1、第一章第一章 统计案例统计案例 3.2.2奇 偶 性高一数学必修第一册 第三章 函数的概念与性质学习目标1.理解函数奇偶性的概念和性质；2.会判断简单函数的奇偶性；3.学会运用函数图象理解和研究函数的性质.4.核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算.一、引入新课现实生活中的“美”的事例xyO f(x)=x2 g(x)=2-|x|x -2-1 012 y 41014 x -2-1 012 y 01210 问题：1).对定义域中的每一个x，-x是否也在定义域内？2).f(x)与f(-x)的值有什么 关系？xyO22-2二、探究新知1.数学中的函数图象的“美”函数y=f(x)的图象关于 y轴对称1.
2、对定义域中的每一 个x，-x是也在定义域内2.都有 f(x)=f(-x)一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果 都有 且 f(-x)=f(x)，那么称函数y=f(x)是偶函数.,;xIxI 2.偶函数的概念：偶函数的图象关于y轴对称22()11f xx2()1f xx-1xyO O1 12 22 21 13 34 4-2-1xyO O1 12 20.010.010.020.02-2-30 xy123-1-2-1123-2-30 xy123-1-2-1123-2-3f(x)=x1()f xx观察下面两个函数的图象有什么特征？两个函数的图象关于原点成中心对称图形f(-3)=-3=0 xy123-
3、1-2-1123-2-3f(-x)-f(x)f(-1)=-1f(-2)=-2=x-x-f(1)=-f(2)-f(3)=x-2-1012f(x)=x-2-1012f(x)=x函数f(x)=x的变化情况1()f xx f(-3)=-f(3)f(-1)=-1=-f(1)f(-2)=-f(2)3210-2-3x1()f xx-113121213-11213函数 的变化情况1()f xxf(-x)-f(x)=0 xy123-1-2-1123-2-31函数y=f(x)的图象关于 原点对称1.对定义域中的每一 个x，-x是也在定义域内2.都有 f(x)=f(-x)一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果 都
4、有 且 f(-x)=-f(x)，那么称函数y=f(x)是奇函数.,;xIxI 3.奇函数的概念：如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.定义法:先看定义域是否关于原点对称,再看f(-x)与 f(x)的关系.,xIxI (即都有)4.函数的奇偶性：图象法:看图象是否关于原点或y轴对称.判定函数奇偶性基本方法:f(x)=0,xR说明：1).根据函数的奇偶性既奇又偶函数 非奇非偶函数偶函数奇函数函数可划分为四类:0 xy123-1-2-1123-2-3f(x)=0既是奇函数又是偶函数非奇非偶函数0 xy123-1-2-1123-2-3f(x)=3x+1 0 xy12
5、3-1-2-1123-2-3f(x)=x2+2x2).奇、偶函数定义的逆命题也成立，即 若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)有成立.若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)有成立.3).奇、偶函数性质：偶函数的定义域关于原点对称图象关于y轴对称奇函数的定义域关于原点对称图象关于原点对称.如果一个函数是偶函数,则它的图象关于y轴对称.y=x25.偶函数的性质特征反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数为偶函数.2()fxx1,2x,是偶函数吗?问题：不是性质：偶函数的定义域关于原点对称0 x123-1-2-3123456y解：y=x2性质：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相
6、反.(),1,f xx x 问题：是奇函数吗?解：性质：奇函数的定义域关于原点对称6.奇函数的性质特征不是0 xy123-1-2-1123-2f(x)=x性质：奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致.y=x30 三、巩固新知1.例6 判断下列函数的奇偶性:1(3)();f xxx1:.0()f xxxx x 函数的定义域为解,00,xx xxx x 因为都有且();(11)xxxxfxf x 1().f xxx 所以，函数为奇函数21(4)();f xx21().:0fx xxx解 函数的定义域为,00,xx xxx x 因为都有且221()()(;1)fxfxxx21().f xx所以，函数
7、为偶函数 三、巩固新知1.例6 判断下列函数的奇偶性:4(1)();f xx4):(.f xxR函数的定义域为解,x Rx R 因为都有且44);)()(fxfxxx4().f xx所以，函数为偶函数5(2)();f xx5):(.f xxR函数的定义域为解,xRxR 因为都有且55()();xfxfxx 5().f xx所以，函数为奇函数是偶函数是奇函数不是奇函数也不是偶函数非奇非偶函数非奇非偶函数既是奇函数也是偶函数2.变式:判断下列函数的奇偶性:2(1)()21,;f xxxR(2)();f xx x(3)()31;f xx 2(4)(),3,2,1,0,1,2;f xxx (5)()0
8、,1,1;f xx 1(6)()(1);1xf xxx是奇函数3.思考:3(1)().f xxx判断函数的奇偶性3()f xxx3(2)()()?.f xxxf xy右图是函数图象的 一部分,你能根据的奇偶性 画出它在 轴左边的图象吗(3)()?.yf x一般地，如果知道为偶(奇)函数，那么我们可以怎样简化对它 的研究()()0000().yf xxxxx一般地,如果知道，根据对称性，我们的任务“减半”，即只研究的性质，由，就可为偶(奇)对以知称 道函性的性质数xy123123-3-3-2-10-2-1 已知y=f(x)是R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2+2x-1,求函数f(x)的表达式
9、.又 y=f(x)是R上的奇函数4.能力提升:20,0,0,()21,xxxf xxx 解 设则：2()21,fxxx()(),fxf x 22()211,)(2)f xxxfxxx (0)0,f又2221,0()0,021,0 xxxf xxxxx(2).如图是奇函数y=f(x)图象的一部分,试画出函数在y轴左边的图象.xy05.变式:(1).证明函数 是奇函数.22,0(),0 xx xf xx x x 0,0,xx 设则证明：22()()(),fxx xx xf x 0,0,()(),xxfxf x 设则也有同理()f x函数是奇函数.2.数形结合的思想方法1.知识结构作业:课本P86 习题3.2 5题四、课堂小结函数奇偶性奇函数、偶函数奇函数、偶函数的性质奇函数、偶函数的图象特征
