1、北师大版高中数学必修五课件444.2简单线性规划1.1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；等基本概念；2.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题.二元一次不等式二元一次不等式Ax+By+C0Ax+By+C0在平面直角坐标系中表示在平面直角坐标系中表示_确定区域步骤：确定区域步骤：_、_若若C0C0，则，则_、_._.直线定界直线定界特殊点定域特殊点定域原点定域原点定域直线定界直线定界直线直线Ax+By+C=0
2、Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域某一侧所有点组成的平面区域.二元一次不等式表示的区域及判定方法：二元一次不等式表示的区域及判定方法：设设,x y满足以下条件满足以下条件 5630,3,1.xyyxy 求求2zxy的最小值和最大值。的最小值和最大值。可行域如图：可行域如图：yxo13yx1y 5630 xy讨论当点讨论当点(,)x y在整个坐标平面上变化时，在整个坐标平面上变化时，2zxy值的变化规律值的变化规律 直线直线 lo向上平移时，向上平移时，所所对应的对应的z随之增大：随之增大：直线直线 lo向下平移时，向下平移时，所所对应的对应的z随之减随之减小小.yxo2:24lxy1
3、:22lxy0:20lxy1:21 lxy2:23lxy 如图可得，把直线如图可得，把直线 lo向上平移过程中，向上平移过程中，直线与平面区域首先相交的顶点直线与平面区域首先相交的顶点1,13A（）所对应的所对应的z最小；最小；最后相交的顶点最后相交的顶点24,15B（）所对应的所对应的z最大最大 minmax1521;33245321.55 zz从而可得，yxo13yx1y 5630 xy0lABC与前面例题类似，如果两个变量与前面例题类似，如果两个变量x,y满足一组一次不等式，满足一组一次不等式，例如，求这两个变量的一个线性函数（例如例如，求这两个变量的一个线性函数（例如z=zx+y）的最
4、大值或最小值，那么我们就称这个线性函数为的最大值或最小值，那么我们就称这个线性函数为目标函目标函数，数，称一次不等式组为称一次不等式组为约束条件约束条件,像这样的问题叫作像这样的问题叫作二元二元线性规划问题线性规划问题.满足约束条件的解满足约束条件的解（x,y）叫叫可行解可行解,由所有可行解构成的集合，叫作由所有可行解构成的集合，叫作可行域可行域.使目标函数取得最大或最小值的可行解使目标函数取得最大或最小值的可行解,叫作叫作最优解最优解.例例 6 设设,x y满足满足约束约束条件条件 3,4,4312,4336.xyxyxy（1）求求目标函数目标函数23zxy的最小值的最小值与与最大值最大值；
5、（2）求目标函数求目标函数4324zxy 的最小值与的最小值与最大值；最大值；解解 （1 1）作出可行域（如图）作出可行域（如图阴影阴影部分部分）.令令0z，作直线，作直线:230lxy.当当把把直线直线l向下平移时，所对应的向下平移时，所对应的23zxy的函数值随之减小，的函数值随之减小，所以，当直线所以，当直线l经过可行域的顶点经过可行域的顶点 B B 时，时，23zxy取取得最小值得最小值.:230lxyyxo4336xy4y 4312xy3x ABCD4 42 2顶点顶点 B B 为直线为直线3x 与直线与直线4y 的交点，的交点，其坐标为其坐标为3,4；当当把把直线直线l向上平移时，
6、所对应的向上平移时，所对应的23zxy的函数值随之的函数值随之增增大，大，所以，当直线所以，当直线l经过可行域的顶点经过可行域的顶点 D D 时，时，23zxy取取得最大值得最大值.yxo4336xy4y 4312xy3x :230lxyABCD4 42 2顶点顶点 D D 为直线为直线4312xy与直线与直线4336xy的交点，的交点，解方程组解方程组 4312,4336.xyxy 可以求得顶点可以求得顶点 D D 的坐标为的坐标为3,8 此时，顶点此时，顶点3,4和顶点和顶点 D D3,8为最优解为最优解 所以所以 minmax2(3)3(4)18,2 33 830.zz yxo4336x
7、y4y 4312xy3x :230lxyABCD4 42 2 （）作出可行域（如图（）作出可行域（如图阴影部分阴影部分）.令令0z，作直线，作直线0:430lxy.把把直线直线0l向下平移时，所对应的向下平移时，所对应的43zxy 的函数值随之减小，的函数值随之减小，即即 z=z=-4x+3y4x+3y-2424的函数值随之减的函数值随之减小小。所以，当直线所以，当直线0l经过可行域的顶点时，经过可行域的顶点时，43zxy 取取得得最小值，即最小值，即4324 zxy取取得最小值得最小值.4y yxo4336xy1:4312lxy3x ABCD0:430lxy2 2顶点顶点 C C 为直线为直
8、线4336xy与直线与直线4y 的交点，的交点，解方程组解方程组 4,4336.yxy 可以求得顶点可以求得顶点 C C 的坐标为的坐标为12,4 min4123(4)2484z .yxo4336xy4y 1:4312lxy3x ABCD0:430lxy2 2代入目标函数代入目标函数z=-4x+3y-24,z=-4x+3y-24,得得由于直线由于直线0l平行于直线平行于直线4312xy，因此当把直线，因此当把直线0l向上平移到向上平移到1l时，时，1l与可行域的交点不止一个，而是线段与可行域的交点不止一个，而是线段 ADAD 上的所有点上的所有点.此时，此时，max122412.z yxo43
9、36xy4y 1:4312lxy3x ABCD0:430lxy2 2例例7 在约束条件在约束条件24,1,20.xyxyx下，求目标函数下，求目标函数3zxy的最小值和最大值的最小值和最大值.前面我们讨论了目标函数中前面我们讨论了目标函数中y y的系数大于的系数大于0 0的情况，的情况，现在我们讨论现在我们讨论y y的系数小于的系数小于0 0的情况的情况.解解 当当4,2,0,1,3z 时，可得到一组平行线时，可得到一组平行线 21012:34;:32;:30;:31;:33;lxylxylxylxylxy 由图可知，当直线由图可知，当直线0l向上平移时，所对应的向上平移时，所对应的z随之减小
10、，当直线随之减小，当直线0l向下平移时，向下平移时，所对应的所对应的z随之随之增增大大.yxo2:34 lxy1:32 lxy0:30lxy1:31lxy2:33lxy作出可行域作出可行域 可知，可知，3zxy随直线随直线0:30lxy向上平移而减小，随向上平移而减小，随0l向下平移向下平移而而增大增大，所以，在顶点，所以，在顶点 B B 取得最小值，在点取得最小值，在点 A A 取得最大值取得最大值.yxo24xy2 x1xyABC0l顶点顶点 B B 为直线为直线24xy与直线与直线20 x的交点，的交点，解方程组解方程组 24,20.xyx 可可求出求出顶点顶点 B B 的坐标为的坐标为
11、2,3,代入目标函数，即可得最小值代入目标函数，即可得最小值 min3239.z yxo24xy2 x1xyABC0l顶点顶点 A A 为直线为直线24xy与直线与直线1xy的交点，的交点，解方程组解方程组 24,1.xyxy 得到得到顶点顶点 A A 的坐标为的坐标为2,1,代入目标函数，即可得最代入目标函数，即可得最大大值值 max3 2 15.z yxo24xy2 x1xyABC0l目标函数的最大值和最小值总是在区域边界交点（顶点）处取得目标函数的最大值和最小值总是在区域边界交点（顶点）处取得.求求解实际应用问题时，只需求出区域边界的交点，再比较目标函数解实际应用问题时，只需求出区域边界
12、的交点，再比较目标函数 在交点处的函数值大小，根据问题需求选择所需结论在交点处的函数值大小，根据问题需求选择所需结论.解解 作出可行域（如图）作出可行域（如图）.可知可知z的最大值、最小值是在顶点的最大值、最小值是在顶点 A A、B B、C C、D D 处取得处取得.例例8 求求42zab在约束条件在约束条件 12,24.abab 下的最小值和最大值下的最小值和最大值.bo4ab2abABCa2ab1 ab420abD D由 1,2,abab 得1 3(,)2 2A;由 2,2,abab 得(2,0)B;由 2,4,abab 得(3,1)C;由 1,4,abab 得3 5(,)2 2D;bo4
13、ab2abABCa2ab1 ab420abD D计算这些顶点的目标函数值：计算这些顶点的目标函数值：13421;224 22 08;4 32 110;35421.22ABCDzzzz 比较得到，比较得到，maxmin10;1.CAzzzz bo4ab2abABCa2ab1 ab420abD D简单线性规划应用问题的求解步骤简单线性规划应用问题的求解步骤(1)(1)设：设：设出变量设出变量x x，y y，写出约束条件及目标函数，写出约束条件及目标函数(2)(2)作：作：作出可行域作出可行域(3)(3)移：移：作出一条直线作出一条直线l（一般可过原点）（一般可过原点），平移，平移l，找最优解，找最
14、优解(4)(4)解：解：联立方程组求最优解，并代入目标函数求出最值联立方程组求最优解，并代入目标函数求出最值(5)(5)答：答：写出答案写出答案1 1在在ABCABC中，三顶点中，三顶点A A(2,4)(2,4)，B B(1,2)1,2)，C C(1,0)(1,0)，点，点P P(x x，y y)在在ABCABC内部及边界内部及边界上上运动，则运动，则z zx xy y的最大值为的最大值为()A A1 1 B B3 3 C C1 1 D D3 3 解析：解析：点点P P在在ABCABC内部及其边界内部及其边界上上运动，可行域如下图所示运动，可行域如下图所示 在阴影部分交点在阴影部分交点C C(
15、1,0)(1,0)处，目标函数处，目标函数z zx xy y取得最大值，取得最大值，最大值为最大值为 1 1，故选，故选 A.A.答案：答案：A A2 2 已知已知 x xy y2020，x xy y4040，2 2x xy y50.50.求求z zx x2 2y y4 4 的最大值；的最大值；解析：解析：作出可行域如下图所示，并求出顶点的坐标作出可行域如下图所示，并求出顶点的坐标A A(1,3)(1,3)、B B(3,1)(3,1)、C C(7,9)(7,9)易知可行域内各点均在直线易知可行域内各点均在直线x x2 2y y4 40 0的上方，的上方，故故x x2 2y y4040，将，将C
16、 C(7,9)(7,9)代入代入z z得最大值为得最大值为21.21.3 3.已知已知x x，y y满足满足 x x4 4y y3 3，3 3x x5 5y y2525，x x1.1.设设 zax y(a0)，若当若当z z取最大值时对应的点有无数多个，取最大值时对应的点有无数多个，求求 a 的值的值 解析：解析：一般情况下，当一般情况下，当z z取最大值时，直线所经过的点都是取最大值时，直线所经过的点都是唯一的，但若直线平行于边界直线，如下图所示，即直线唯一的，但若直线平行于边界直线，如下图所示，即直线z zaxy y(a0)平行于直线平行于直线ACAC，则直线经过线段，则直线经过线段ACAC上任意一上任意一点时，点时，z z均取得最大值，即有无数多个点使函数取得最大值均取得最大值，即有无数多个点使函数取得最大值分析知当直线分析知当直线y yaxz刚好移动到直线刚好移动到直线ACAC时，将会有无数时，将会有无数多个点使多个点使z z取得最大值取得最大值又由于又由于k kACAC4.44.42 21 15 53 35 5，即即a35，a3 35 5.1 1线性规划问题的有关概念线性规划问题的有关概念;2.2.用图解法解线性规划问题的一般步骤用图解法解线性规划问题的一般步骤在艰苦奋斗的环境中锻炼出来的文人，总比生长在温暖逸乐的环境中的人要坚强伟大.郁达夫
