?,答案,解析,-26-,考点1,考点2,考点3,考点4,考向二等差数列前n项和的性质的应用例4在等差数列an中,前m项的和为30,前2m项的和为100,则前3m项的和为.思考本例题应用什么性质求解比较简便?,答案,解析,-27-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得1.利用等差数列项的性质解决基本量的运算体现了整体求值思想,应用时常将an+am=2ap(m+n=2p,m,n,
12、pN*)与am+an=ap+aq(m+n=p+q,m,n,p,qN*)相结合,可减少运算量.2.在等差数列an中,依据题意应用其前n项和的性质解题能比较简便地求出结果,常用的性质有:在等差数列an中,数列,-28-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练3(1)已知等差数列an的前17项和S17=51,则a5-a7+a9-a11+a13等于()A.3B.6C.17D.51(2)已知等差数列an,bn的前n项和分(3)已知在等差数列an中,其前n项和为Sn,S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=.,答案,-29-,考点1,考点2,考点3,考点4,-30-,考点1,考点2,考点3,考点4,(
13、3)an为等差数列,S3,S6-S3,S9-S6成等差数列.2(S6-S3)=S3+(S9-S6).a7+a8+a9=S9-S6=2(S6-S3)-S3=2(36-9)-9=45.,-31-,考点1,考点2,考点3,考点4,例5在等差数列an中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时,Sn取得最大值,并求出它的最大值.思考求等差数列前n项和的最值有哪些方法?,-32-,考点1,考点2,考点3,考点4,-33-,考点1,考点2,考点3,考点4,nN*,当n=12或n=13时,Sn有最大值,且最大值为S12=S13=130.,又由S10=S15得a11+a12+a13+a
14、14+a15=0.5a13=0,即a13=0.当n=12或n=13时,Sn有最大值,且最大值为S12=S13=130.,-34-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得求等差数列前n项和Sn最值的两种方法:(1)函数法:将等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数)看做二次函数,根据二次函数的性质求最值.(2)邻项变号法:利用等差数列的单调性,求出其正负转折项,当利用性质求出其正负转折项,便可求得前n项和的最值.,-35-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练4(1)等差数列an的前n项和为Sn,已知a5+a7=4,a6+a8=-2,则当Sn取最大值时,n的值是()A.5B.6C
15、.7D.8(2)设数列an是公差d0的等差数列,Sn为前n项和,若S6=5a1+10d,则Sn取最大值时,n的值为()A.5B.6C.5或6 D.11,答案,解析,-36-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.等差数列的判断方法(1)定义法;(2)等差中项法;(3)利用通项公式判断;(4)利用前n项和公式判断.2.公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数,且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数,则该数列不是等差数列,它从第2项起成等差数列.3.方程思想和化归思想:在解有关等差数列的问题时,可以先考虑把已知条件都化归为a1和d等基本量的关系,再通过建立方程(组)求解.,-37-,考点1,考点2,考点3,考点4,注意利用“an-an-1=d”时加上条件“n2”;否则,当n=1时,a0无定义.,-38-,思想方法整体思想在等差数列中的应用整体思想,就是在研究和解决有关数学问题时,通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征,从而对问题进行整体处理的解题方法.从整体上去认识问题、思考问题,常常能化繁为简、变难为易,同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性.整体思想的主要表现形式有:整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等.在等差数列中,若要求的Sn所需要的条件未知或不易求出时,可以考
