1、 微专题 83 特殊值法解决二项式展开系数问题 一、基础知识： 1、含变量的恒等式：是指无论变量在已知范围内取何值，均可使等式成立。所以通常可对变 量赋予特殊值得到一些特殊的等式或性质 2、二项式展开式与原二项式呈恒等关系，所以可通过对变量赋特殊值得到有关系数（或二项 式系数）的等式 3、常用赋值举例： （1）设 011222 n nnnrn rrnn nnnnn abC aC abC abC abC b ， 令1ab，可得： 01 2n n nnn CCC 令1,1ab ，可得： 0123 01 n n nnnnn CCCCC ，即： 02131nn nnnnnn CCCCCC （假设n为偶
2、数） ，再结合可得： 021311 2 nnn nnnnnn CCCCCC （2）设 2 012 21 n n n f xxaa xa xa x 令1x ，则有： 012 2 1 11 n n aaaaf ，即展开式系数和 令0x ，则有： 0 2010 n af，即常数项 令1x ，设n为偶数，则有： 0123 1 211 n n aaaaaf 02131 1 nn aaaaaaf ， 即偶次项系数和与奇次项系数和的差 由即可求出 02n aaa和 131n aaa 的值 二、典型例题： 例 1：已知 8 28 0128 31xaa xa xa x，则 1357 aaaa的值为_ 思路：观察
3、发现展开式中奇数项对应的x指数幂为奇数，所以考虑令1,1xx ，则偶数项 相同，奇数项相反，两式相减即可得到 1357 aaaa的值 解：令1x 可得： 8 018 2aaa 令1x 可得： 8 0128 4aaaa 可得： 88 1357 242 aaaa 88 1357 1 24 2 aaaa 答案： 88 1 24 2 例2 ： 已 知 9211 2 01211 12111xxaaxaxax， 则 1211 aaa的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 255 D. 2 思路：本题虽然恒等式左侧复杂，但仍然可通过对x赋予特殊值得到系数的关系式，观察所求 式子特点可令2x ，得到 0111
4、 0aaa，只需再求出 0 a即可。令1x 可得 0 2a ， 所以 1211 2aaa 答案：B 例 3：设 4 234 01234 22xaa xa xa xa x，则 22 02413 aaaaa的值为 （ ） A. 16 B. 16 C. 1 D. 1 思路：所求 22 024130123401234 aaaaaaaaaaaaaaa，在 恒 等 式 中 令1x 可 得 ： 4 01234 22aaaaa， 令1x 时 4 01234 22aaaaa，所以 44 22 02413 222216aaaaa 答案：A 例 4： 若 5 2345 012345 23xaa xa xa xa x
5、a x， 则 012345 aaaaaa 等于（ ） A. 5 5 B. 1 C. 5 2 D. 5 2 思路： 虽然 5 23x展开式的系数有正有负， 但 5 23x与 5 23x对应系数的绝对值相同， 且 5 23x均为正数。 所以只需计算 5 23x展开的系数和即可。 令1x ， 可得系数和为 5 5， 所以 5 012345 5aaaaaa 答案：A 例5：若 2014 2014 012014 12xaa xax，则 010202014 aaaaaa_ 思路： 所求表达式可变形为： 0012014 2013aaaa， 从而只需求出 0 a和系数和即可。 令0x 可 得 ： 0 1a ，
6、 令1x 可 得 ： 012014 1aaa， 所 以 0012014 2 0 1 32 0 1 4aaaa 答案：2014 例6 ： 若 262 2020 nn CCnN ， 且 2 012 2 n n n xaa xa xa x， 则 012 1 n n aaaa 等于（ ） A. 81 B. 27 C. 243 D. 729 思路：由 262 2020 nn CC 可得262nn或 26220nn，解得4n，所求表达 式只需令1x ，可得 4 4 0124 12181aaaa 答案：A 例7：若 2013 22013 0122013 21xaa xa xaxxR，则 232013 232
7、013 111 1 2222 aaa aaa （ ） A. 1 2013 B. 1 2013 C. 1 4026 D. 1 4026 思路：所求表达式中的项呈现 2 的指数幂递增的特点，与恒等式联系可发现令 1 2 x ，可得： 22013 01 22013 1 0 222 aa aa，令0x 可得： 0 1a ，所以 220131 22013 1 222 aaa ，所 以所求表达式变形为： 1 11 111 1 22 a aa ，而 2012 1 12013 214026a xCxx ，所以 1 4026a ，从而表达式的值为 1 4026 答案：D 例8：已知 2 01 111 n n n
8、 xxxaa xa x ，若 121 29 n aaan ，则n的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 思路：在恒等式中令1x 可得系数和 2 01 2 21 222 21 n n n aaa ，与条 件联系可考虑先求出 0,n a a， 令0x ， 可得 0 an， 展开式中 n a为最高次项系数， 所以1 n a ， 1 121 221 n n aaan ，所以 1 22129 n nn ，即 1 232 n ，解得 4n 答案：B 例 9：若 5 2345 012345 23xaa xa xa xa xa x，则 012345 2345aaaaaa 的值是（ ） A. 10
9、 B. 20 C. 233 D. 233 思路：观察所求式子中 i a项的系数刚好与二项展开式中 i a所在项的次数一致，可联想到幂函 数求导： 1nn xnx ，从而设 5 23f xx，恒等式两边求导再令1x 可解得 12345 2345aaaaa的值，再在原恒等式中令0x 计算出 0 a即可 解：设 5 2345 012345 23f xxaa xa xa xa xa x 4 234 12345 5 2322345fxxaa xa xa xa x 令1x 可得： 12345 102345aaaaa 而在 5 2345 012345 23xaa xa xa xa xa x中，令0x 可得：
10、 5 0 3243a 012345 2345233aaaaaa 答案：D 例 10：若等式 2014 22014 0122014 21xaa xa xax对于一切实数x都成立，则 0122014 111 232015 aaaa（ ） A. 1 4030 B. 1 2015 C. 2 2015 D. 0 思路：从所求表达式项的系数与展开式对应项联系起来可联想到在恒等式中两边同取不定积 分。例如： 2231 1122 111 , 231 nn nn a xa xa xa xa xa x n ，再利用赋值法令 1x 即可得到所求表达式的值 解： 2014 22014 0122014 21xaa xa
11、 xax，两边同取不定积分可得： 2015 232015 0122014 1111 21 4030232015 xCa xa xa xax 令1x 可得： 0122014 1111 4030232015 Caaaa 令0x 可得： 11 0 40304030 CC 0122014 1111 2320152015 aaaa 答案：B 小炼有话说： （1）本题可与例 9 作一个对照，都是对二项展开的恒等式进行等价变换。是求导还是取不定 积分是由所求表达式项的系数与展开式系数对照所确定的。 （2）在取不定积分时，本题有两个细节，一个是寻找 2014 21yx的原函数，要注意其原 函数求导时涉及复合函数求导，所以系数要进行调整。此类问题多是先猜函数的原型，再通 过对所猜函数求导后与已知比较，调整系数；第二个是在求原函数时，要注意添加常数“C”， 再利用赋值法求出C的值即可
