1、2.3 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式二次函数与一元二次方程、不等式(1)(1)在初中，我们从一次函数的角度看一元二次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题.对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，是否也有这样的联系呢？先来看一个问题.问题 园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度是24m，围成的矩形区域的面积要大于20，则这个矩形的边长为多少米？设这个矩形的一条边长为x m，另一条边长为（12-x）m，由题意得：求得不等式的解集，就得到了问题的答案.花卉.120|,20)12xxxxx其中（.120|,020122x
2、xxxx整理得 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是其中a，b，c均为常数，a0,0022cbxaxcbxax或 下面，我们先考察一元二次不等式 与二次函数 之间的关系.在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元一次方程，一元一次不等式的思想方法.类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？如图2.3-1，在平面直角坐标系中画出二次函数 的图像，图像与x轴有两个交点.这两个交点的横坐标就是方程 的两个实数根 因此二次函数 的图像与x轴的两个交点是（2，0）和（10，0）.思考 020
3、122xx20122xxy20122xxy020122xx.10,221xx20122xxy从图2.-1可以看出，二次函数 的两个零点 将x轴分成三段.020122xx20122xxy10,221xx所以，一元二次不等式 的解集时是X的范围函数图像y的范围对应的不等式x02x10位于x轴下方y10位于x轴上方y0020122xx020122xx020122xx.102|xx因为 因此，当围成的矩形的一条边长x满足2x0，=0，0=00，所以它有两个实数根.解得0652 xx.3,221xx画出二次函数 的图像（图2.3-2），结合图像得不等式的解集为652xxy0652 xx.3,2|xxx或
4、解不含参数的一元二次方程例2 求不等式 的解集.01692 xx解：对于方程 ，因为=0，所以它有两个相等的实数根.解得01692 xx.3121 xx画出二次函数 的图像（图2.3-3），结合图像，得不等式的解集为1692xxy.31|xx01692 xx解不含参数的一元二次方程例3 求不等式 的解集.0322xx解：不等式可化为 ，因为=-800=0=000练习1.求下列不等式的解集：;03)(2)1(）（xx;1073)2(2 xx;044)3(2xx;041)4(2 xx;342)5(2xx.043)6(2 xx;32|)1(xxx或;3101|)2(xx;2|)3(xRxx且（4）;
5、231|)5(xxx或（6）R练习2.当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0？大于0？小于0？;263)1(2xxy;25)2(2xy.0331331;0331331;0331331,3310263)1(2yxyxxyxxxxx时，当时，或当时，或当，得令.055;055;05,5025)2(2yxyxxyxxx时，当时，或当时，当，得令;106)3(2xxy.12123)4(2xxy.011)3(106)3(22恒成立时，故当，yRxxxxy.02;020)2(312123)4(22yxyxxxxy时，当时，当，解：3.解关于x的不等式).1(01)1(2axaax;1,010)1(xxa即，则原不等式可化为若练习;11,0)1)(1(0)2(xaxxaxa或解得，则原不等式可化为若.11,0)1)(1(10)3(axxaxa解得，则原不等式可化为若;11|0 xaxxa或时，原不等式的解集为综上所述，当;1|0 xxa，原不等式的解集为当;11|10axxa，原不等式的解集为当小结作业习题2.3 第1题、第2题
