1、1.4.1充分条件与必要条件第一章1.4充分条件与必要条件充分条件与必要条件一1、命题：用语言、符号或式子表达，可以判断真假的陈述句。真命题：判断为真的语句。假命题：判断为假的语句。形式：若p，则q或者如果p那么q。p为命题的条件，q为命题的结论。2、命题的分类原命题：一个命题的本身称之为原命题。若p，则q。逆命题：将原命题的条件和结论颠倒的新命题。若q，则p。否命题：将原命题的条件和结论全否定的新命题，但不改变条件和结论的顺序。若非p，则非q。逆否命题：将原命题的条件和结论颠倒，然后再将条件和结论全否定的新命题。若非q，则非p。3、命题的否定命题的否定是只将命题的结论否定的新命题，这与否命题
2、不同。4、4种命题及命题的否定的真假性关系命题原命题逆命题否命题逆否命题真假对应关系真真真真真假假真假真真假 假假假假注：逆命题和否命题互为逆否命题，互为逆否命题的两个命题真假相同。写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假(1)实数的平方是非负数；逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数真命题否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数真命题逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数真命题(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高真命题否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等真命题逆否命题：若两个三角形
3、不全等，则这两个三角形不等底或不等高假命题(3)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线真命题否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧真命题逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线真命题思考：下列“若P，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；（3）若 （4）若平面内两条直线a和b均垂直于直线l,则a/b。;1,0342xxx则真真真真
4、假假假假知识梳理充分条件与必要条件“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系p qpq条件关系p是q的 条件q是p的 条件p不是q的 条件q不是p的 条件定理关系判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件充分必要充分必要(1)前提pq，有方向，条件在前，结论在后.(2)若pq，则p是q的充分条件或q是p的必要条件.(3)“p是q的充分条件”，“q是p的必要条件”，“q的一个充分条件是p”，“p的一个必要条件是q”，说的是同一个意思.注意点：(1)指出下列哪些命题中p是q的充分条件？在ABC中，p：BC，q：ACAB；例1在ABC中，由大角对大边知
5、，BCACAB，所以p是q的充分条件.已知x，yR，p：x1，q：(x1)(x2)0；由x1(x1)(x2)0，故p是q的充分条件.已知xR，p：x1，q：x2.方法一由x1x2，所以p不是q的充分条件.方法二设集合Ax|x1，Bx|x2，所以BA，所以p不是q的充分条件.(2)指出下列哪些命题中q是p的必要条件？p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件.p：AB，q：ABA；因为pq，所以q是p的必要条件.p：ab，q：acbc.因为pq，所以q不是p的必要条件.充分、必要条件的判断方法(1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q
6、成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若pq为真，则p是q的充分条件，若qp为真，则p是q的必要条件.(2)也可利用集合的关系判断，如果条件甲“xA”，条件乙“xB”.若AB，则甲是乙的必要条件.反思感悟反思感悟跟踪训练1 分析下列各项中p与q的关系.(1)p：为锐角，q：45.由于qp，pq，故p是q的必要条件，q是p的充分条件.(2)p：(x1)(x2)0，q：x10.由于qp，pq，故p是q的必要条件，q是p的充分条件.问题观察下面几个命题，你能把它们变成“若p，则q”的形式吗？你能得到什么？(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；提示若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平
7、行四边形.(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；提示若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形.(3)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；提示若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形.(4)平行四边形的两组对边分别相等；提示若四边形是平行四边形，则四边形的两组对边分别相等.(5)平行四边形的一组对边平行且相等；提示若四边形是平行四边形，则四边形的一组对边平行且相等.(6)平行四边形的两条对角线互相平分.提示若四边形是平行四边形，则四边形的两条对角线互相平分.由此可见，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件，即使结论成立的条件并不唯一.
8、数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件，即所获得的结论也不唯一.充分条件与必要条件的应用二已知Ax|x满足条件p，Bx|x满足条件q，如果AB，p是q的充分条件.如果BA，p是q的必要条件.已知集合Px|2x4，Qx|3m2x5m2，mR.若P的充分条件为Q，求实数m的取值范围.例2由已知，P的充分条件为Q，则Q是P的子集.当3m25m2，即m2时，Q，满足题意，当3m25m2，即m2时，延伸探究已知集合Px|2x1，Qx|3m2x5m2，mR.若P的必要条件为Q，求实数m的取值范围.由题意得，P是Q的子集，充分条件与必要条件的应用技巧(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题.(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解.反思感悟反思感悟已知Px|a4xa4，Qx|1x3，“xP”是“xQ”的必要条件，则实数a的取值范围是_.跟踪训练2因为“xP”是“xQ”的必要条件，所以QP，1a5课堂小结1.知识清单：(1)充分条件、必要条件的概念.(2)充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系.(3)充分条件、必要条件的判断.(4)充分条件与必要条件的应用.2.方法归纳：等价转化.3.常见误区：充分条件、必要条件不唯一；求参数范围时能否取到端点值.
