1、INNOVATIVE DESIGN 第三章 3.3幂函数自主梳理/索引1.幂函数的概念幂函数的概念点睛一般地，一般地，函数函数_叫做叫做幂函数，其中幂函数，其中x是自变量，是自变量，是常数是常数.yx幂函数的特征：幂函数的特征：x的系数为的系数为1；x的底数是自变量；的底数是自变量；x的指数为常数，的指数为常数，只有同时满足这三个条件，才是幂函数只有同时满足这三个条件，才是幂函数.形如形如y(2x)；y2x3，yx2b等等函数都不是幂函数函数都不是幂函数.索引2.幂函数的图象和性质幂函数的图象和性质(1)五个幂函数的图象：五个幂函数的图象：索引(2)幂函数的性质：幂函数的性质：幂函数幂函数yx
2、yx2yx3yyx1定义域定义域_ _值域值域R0，)R0，)y|yR，且，且y0奇偶性奇偶性_单调性单调性_x0，)，_x(，0，_x(0，)，_x(，0)，_公共点公共点都经过都经过点点_RRR0，)(，0)(0，)奇奇偶偶奇奇非奇非偶非奇非偶奇奇增增增增减减增增增增减减减减(1，1)索引点睛课堂互动题型剖析2/索引题型一与幂函数的概念有关的问题【例【例1】(1)在函数在函数yx2，y2x2，y(x1)2，y3x中，幂函数的个数为中，幂函数的个数为()A.0 B.1 C.2 D.3(2)若若f(x)(m24m4)xm是幂函数，则是幂函数，则m_.解析解析(1)根据幂函数定义可知，只有根据幂
3、函数定义可知，只有yx2是幂函数，所以选是幂函数，所以选B.(2)因为因为f(x)是幂函数，所以是幂函数，所以m24m41，即即m24m50，解得解得m5或或m1.B5或或1索引判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为yx(为常数为常数)的形式，需的形式，需满足：满足：指数为常数，指数为常数，底数为自变量，底数为自变量，x系数为系数为1.形如形如y(3x)，y2x，yx5形式的函数都不是幂函数形式的函数都不是幂函数.反过来，若一个函数为幂函数，则该函数反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式也必具有这一形式.思维升华索引16A/索引题
4、型二幂函数的图象及其应用题型二幂函数的图象及其应用B索引C索引解决幂函数图象问题应把握的两个原则解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂的指数大小，相关结论为：依据图象高低判断幂的指数大小，相关结论为：在在(0，1)上，幂的指数越大，幂函数图象越靠近上，幂的指数越大，幂函数图象越靠近x轴轴(简记为指大图低简记为指大图低)；在在(1，)上，幂的指数越大，幂函数图象越远离上，幂的指数越大，幂函数图象越远离x轴轴(简记为指大图高简记为指大图高).思维升华索引【训练【训练2】(1)如图是幂函数如图是幂函数yxm与与yxn在第一象限内的图象，则在第一象限内的图象，则()A.1n0m1B
5、.n1，0m1C.1n1D.n1B索引C/索引【例【例3】比较下列各组数中两个数的大小：比较下列各组数中两个数的大小：题型三利用幂函数的性质比较大小题型三利用幂函数的性质比较大小索引【训练【训练3】比较下列各组数的大小：比较下列各组数的大小：(2)yx3是是R上的增函数，且上的增函数，且3.14，3.1433./索引(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；题型四幂函数性质的综合应用题型四幂函数性质的综合应用解解m2mm(m1)，mN*，m与与m1中必定有一个为偶数，中必定有一个为偶数，该函数的定义域为该函数的定义域为
6、0，)，由幂函数的性质，该函数在定义域上单调递增由幂函数的性质，该函数在定义域上单调递增.索引索引【训练【训练4】已知幂函数已知幂函数yf(x)x2m2m3，其中，其中mx|2x0，幂函数在，幂函数在0，)上有意义，且是增函数上有意义，且是增函数.(3)如果如果0，幂函数在，幂函数在x0处无意义，在处无意义，在(0，)上是减函数上是减函数.课堂小结分层训练素养提升3必做题组/索引1213140708091011010203040506151617一、基础达标一、基础达标1.下列函数中，既是偶函数，又在区间下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，)上单调递增的函数是上单调递增的函数是()C解析解析
7、由于由于yx1和和yx都是奇函数，故都是奇函数，故B，D不合题意不合题意.索引1213140708091011010203040506151617B索引12131407080910110102030405061516173.如图所示，曲线如图所示，曲线C1与与C2分别是函数分别是函数yxm和和yxn在第一象限内的图象，则下列在第一象限内的图象，则下列结论正确的是结论正确的是()AA.nm0B.mnm0D.mn0解析解析由图象可知，两函数在第一象限内递减，故由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m0，n0.由幂函数图由幂函数图象的特点知象的特点知nm，故，故nm0时，幂函数时，幂函数yxn是增函
8、数是增函数D.当当n0时，时，y0；当；当x0或或y0，故幂函数的图象不可能在第四象，故幂函数的图象不可能在第四象限内，故限内，故A正确；正确；当当n0时，时，yxn中中x0，故其图象是去掉点，故其图象是去掉点(0，1)的一条直线，故的一条直线，故B错误；错误；yx2在在(，0)上是减函数，在上是减函数，在(0，)上是增函数，故上是增函数，故C错误；错误；幂函数幂函数yxn，当，当n2.5，则，则的取值范围是的取值范围是_.解析解析因为因为02.42.5，所以所以yx在在(0，)上为减函数上为减函数.故故0，在，在(，0)上是增上是增函数，所以三个性质中有两个正确，符合条件；同理可判断函数，所
9、以三个性质中有两个正确，符合条件；同理可判断中函数中函数不符合条件不符合条件.索引12131407080910110102030405061516179.已知函数已知函数f(x)(m22m)xm2m1，m为何值时，函数为何值时，函数f(x)是：是：(1)正比例函数；正比例函数；(2)反比例函数；反比例函数；(3)幂函数幂函数.索引1213140708091011010203040506151617解解设设f(x)x，g(x)x.由图象知，当由图象知，当x(，0)(1，)时，时，f(x)g(x)；当当x1时，时，f(x)g(x)；当；当x(0，1)时，时，f(x)g(x).索引121314070
10、8091011010203040506151617C二、能力提升二、能力提升索引1213140708091011010203040506151617ABC索引121314070809101101020304050615161713.已知幂函数已知幂函数f(x)(m1)2xm24m2在在(0，)上单调递增，函数上单调递增，函数g(x)2xk.(1)求求m的值；的值；(2)当当x1，2时，记时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合的值域分别为集合A，B，若，若ABA，求实数求实数k的取值范围的取值范围.解解(1)依题意，得依题意，得(m1)21，解得，解得m0或或m2.当当m2时，时，f(x)x2
11、在在(0，)上单调递减，与题设矛盾，舍去，上单调递减，与题设矛盾，舍去，m0.(2)由由(1)可知可知f(x)x2.当当x1，2时，时，f(x)，g(x)单调递增单调递增，A1，4，B2k，4k.ABA，B A，实数实数k的取值范围是的取值范围是0，1.索引1213140708091011010203040506151617A三、创新拓展三、创新拓展备做题组/索引1213140708091011010203040506151617A15.幂函数幂函数f(x)xm2(mN)在在(0，)上是减函数，且上是减函数，且f(x)f(x)，则，则m可能等可能等于于()A.0 B.1 C.2 D.0或或1解
12、析解析因为因为f(x)xm2(mN)在在(0，)上是减函数，所以上是减函数，所以m20，故，故m2.又因为又因为mN，所以，所以m0或或m1，当当m0时，时，f(x)x2，f(x)f(x)，符合题意；，符合题意；当当m1时，时，f(x)x1，f(x)f(x)，不符合题意，不符合题意.综上知，综上知，m0.索引1213140708091011010203040506151617A索引121314070809101101020304050615161717.已知幂函数已知幂函数f(x)x的图象过点的图象过点(2，4).(1)求函数求函数f(x)的解析式；的解析式；(2)设函数设函数h(x)4f(x)kx8在在5，8上是单调函数，求实数上是单调函数，求实数k的取值范围的取值范围.解解(1)幂函数幂函数f(x)x的图象过点的图象过点(2，4)，f(2)24，2，f(x)x2.(2)函数函数h(x)4f(x)kx8，k的取值范围为的取值范围为(，4064，).本节内容结束
