1、必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 第八节函数与方程第八节函数与方程必备知识 整合 关键能力 突破 学习要求学习要求:1.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.2.根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解.必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 必备知识 整合 1.函数零点的定义函数零点的定义(1)对于函数y=f(x),把使f(x)=
2、0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.(2)方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点.必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 2.函数零点的判定函数零点的判定(零点存在性定理零点存在性定理)一般地,如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)0)的图象与零点的关系的图象与零点的关系0=00)的图象与x轴的交点(x1,0),(x2,0)(x1,0)无交点零点个数两个一个无必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加，
3、做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 4.用二分法求函数用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤零点近似值的步骤第一步,确定区间a,b,验证f(a)f(b)0,给定精确度.第二步,求区间(a,b)的中点x1.第三步,计算f(x1):(i)若f(x1)=0,则x1就是函数的零点;(ii)若f(a)f(x1)0,则令b=x1(此时零点x0(a,x1);(iii)若f(x1)f(b)0,则令a=x1(此时零点x0(x1,b).第四步,判断是否达到精确度:若|a-b|,则得到零点近似值a(或b);否则,重复第二、三、四步.必备知识 整合 关键能力 突破
4、 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 知识拓展知识拓展(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.(2)图象连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.(3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.(4)在区间D上单调的函数在该区间内至多有一个零点.(5)若周期函数存在零点,则必有无穷个零点.必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 1.判断正误(正确的打“”,
5、错误的打“”).(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.()(2)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则f(a)f(b)0.()(3)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值.()(4)若函数f(x)在(a,b)上的图象是连续的,且函数f(x)在(a,b)上单调,且f(a)f(b)0,则函数f(x)在a,b上有且只有一个零点.()(5)对于任意的aR,函数f(x)=ex+a一定有零点.()(6)对于任意的aR,函数f(x)=lnx+a一定有零点.()必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点
6、一“这种简化标题 学科素养 提升 2.(2020湖北荆州中学高三模拟)函数f(x)=lnx+2x-6的零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)C必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 3.若函数f(x)=2ax2-x-1在(0,1)内恰有1个零点,则实数a的取值范围是()A.(-1,1)B.1,+)C.(1,+)D.(2,+)C必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养
7、提升 4.(2020浙江效实中学高三模拟)若函数f(x)=ax+1在区间(-1,1)上存在1个零点,则实数a的取值范围是.(-,-1)(1,+)5.函数f(x)=(x2-2)(x2-3x+2)的零点为.-,1,2226.函数f(x)=ex+x-2的零点有个.121必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 关键能力 突破 考点一函数零点所在区间的判断考点一函数零点所在区间的判断 典例典例1(1)设函数f(x)=x-lnx,则函数y=f(x)()A.在区间,(1,e)内均有零点B.在区间,(1,e)内均无零点C.在区间内有零点,在区间(1,e)内无零点D.在区间内无零点,在区间(1,e)内有
8、零点131,1e1,1e1,1e1,1eD必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 (2)已知函数y=的图象与函数y=x3的图象的交点坐标为(x0,y0),则x0所在的区间为()212xA.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)B必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 方法技巧方法技巧确定函数零点所在区间的方法(1)解方程法:当对应方程f(x)=0易解时,可先解方程,然后看求得的根是否落在给定区间上.(2)图象法:把方程转化为两个函数,看两个函数图象的交点所在区间.(3)利用函数零点存在性定理:首先看函数y=f(x)在区间(a,b)上的图象是否连续,再看是否有f(a
9、)f(b)0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(4)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点.必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 1.(2020河北冀州中学模拟)函数f(x)=lnx-的零点所在的区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)22xB解析解析易知f(x)=lnx-在定义域(0,+)上是增函数,因为f(1)=-20.所以根据零点存在性定理可知,函数f(x)=lnx-有唯一零点,且在区间(1,2)内.故选B.22x1222x必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 2.(2020山西忻州一中模拟)若a
10、bc,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间()A.(a,b)和(b,c)内B.(-,a)和(a,b)内C.(b,c)和(c,+)内D.(-,a)和(c,+)内A解析解析ab0,f(b)=(b-c)(b-a)0,由函数零点存在性定理可知,在区间(a,b),(b,c)内分别存在零点.又函数f(x)是二次函数,最多有两个零点,函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b),(b,c)内,故选A.必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 3.若x0是方程=的解,则x0属于区间()A.B.C.D.12x13x2,131 2,2 31
11、1,3 210,3C必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 解析解析令g(x)=,f(x)=,则g(0)=1f(0)=0,g=f=,x0.12x13x1212121213121313121313131312必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 考点二确定函数的零点考点二确定函数的零点角度一判断零点个数角度一判断零点个数典例典例2(1)函数f(x)=3sinx-lox的零点个数是()A.2B.3C.4D.5(2)若a满足x+lgx=4,b满足x+10 x=4,函数f(x)=则关于x的方程f(x)=x的解的个数是()A.1B.2C.3D.4212g2()2,0,2,0,xab x
12、xxDC必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 角度二求零点角度二求零点典例典例3已知函数f(x)=则f(x)的零点为()A.1,2B.1,-2C.2,-2D.1,2,-2123e1,2,1log,2,3xxxxA必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 方法技巧方法技巧确定零点个数的方法(1)直接求零点,令f(x)=0,有几个解就有几个零点.(2)零点存在性定理,要求函数f(x)在区间a,b上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)0时,由f(x)=0,即xlnx=0得lnx=0,解得x=1;当x0时,由f(x)=0,即x2-x-2=0,解得x=-1或x=2(舍去).综上,函数f(
13、x)的零点为1,-1.必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 考点三函数零点的应用考点三函数零点的应用 典例典例4(1)若函数f(x)=2x-a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是()A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)(2)若函数f(x)=(m-2)x2+mx+(2m+1)的两个零点分别在区间(-1,0)和区间(1,2)内,则m的取值范围是.2xC1 1,4 2必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 方法技巧方法技巧根据函数零点的情况求参数的三种常用方法(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的范围.(2)分
14、离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域的问题求解.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解.必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 1.已知函数f(x)=4x+a2x+1+4没有零点,则实数a的取值范围是.(-2,+)解析解析设2x=t(t0),则t2+2at+4=0在(0,+)上无解,分离参数得a=-,则-2,当且仅当=,即t=2时取等号,由题意可知,直线y=a与y=-的图象在(0,+)上没有交点,所以a-2.242tt 22tt22tt2t2t22tt必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 2.(1)m为何值时,函数f(x)
15、=x2+2mx+3m+4在(-1,3)上有两个零点.(2)m为何值时,函数f(x)=x2+2mx+3m+4有两个零点且均比-1大.必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 解析解析(1)m.(2)设f(x)的两个零点分别为x1,x2,由题意得m(-5,-1).13,(1)0,(3)0,0mff 231,12340,96340,44(34)0mmmmmmm 13,191,(1)0,0mf 21,12340,44(34)0mmmmm 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 微专题微专题利用图象优化函数零点的有关计算利用图象优化函数零点的有关计算函数零点问题是高考函数、导数考查的重点和
16、热点,要求学生掌握函数零点的定义,能将不同类型函数的零点与方程的解以及函数图象的交点建立联系,能对问题进行转化,能运用数形结合的数学思想正确解题,有时运用函数的图象来解决一些小题,往往可以避开烦琐的讨论与计算.学科素养 提升 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 典例典例1已知函数f(x)=|lgx|,若0ab,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是()A.(2,+)B.2,+)C.(3,+)D.3,+)22C必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 (1)此类问题如果f(x)的图象易于作出,可先作图以便于观察函数的特点.(2)本题有两个关键点,一个是引入辅助变量t,从而
17、用t表示出a,b,达到消元效果,但是要注意t是有范围的(通过数形结合y=t的图象与y=f(x)的图象有两个交点);一个是通过图象判断出a,b的范围,从而去掉绝对值.必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 典例典例2已知函数f(x)=(kR),若函数y=|f(x)|+k有三个零点,则实数k的取值范围是()A.k2B.-1k0C.-2k-1D.k-22,0,ln,0kxxx xD必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 (1)本题体现了三类问题之间的联系:函数的零点方程的根函数图象的交点,运用方程可进行等式的变形,进而构造函数进行数形结合,解决这类问题要选择合适的函数,以便于作图和求
18、出参数的取值范围.(2)本题所求k一方面决定f(x)左侧直线的倾斜角,另一方面决定水平线的位置与x轴的关系,所以在作图时要兼顾这两方面,进行数形结合.必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 典例典例3已知函数f(x)满足f(x)=f(3x),当x1,3)时,f(x)=lnx,若在区间1,9)内,函数g(x)=f(x)-ax有三个不同的零点,则实数a的取值范围是()A.B.C.D.ln3 1,3eln3 1,93eln3 1,92eln3 ln3,93B必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 (1)利用f(x)=f,求当x1,3)时,f(x)的解析式,及当x3,9)时,f(x)的
19、解析式.(2)参数a是直线y=ax的斜率,进行数形结合求a的取值范围.3x必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 1.已知f(x)是以2为周期的偶函数,当x0,1时,f(x)=,若在区间(-1,3)内,关于x的方程f(x)=kx+k(kR)有4个根,则k的取值范围是()A.0k或k=B.0kC.0k或k=D.0kx143614143614B必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 解析解析根据周期性和对称性可作出f(x)的图象,直线y=kx+k(kR)过定点(-1,0),结合图象,若(-1,3)内有四个交点,可知k.若直线y=kx+k与曲线y=f(x)在(2,3)上相切,联立方程
20、ky2-y+3k=0,令=0,得k=,当k=时,解得x=5(2,3).综上所述k.10,42,yxykxk363610,4必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 2.已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=则关于x的函数F(x)=f(x)-a(0a0时,函数图象由两部分构成,分别作出各部分图象.函数F(x)的零点即为方程f(x)-a=0的根,即y=f(x)的图象与直线y=a的交点.观察图象可得有5个交点,x1,x2关于直线x=-3对称,x1+x2=-6,x30,a1),若x1x2,且f(x1)=f(x2),则x1+x2的值()A.恒小于2B.恒大于2C.恒等于2D.与a相关log(1),11,(2)1,13axxfxax B必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 解析解析设f(x1)=f(x2)=t,不妨设-1x11x23,则-12-x21,loga(x1+1)=tx1=at-1,loga(3-x2)+a-1=tx2=3-at+1-a,x1+x2=2+at-at+1-a,若0a1,则y=ax为减函数,且tat+1-a,x1+x22,若a1,则y=ax为增函数,且tt+1-aatat+1-a,x1+x22,x1+x2的值恒大于2.
