1、2.2.1 双曲线及其标准方程 第二章 2.2 双曲线 1.掌握双曲线的定义. 2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程. 3.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决 相关问题. 学习 目标 栏目 索引 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习 知识点一 双曲线的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的 等于常数(小于|F1F2|) 的点的轨迹叫做 .这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点间的 距离叫做双曲线的 . 答案 差的绝对值 双曲线 焦点 焦距 知识点二 双曲线的标准方程 答案 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 _ _ _ _ 焦
2、点 F1_，F2_ F1_，F2_ 焦距 |F1F2|_ a、b、c的关系 c2_ x2 a2 y2 b21 (a0，b0) y2 a2 x2 b21 (a0，b0) (c,0) (c,0) (0，c) (0，c) 2c a2b2 思考 (1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于 |F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ 答案 当距离之差等于|F1F2|时，动点的轨迹就是两条射线，端点分别 是F1、F2，当距离之差大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在. (2)确定双曲线的标准方程需要知道哪些量？ 答案 a，b的值及焦点所在的位置. 答案 返回 题型探
3、究 重点突破 解析答案 题型一 求双曲线的标准方程 例1 根据下列条件，求双曲线的标准方程. (1)经过点 P(3，15 4 )，Q(16 3 ，5)； 解析答案 (2)c 6，经过点(5,2)，焦点在 x 轴上. 解 方法一 依题意可设双曲线方程为x 2 a2 y2 b21(a0，b0). 则有 a2b26， 25 a2 4 b21， 解得 a25， b21， 所求双曲线的标准方程为x 2 5 y21. 方法二 焦点在 x 轴上，c 6， 设所求双曲线方程为x 2 y2 61(其中 00)， 将点(4，2)和(2 6，2 2)代入方程得 16 a2 4 b21， 24 a2 8 b21， 解
4、得a28，b24， 所以双曲线的标准方程为x 2 8 y 2 4 1. 解析答案 题型二 双曲线定义的应用 例 2 若 F1，F2是双曲线x 2 9 y2 161 的两个焦点. (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点 的距离； (2)如图，若P是双曲线左支上的点，且|PF1| |PF2|32，试求F1PF2的 面积. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练2 已知双曲线 1的左、右焦点分别是F1、F2，若双曲线 上一点P使得F1PF260，求F1PF2的面积. x2 9 y2 16 解 由x 2 9 y2 161 得，a3，b4，c5. 由双曲线的定义和余弦定理得|PF
5、1|PF2|6， |F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60， 所以102(|PF1|PF2|)2|PF1| |PF2|， 所以|PF1| |PF2|64， 所以 1 2|PF1| |PF2| sinF1PF2 1 264 3 2 16 3. 12 F PF S 解析答案 题型三 与双曲线有关的轨迹问题 例3 如图，在ABC中，已知|AB| ，且三个内角A，B，C满足 2sin Asin C2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程. 4 2 反思与感悟 解析答案 跟踪训练3 如图所示，已知定圆F1：(x5)2y21，定圆F2：(x5)2 y242，动圆M与
6、定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程. 解 圆F1：(x5)2y21，圆心F1(5,0)，半径r11； 圆F2：(x5)2y242，圆心F2(5,0)，半径r24. 设动圆M的半径为R， |MF2|MF1|310|F1F2|. 点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支， 则有|MF1|R1，|MF2|R4， 且 a3 2，c5，于是 b 2c2a291 4 . 动圆圆心 M 的轨迹方程为x 2 9 4 y2 91 4 1(x3 2). 解析答案 返回 解后反思 例4 已知F1、F2是双曲线 1的左、右焦点，A是双曲线右支上的 动点. (1)若点M(5,1)，求|AM|AF2|的最小
7、值； (2)若点M(5，n)，求|AM|AF2|的最小值. 思想方法 数形结合思想的应用 x2 16 y2 9 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 1.已知F1(3,3)，F2(3,3)，动点P满足|PF1|PF2|4，则P点的轨迹是( ) A.双曲线 B.双曲线的一支 C.不存在 D.一条射线 解析 因为|PF1|PF2|4，且4|F1F2|， 由双曲线定义知，P点的轨迹是双曲线的一支. B 解析答案 1 2 3 4 5 2.若椭圆 x2 34 y2 n21 和双曲线 x2 n2 y2 161 有相同的焦点，则实数 n 的值是 ( ) A. 5 B. 3 C.5 D.9 解析 由题意知，
8、34n2n216， 2n218，n29. n3. B 1 2 3 4 5 解析答案 3.双曲线 x2 10 y2 2 1 的焦距为( ) A.3 2 B.4 2 C.3 3 D.4 3 解析 由标准方程得a210，b22， 所以 c2a2b212，c2 3， 所以焦距 2c4 3. D 解析答案 1 2 3 4 5 4.已知双曲线中a5，c7，则该双曲线的标准方程为 _. 解析 当焦点在 x 轴上时，方程为 x2 25 y2 241， 当焦点在 y 轴上时，方程为 y2 25 x2 241. x2 25 y2 241 或 y2 25 x2 241 解析答案 1 2 3 4 5 5.P是双曲线x2y216的左支上一点，F1、F2分别是左、右焦点， 则|PF1|PF2|_. 解析 将 x2y216 化为标准形式为 x2 16 y2 161， 所以a216,2a8， 因为P点在双曲线左支上， 所以|PF1|PF2|8. 8 课堂小结 返回 1.双曲线定义中|PF1|PF2|2a (2ab不一定成立.要注意与椭圆中a，b，c的 区别.在椭圆中a2b2c2，在双曲线中c2a2b2. 3.用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置， 设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组.如果焦点不确定要分类 讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2ny21 (mn0)的形式求解.
