1、4.2.14.2.1指数函数的概念指数函数的概念 上一章我们学习了函数的上一章我们学习了函数的概念概念和和基本性质基本性质，并通过对，并通过对幂幂函数函数的研究，进一步了解了研究一类函数的的研究，进一步了解了研究一类函数的过程过程和和方法方法。今。今天，我们继续来研究另一类很重要的基本初等函数天，我们继续来研究另一类很重要的基本初等函数指数指数函数函数。首先我们来看几个情境实例。首先我们来看几个情境实例。情境设置情境设置问题问题1 1 随着中国经济的高速增长，旅游人数不断增加，随着中国经济的高速增长，旅游人数不断增加，A A、B B两两个景区自个景区自 2001 2001年起采取了不同的应对措
2、施，年起采取了不同的应对措施，A A地提高了门票价地提高了门票价格，格，B B地则取消了门票地则取消了门票.下下 表给了表给了A A、B B两个景区两个景区2001201520012015年的年的游客人次及逐年增加量游客人次及逐年增加量.比较一下两地景区旅比较一下两地景区旅游人次的变化情况，你发游人次的变化情况，你发现了怎样的规律？现了怎样的规律？A A地区经营地比较平衡，地区经营地比较平衡，B B地区发展比较快地区发展比较快.为了便于观察，我们把表格中的数据画成图像：为了便于观察，我们把表格中的数据画成图像：020040060080010001200140020012002200320042
3、0052006200720082009201020112012201320142015游客人次对比图游客人次对比图A景区人次/万次B景区人次/万次B B景区的游客人次是非线性增长，景区的游客人次是非线性增长，年增加量越来越大，难从图像年增加量越来越大，难从图像和年增加量都难看出变化规律。和年增加量都难看出变化规律。观察图像和表格，可以发现：观察图像和表格，可以发现：A A景区的游客人次近似于直线上景区的游客人次近似于直线上升升(线性增长线性增长)，年增加量大致，年增加量大致相等相等(约为约为1010万人次万人次)；探究探究 我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得我们知道，年增加量是对
4、相邻两年的游客人次做减法得到的到的.那么能否通过对那么能否通过对B B景区每年的游客人次做其他运算来发现景区每年的游客人次做其他运算来发现规律呢？规律呢？尝试尝试 从从20022002年起，将年起，将B B景区每年的游客人次除以上一年的游客景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到人次，可以得到结论结论 结果表明，结果表明，B B景区的游客人次的年增长率都约为景区的游客人次的年增长率都约为1.11-1=0.111.11-1=0.11，是一个常数是一个常数.2002年游客人次2001年游客人次=2003年游客人次2002年游客人次=2015年游客人次2014年游客人次=总结总结 像这样，增
5、长率为常数的变化方式，称为指数增长像这样，增长率为常数的变化方式，称为指数增长.因此，因此，B B景区的游客人数近似于指数增长景区的游客人数近似于指数增长.即从即从20012001年起，每一年的游客年起，每一年的游客人次都是上一年的人次都是上一年的 1.1 1.1倍左右，增长量越来越多倍左右，增长量越来越多.x x年后，年后，B B景区游客人次是景区游客人次是20012001年的年的1.111.11x x倍倍.即即x x年后年后B B景区的景区的游客人次游客人次:,01.1xyx这是一个函数，其中指数这是一个函数，其中指数x x是自变量是自变量.问题问题2 2 当生物死亡后，它机体内原有的碳当
6、生物死亡后，它机体内原有的碳1414含量会按确定的比例含量会按确定的比例衰减（称为衰减率），大约每经过衰减（称为衰减率），大约每经过57305730年衰减为原来的一半，这年衰减为原来的一半，这个时间称为个时间称为“半衰期半衰期”。追问追问1 1:该情境中有何变量关系？该情境中有何变量关系？追问追问2 2:将衰减率设为将衰减率设为p p，把刚死亡的生物体内碳，把刚死亡的生物体内碳1414含量看成含量看成1 1个个单位，完成表格单位，完成表格追问追问3 3:若若死亡的生物体内碳死亡的生物体内碳1414含量含量记为记为y y，死亡年数记为，死亡年数记为x x，那么，那么试写出死亡生物体内碳试写出死亡
7、生物体内碳1414含量与死亡年数间的关系式。含量与死亡年数间的关系式。死亡年数死亡年数1 1年年2 2年年3 3年年57305730年年碳碳1414含量含量 当生物死亡后，它机体内原有的碳当生物死亡后，它机体内原有的碳1414含量会按确定的比例衰含量会按确定的比例衰减（称为衰减率），大约每经过减（称为衰减率），大约每经过57305730年衰减为原来的一半，这个年衰减为原来的一半，这个时间称为时间称为“半衰期半衰期”。p 自变量在指数位置上自变量在指数位置上p 底数是一个大于底数是一个大于0 0且不等于且不等于1 1的常量的常量.0 0,x x2 21 1)与与y y0 0，(x x1 1.1
8、1函函数数y yx x5 57 73 30 01 1x x观察与思考：观察与思考：请同学类比于幂函数概念，说出请同学类比于幂函数概念，说出这两个式子这两个式子有什么特征？有什么特征？你你能否用一个式子反映这些特征？能否用一个式子反映这些特征？一、指数函数的定义：一、指数函数的定义：概念生成概念生成一般地一般地,函数函数)10(aaayx且其中其中x x是自变量，函数定义域是是自变量，函数定义域是R R。叫做叫做指数函数指数函数。中中，对对x x有有要要求求吗吗？a a追追问问1 1：在在y yx x中中，对对a a有有要要求求吗吗？a a追追问问2 2：在在y yx x追问追问3 3：观察指数
9、函：观察指数函数的解析式有什么特点数的解析式有什么特点?xay1幂的系数为幂的系数为1 1底数底数a a为为正数正数且不为且不为1 1自变量自变量x x的系数为的系数为1 1，仅，仅有这一种形式有这一种形式求求a a的的值值是是指指数数函函数数,3 3)a a3 3a a(a a练练习习：函函数数y yx x2 2解：依题意，可知解：依题意，可知 ，得得:101332aaaa1021aaaa或2a3)的值。3)的值。求f(求f(图象过点（3，图象过点（3，），），例1.已知指数函数的例1.已知指数函数的分析：分析：已知函数类型用待定系数法已知函数类型用待定系数法4.2.24.2.2指数函数的图
10、象和性质指数函数的图象和性质 下面我们类比研究下面我们类比研究幂函数性质幂函数性质的的过程过程与与方法方法，进一步研究，进一步研究指数函数指数函数.华罗庚曾说过，华罗庚曾说过，“数缺形时少直观，形缺数时难入数缺形时少直观，形缺数时难入微微”，下面我们尝试画出指数函数的图象，然后借助图象研究，下面我们尝试画出指数函数的图象，然后借助图象研究指数函数的性质，指数函数的性质，那通常研究函数的哪几个性质？那通常研究函数的哪几个性质？1.1.定义域定义域 2.2.值域值域 3.3.单调性单调性 4.4.奇偶性奇偶性等等开始。开始。2 2我们先从简单的函数y我们先从简单的函数yx x-2-1011224的
11、图象。的图象。2 2点法画出函数y点法画出函数yy的对应值表，并用描y的对应值表，并用描请同学们完成x,请同学们完成x,x x数数的的图图象象进进行行观观察察。画画出出更更多多的的具具体体指指数数函函的的性性质质，我我们们还还需需要要1 1且且a a0 0,a aa a为为了了得得到到指指数数函函数数y yx x的图象。的图象。2 21 1画出函数y画出函数y请同学在同一坐标系里请同学在同一坐标系里x x图象有何关系？图象有何关系？的图象，观察两个函数的图象，观察两个函数2 21 1与y与y2 2请同学们比较函数y请同学们比较函数yx xx x这两个函数图象关于这两个函数图象关于y y轴对称，
12、那它们是偶函数吗？轴对称，那它们是偶函数吗？)x xx x3 31 1和和y y3 3。（如如：y y相相应应的的指指数数函函数数的的图图象象系系内内画画出出的的值值，在在同同一一直直角角坐坐标标选选取取底底数数的的若若干干个个不不同同xy3xy31 x-2.5-2-1-0.500.5122.50.060.10.30.611.73915.615.6931.710.60.30.10.06xy3xy31 x-2.5-2-1-0.500.5122.50.060.10.30.611.73915.615.6931.710.60.30.10.06这两个函数图象也是关于这两个函数图象也是关于y y轴对称的。
13、轴对称的。的图象关于y轴对称。的图象关于y轴对称。a a1 1和y和ya a函数y函数yx xx x归纳：归纳：进一步：进一步：称。称。x)的图象关于y轴对x)的图象关于y轴对f(f(f(x)和yf(x)和y两个函数y两个函数y 这两组的函数图象都关于这两组的函数图象都关于y y轴对称轴对称,你想明白为什么了吗？你想明白为什么了吗？值值域域和和性性质质。的的1 1且且a a0 0,a aa a概概括括出出指指数数函函数数y y有有哪哪些些共共性性？由由此此尝尝试试趋趋势势，它它们们的的位位置置、公公共共点点和和变变化化请请同同学学们们观观察察这这些些图图象象x x一般地，指数函数的图象和性质如
14、下表所示：一般地，指数函数的图象和性质如下表所示：补充：补充：（1 1）当）当0a10a1时时1;1;0时，y0时，yx x1.1.y y0时，00时，0 x x（2 2）当）当0a10a0 x0时，函数时，函数 的值总大于的值总大于1 1，则实数，则实数a a的的取值范围取值范围 。xaxf)1()(222，,2 22 2,32.57.11.7例例3.3.比较下列各数的大小。比较下列各数的大小。328.08.0 2.03.01.33.03235.23.02.049.0,7.138.0,8.021.7,7.11，在R上是增函数在R上是增函数,1.71.7解：（1）构造函数y解：（1）构造函数y
15、x x在R上是减函数在R上是减函数,0.50.5（2）构造函数y（2）构造函数yx x比较指数式大小的类型及处理方法：比较指数式大小的类型及处理方法：(1)(1)底数相同，指数不同底数相同，指数不同：利用：利用指数函数指数函数的的单调性来单调性来判断判断.(2)(2)底数不同，指数相同底数不同，指数相同：利用：利用幂函数幂函数的的单调性来判断单调性来判断.(3)(3)底数不同，指数不同底数不同，指数不同：通过：通过中间量中间量来比较来比较.构造函数，利用函数的单调性解决。构造函数，利用函数的单调性解决。，求x的取值范围.，求x的取值范围.1 1且a且a0,0,a aa a2.已知a2.已知a2
16、;2;2 21 11.解不等式1.解不等式小练2小练26 6x x1 13x3xx x1 13x3x2 2例例4.4.说明下列函数的图象与指数函数说明下列函数的图象与指数函数y=2y=2x x的图象的关系，并画出的图象的关系，并画出他们的图象他们的图象:y=2 y=2x+1x+1 y=2 y=2x-2x-2将将y=2y=2x x的图象的图象向左平向左平移一个单位，就得到移一个单位，就得到y=2y=2x+1x+1的图象的图象将将y=2y=2x x的图象的图象向右平向右平移两个单位，就得到移两个单位，就得到y=2y=2x-2x-2的图象的图象41232x013-1-2y思考题思考题:怎样由怎样由y
17、=2y=2x x的图象得到的图象得到y=1+2y=1+2x x的图象。的图象。12xy22xyxy2一般两个方案：一般两个方案：1.1.描点法描点法2.2.平移法平移法呢？呢？2 2y y和和2 2y y1 1x x1 1x x1 1.当函数当函数 的图象与的图象与x x轴有交点时，轴有交点时，m m的取的取值范围是值范围是 。|1|()2xf xm。则a的取值范围是则a的取值范围是有两个公共点,有两个公共点,1)的图象1)的图象0且a0且a1(a1(a1 1-a a2a与函数y2a与函数y2.若直线y2.若直线yx x练一下练一下例例5.5.求求下列函数的定义域和值域：下列函数的定义域和值域
18、：213)1(xyxy32)2(31 3xy 2 2x xx x1 1y yO,O,y yy y,1,00,1,0 xxy2234,20,1例例6：1.求函数求函数 的值域。的值域。11()()1,3,242xxyx 2.2.若函数若函数 在区间在区间-1-1，11上上 的最大值为的最大值为1414，求实数，求实数a a的值。的值。2()21(0,1)xxf xaaaa分析：分析：整体代换整体代换转化转化成二次函数问题。成二次函数问题。例例7 7：1.1.求函数求函数 的值域与单调增区间。的值域与单调增区间。2 22 2x xx x2 2y y 2分析：分析：这是复合函数问题。这是复合函数问题
19、。我们把形如我们把形如y=fy=fg(x)g(x)的函数称为复合函数。的函数称为复合函数。若设若设t=g(x)t=g(x),则则y=f(t)y=f(t)。我们称我们称t=g(x)t=g(x)为为内层函数内层函数，y=f(t)y=f(t)外层函数外层函数复合函数的单调性法则：复合函数的单调性法则：同增异减。同增异减。的单调区间。的单调区间。3 31 1(2).求函数y(2).求函数y的单调区间。的单调区间。3 31 1练：(1).求函数y练：(1).求函数y2 22 2x x3 3-x xx x322x例例8.8.截止到截止到19991999年底，我国人口约年底，我国人口约1313亿。如果今后能
20、将亿。如果今后能将人口年平均增长率控制在人口年平均增长率控制在1%1%，那么经过，那么经过2020年后，我国人年后，我国人口最多为多少（精确到亿）？口最多为多少（精确到亿）？常见的指数增长模型常见的指数增长模型：设原有量为设原有量为N N，每次的增长率为，每次的增长率为p p，经过，经过x x次增长，该次增长，该量增长到量增长到y y，则，则y=y=。一种指数型函数。一种指数型函数。的函数是的函数是1 1a a0,0,a a0;0;k kR,R,k kkaka形如y形如yx x Nxx xp p1 1N N小小 结：结：函数函数)10(aaayx且叫做叫做指数函数指数函数，其中，其中x x是自变量，函数定义域是是自变量，函数定义域是R R。1.1.指数函数的定义：指数函数的定义：2.2.指数函数的的图象和性质：指数函数的的图象和性质：
