1、2.2 基本不等式基本不等式 通过前面的学习，我们知道不等式有许多基通过前面的学习，我们知道不等式有许多基本性质本性质,同时还有一些显而易见的结论：同时还有一些显而易见的结论：220,0,a-b a-baaaa，0等，这些都是研究不等式问题的理论依据。在实这些都是研究不等式问题的理论依据。在实际应用中，我们还需要有相应的不等式原理。际应用中，我们还需要有相应的不等式原理。如图是在北京召开的第如图是在北京召开的第2424届届国际数学家大会的会标，会标是国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的。设计的。比较比较4 4个直角三角形的面个直角三角形的面
2、积和与大正方形的面积积和与大正方形的面积,有什么有什么结论？结论？在正方形在正方形ABCDABCD中有中有4 4个全等的直角三角形个全等的直角三角形.设直角三角形的直角边长为设直角三角形的直角边长为a,ba,b那么正方形的边长为那么正方形的边长为22ba 正方形面积为正方形面积为a a2 2+b+b2 2,4 4个的直角三角形的面积和个的直角三角形的面积和 ，正方形面积大于正方形面积大于4 4个的直角三角形的面积和？个的直角三角形的面积和？a a2 2+b+b2 22ab.2ab.当直角三角形变为等腰直角三角形，当直角三角形变为等腰直角三角形，即即a=ba=b时，小正方形缩为一个点时，有时，小
3、正方形缩为一个点时，有 a a2 2+b+b2 2=2ab=2ab；一般的，如果一般的，如果 a,b R,a,b R,那么那么 a a2 2+b+b2 22ab.2ab.当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立时，等号成立.特别地特别地,如果如果a0,b0,a0,b0,用用,ab分别代替分别代替a,b,a,b,得得aba+b2a+b2通常上式写成通常上式写成(,0).2ababao b当且仅当当且仅当a=ba=b时取等号时取等号.基本不等式基本不等式 abba2(0,0).ab要证要证：只要证只要证：要证要证，只要证，只要证要证要证，只要证，只要证abba2abba202abba0)(2ba式
4、显然成立式显然成立.当且仅当当且仅当a=b时，时，中的等号成立中的等号成立.分析法：执果索因分析法：执果索因.如图所示：如图所示：ABAB是圆的直径是圆的直径,点点C C是是ABAB上一点上一点,AC=a,AC=a,BC=b.BC=b.过点过点C C作垂直于作垂直于ABAB的弦的弦DEDE，连接，连接ADAD、BD.BD.表示圆的半径，表示圆的半径，2ba 表示半弦长表示半弦长CD,CD,ab得到不等关系：得到不等关系：(0,0)2ababab几何意义：几何意义：半弦长不大于半径长。半弦长不大于半径长。1 1）我们称）我们称 为正数为正数a,b a,b 的算术平均数，称的算术平均数，称 为正数
5、为正数a,b a,b 的几何平均数的几何平均数,因而，此定理又可叙述为：因而，此定理又可叙述为：2abab2 2）a a2 2b b2 22ab 2ab 和和 成立的条件是不同的成立的条件是不同的:前者只要求前者只要求a,b a,b 都是实数，而后者要求都是实数，而后者要求a a，b b都是正数都是正数.2abab3 3）“当且仅当当且仅当”的含义：当的含义：当a=ba=b时，时，反之，仅当反之，仅当 时，时，a=b.a=b.abba 2abba 2两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.12;baab 122.aa设设a,ba,b为正数，证明下列
6、不等式成立：为正数，证明下列不等式成立：变式变式:已知已知a2,a2,求求 的最小值的最小值.22aa2 2xxxf2)(2)(2)求函数求函数 的最大值，及的最大值，及此时此时x x的值。的值。(1)(1)已知已知x 0,x 0,y0,xy=24,求求4x+6y4x+6y的最小值，的最小值，并说明此时并说明此时x,y的值的值 (当当x=6,y=4时时,最小值为最小值为48)48)(2)(2)已知已知a+b=4,求求y=2a+2b的最小值的最小值 (最小值为最小值为8)8)32 2.yxu11 (3)(3)已知已知x0,y0,且且x+2y=1,求求的最小值的最小值(1)(1)用篱笆围一个面积为
7、用篱笆围一个面积为100m100m2 2的矩形菜园，问的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？最短的篱笆是多少？解解：设矩形菜园的长为设矩形菜园的长为x x m,宽为宽为y y m，则则xy=100 xy=100，篱笆的长为篱笆的长为2 2（x+yx+y）m.由基本不等式由基本不等式 ,可得可得 xyyx 22 100,xy2(x+y)40.2(x+y)40.等号当且仅当等号当且仅当x=yx=y时成立，这时时成立，这时x=y=10 x=y=10 因此，这个矩形的长、宽为因此，这个矩形的长、宽为1010m时，所用篱笆
8、最时，所用篱笆最短，最短篱笆为短，最短篱笆为4040m.(2)(2)一段长为一段长为36m36m的篱笆围成一个矩形菜园，问的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？大面积是多少？解：解：设矩形菜园的长为设矩形菜园的长为x x m,宽为宽为y y m,则则 2(x+y)=36 2(x+y)=36，x+y=18,x+y=18,矩形菜园的面积为矩形菜园的面积为xy mxy m2 2,等号当且仅当等号当且仅当x=yx=y时成立，这时时成立，这时x=y=9.x=y=9.189,22xyxy可得可得由由xy81,xy
9、81,因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为9 9m时，菜园的时，菜园的面积最大，最大面积为面积最大，最大面积为8181m2 2.请看课本请看课本P48P48练习：第练习：第2 2题题2.2.用一段长为用一段长为30 m30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长形菜园，墙长18 m.18 m.当这个矩形的边长为多少时，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大菜园的面积最大?最大面积是多少最大面积是多少?例例4 4：某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为为4800m4800m3 3，深为，深为3m3m，如果池底每，如果池底每1m1m2 2的造价为的造价为150150元，元，池壁每池壁每1m1m2 2的造价为的造价为120120元，问怎样设计水池能使总造元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？价最低，最低总造价是多少元？学以致用：学以致用：学以致用：学以致用：学以致用：学以致用：
