1、 微专题 90 取球问题 一、基础知识： 在很多随机变量的题目中，常以“取球”作为故事背景，通过对“取球”提出不同的要求，来 考察不同的模型，常见的模型及处理方式如下： 1、独立重复试验模型：关键词“可放回的抽取”，即下一次的取球试验与上一次的相同。 2、超几何分布模型：关键词“不放回的抽取” 3、与条件概率相关：此类问题通常包含一个抽球的规则，并一次次的抽取，要注意前一次的 结果对后一步抽球的影响 4、古典概型：要注意虽然题目中会说明“相同的”小球，但是为了能使用古典概型（保证基本 事件为等可能事件） ，通常要将“相同的”小球视为“不同的”元素，在利用排列组合知识进行分 子分母的计数。 5、
2、数字问题：在小球上标注数字，所涉及的问题与数字相关（奇，偶，最大，最小等） ，在 解决此类问题时，要将数字模型转化为“怎样取球”的问题，从而转化为前几个类型进行求解。 二、典型例题： 例 1：一袋中有 6 个黑球，4 个白球 （1）不放回地依次取出 3 个球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率 （2）有放回地依次取出 3 个球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率 （3）有放回的依次取出 3 个球，求取到白球个数X的分布列，期望和方差 （1）思路：因为是不放回的取球，所以后面取球的情况受到前面的影响，要使用条件概率相 关公式进行计算。第一次已经取到白球，所以剩下 6 个黑
3、球，3 个白球；若第二次取到黑球， 则第三次取到黑球的概率为 6 5 9 8 ，若第二次取到白球，则第三次取到黑球的概率为 3 6 9 8 ，从 而能够得到第三次取到黑球的概率 解：设事件A为“不放回取球，第一次取出白球时，第三次取到黑球” 6 53 6482 9 89 8723 P A （2）思路：因为是有放回的取球，所以每次取球的结果互不影响，属于独立重复试验模型， 所以第三次取球时依然是 6 个黑球，3 个白球，取得黑球的概率为 6 9 解：设事件B为“有放回取球，第一次取出白球时，第三次取到黑球” 2 3 P B （3）思路：本问依然属于独立重复试验模型，X的取值为0,1,2,3，则X
4、符合二项分布，即 2 3, 5 XB ，所以可通过二项分布的概率计算公式求得概率，得到分布列 解：X的取值为0,1,2,3，依题意可得： 2 3, 5 XB 3 0 3 327 0 5125 P XC 2 1 3 3254 1 55125 P XC 12 2 3 3236 2 55125 P XC 3 3 3 28 3 5125 P XC X 0 1 2 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 2 3, 5 XB 26 3 55 EX 231 8 3 552 5 DX 例 2：已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球，乙盒内有大小相同的 3 个红球和 3 个黑 球
5、，现从甲，乙两个盒内各任取 2 个球 （1）求取出的 4 个球中没有红球的概率 （2）求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率 （3）设为取出的 4 个球中红球的个数，求的分布列和数学期望 思路：本题这三问的关键在于所取球中红球的个数，考虑红球个数来自于两个盒内拿出红球 个数的总和，所以可将红球总数进行分配，从而得到每个盒中出红球的情况，进而计算出概 率 （1）设事件 i A为“甲盒中取出i个红球”，事件 j B为“乙盒中取出j个红球” 则 22 1333 22 46 , iijj ij C CC C P AP B CC 设事件A为“4 个球中没有红球” 则 0202 1333 00 22
6、46 331 6 1510 C CC C P AP AP B CC （2）设事件B为“4 个球中恰有 1 个红球” 02111102 13331333 0110 2222 4646 39332 6 156 155 C CC CC CC C P BP A BP AB CCCC （3）可取的值为0,1,2,3 1 0 10 PP A 2 1 5 PP B 02201111 13331333 0211 2222 4646 2 2 5 C CC CC CC C PP A BP AB CCCC 1102 1333 12 22 46 331 3 6 1510 C CC C PP AB CC 的分布列为：
7、0 1 2 3 P 1 10 2 5 2 5 1 10 12213 0123 1055102 E 例 3：甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分 别为2、3、4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左右手分别从甲、乙两 袋中取球 （1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率； （2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记成功取法次数 为随机变量X，求X的分布列和数学期望 解： （1）设事件A为“两只手中所取的球颜色不同”，则A为“两只手中所取的球颜色相同” 2 33 34 32 11 9 99 99 93 P
8、 AP A （2）X可取的值为0,1,2 左手取球成功的概率 222 234 1 2 9 5 18 CCC P C 右手取球成功的概率 222 333 2 2 9 1 4 CCC P C 5113 011 18424 P X 51517 111 1 841 841 8 P X 515 2 1 847 2 P X X的分布列为 X 0 1 2 P 13 24 7 18 5 72 137519 012 24187236 EX 例 4：袋中装有若干个质地均匀大小相同的红球和白球，白球数量是红球数量的两倍，每次从 袋中摸出一个球，然后放回，若累计 3 次摸到红球则停止摸球，否则继续摸球直到第 5 次摸
9、 球后结束 （1）求摸球四次就停止的事件发生的概率 （2）记摸到红球的次数为，求随机变量的分布列及其期望 （1）思路：本题为有放回摸球，可理解为独立重复试验，如果摸球四次就停止，说明在这四 次中一共摸到 3 次红球，且前三次有两次摸到红球，第四次又摸到红球。通过红白球数量关 系可知一次摸球中摸到红球的概率为 1 3 ，然后可按照分析列式并求出概率。 解：设事件A为“摸球四次即停止摸球“ 解：依题意可得：在一次摸球中，摸到红球的概率为 1 3 2 2 3 214 339 P AC （2）思路：可知可取的值为0,1,2,3，当0,1,2时，摸球是通过完成 5 次后停止，所以 可利用独立重复试验模型
10、计算概率；当3时，按照规则有可能摸球提前结束，所以要按摸 球的次数（3 次，4 次，5 次）分类讨论后再汇总 解：可取的值为0,1,2,3 5 232 0 3243 P 4 1 5 1280 1 33243 PC 23 2 5 1280 2 33243 PC 3222 22 34 11211215117 3 333333324381 PCC 的分布列为： 0 1 2 3 P 32 243 80 243 80 243 17 81 32808017131 0123 2432432438181 E 例 5：某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖抽奖箱中有大 小完全相同的 4
11、个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆”顾客从中任意取出 1 个球，记下上面 的字后放回箱中，再从中任取 1 个球，重复以上操作，最多取 4 次，并规定若取出“隆”字球， 则停止取球获奖规则如下：依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖；不分顺序取到 标有“生”“意”“兴”“隆”字的球，为二等奖；取到的 4 个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为 三等奖 （1）求分别获得一、二、三等奖的概率； （2）设摸球次数为，求的分布列和数学期望 解： （1）设 i A为“获得i等奖” 1 11111 4444256 P A 3 23 11115 1 4444256 P AA 12 334
12、 11119 444464 P ACA （2）摸球次数可取的值为1,2,3,4 1 1 4 P 3 13 2 4 416 P 3 3 19 3 4 4 464 P 3 3 327 4 4 4 464 P 的分布列为： 1 2 3 4 P 1 4 3 16 9 64 27 64 1392711 1234 41664644 E 例 6：学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 3 个白球，2 个黑球；乙箱子里面装 有 1 个白球，2 个黑球；这些球除了颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球，若摸出的白球不少于 2 个，则获奖（每次游戏后将球放回原箱） （1）求在一次游戏中
13、摸出 3 个白球的概率 获奖的概率 （2）求在三次游戏中获奖次数X的分布列与期望 （1）思路：本题的结果实质上是一个“拼球”的过程，即两个箱子各自拿球，然后统计白球的 个数。则：若摸出 3 个白球，则情况为甲 2 乙 1。：若获奖，则白球个数不少于 2 个，可 分成白球有 3 个或有 2 个两种情况，分别求出概率再求和即可 解：设 i A为“甲箱子里取出i个白球”， j B为“乙箱子里取出j个白球” 设事件A为“摸出 3 个白球” 211 312 21 21 53 1 5 CCC P AP A B CC 设事件B为“获奖”（即白球不少于 2 个） 111122 321232 112021 22
14、22 5353 17 510 CCC CCC P BP ABP A BP A B CCCC （2）思路：三次游戏可视为独立重复试验，所以获奖次数X服从二项分布，由（1）可得 7 3,10XB ，从而可利用公式计算概率，列出分布列 解：X可取的值为0,1,2,3，依题意可得： 7 3,10XB 3 0 3 327 0 101000 P XC 2 1 3 73189 1 10101000 P XC 2 2 3 73441 2 10101000 P XC 3 3 3 73 4 3 3 1 01 0 0 0 PXC X的分布列为： X 0 1 2 3 P 27 1000 189 1000 441 10
15、00 343 1000 7 3,10XB 721 3 1010 EX 例 7：一个袋子中装有 6 个红球和 4 个白球，假设袋子中的每一个球被摸到可能性是相等的。 （1）从袋子中任意摸出 3 个球，求摸出的球均为白球的概率； （2） 一次从袋子中任意摸出 3 个球， 若其中红球的个数多于白球的个数， 则称“摸球成功” （每 次操作完成后将球放回） ，某人连续摸了 3 次，记“摸球成功”的次数为，求的分布列和数 学期望。 （1）思路：此问可用古典概型解决，事件为“10 个球中任意摸出 3 个球”，则 3 10 nC ， 所求事件A为“均是白球”，则 3 4 n AC，从而 1 30 n A P
16、A n 解：设事件A为“3 个球均为白球“ 3 4 3 10 41 12030 C P A C （2）思路：按题目叙述可知对于摸 3 次球，由于是有放回的摸，所以相当于独立重复试验， 结合的含义可知服从二项分布。但“摸球成功”的概率还未知，所以先根据“摸球成功”的要 求利用古典概型计算出一次成功的概率，再通过二项分布的公式计算的分布列即可 解：设事件B为“一次摸球成功” 2130 6464 3 10 802 1203 CCCC P B C 的取值为0,1,2,3，依题意可得： 2 3, 3 B 3 0 3 11 0 327 PC 2 1 3 216 1 332 7 PC 21 2 3 2112
17、 2 3327 PC 3 3 3 28 3 327 PC 的分布列为： 0 1 2 3 P 1 27 2 9 4 9 8 27 1248 01232 279927 E 例 8：袋中装着标有数字 1,2,3,4 的小球各 3 个，从袋中任取 3 个小球，每个小球被取出的可 能性都相等. （1）求取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率； （2）用 X 表示取出的 3 个小球上所标的最大数字，求随机变量 X 的分布列和数学期望. （1）思路：本题的特点在于每个编号都有 3 个球，若将这 12 个球视为不同元素，则可利用 古典概型进行计算，设为“12 个球中任取 3 个”，则 3 12 nC ，事件
18、A为“三个球数字各 不相同”，则计数时第一步要先选出不同的三个编号，即 3 4 C，然后每个编号中都有 3 个小球可 供选择，即 111 333 CCC，所以 2 31 43 n ACC。进而可计算出 P A 解：设事件A为“三个球数字各不相同” 3 31 43 3 12 27 55 CC n A P A nC （2）思路：依题意可知X的取值为1,2,3,4，依然用古典概型解决，但要明确X取每个值时 所代表的情况：当1X 时，只能 3 个球均为 1 号球；当2X 时，说明至少有一个 2 号球， 其余的用 1 号球组成，即 32112 33333 CC CC C，或者使用间接法：从 1,2 号共
19、 6 个球中先随意 取三个，再减去不含 2 号球的情况，即 33 63 CC个，同理可得：3X 时，至少有一个 3 号 球，其余的球为 1,2 号球，所以由 36 93 CC个，4X 时，至少有一个 4 号球，其余的球为 1,2,3 号球，所以由 33 129 CC个，进而求得概率得到分布列 解：X的取值为1,2,3,4 3 3 3 12 1 1 220 C P X C 33 63 3 12 19 2 220 CC P X C 33 96 3 12 64 3 220 CC P X C 33 129 3 12 136 4 220 CC P X C X的分布列为： X 1 2 3 4 P 1 22
20、0 19 220 16 55 34 55 1191634775155 1234 220220555522044 EX 例 9：一个盒子中装有大小相同的小球n个，在小球上分别标有1,2,3,n的号码，已知从盒 子中随机的取出两个球，两球的号码最大值为n的概率为 1 4 ， （1）盒子中装有几个小球？ （2）现从盒子中随机的取出 4 个球，记所取 4 个球的号码中，连续自然数的个数的最大值为 随机变量（如取 2468 时，1；取 1246 时，2，取 1235 时，3） （1）思路：以两球号码最大值为n的概率为入手点，则该叙述等价于“取出一个n号球和一个 其它号码球的概率为 1 4 ，从而利用古典
21、概型列出关于n的方程并解出n 解：设事件A为“两球号码最大值为n” 1 1 2 11 4 n n C P A C 即 11 14 2 n n n 解得：8n （2）思路：由（1）可得小球的编号为1 8，结合所给的例子可知的取值为1,2,3,4，其概 率可用古典概型计算。1代表所取得数两两不相邻，可能的情况有1,3,5,7， 1,3,5,8 , 1,3,6,8 , 1,4,6,8 , 2,4,6,8共 5 种；2表示只有一对相邻的数或两对相邻的 数（两队相邻的数之间不再相邻） ；3表示有三个相邻的数，与另一个数不相邻；4表 示四个数均相邻，共 5 个。由于2包含情况较复杂，所以可以考虑算出其他情
22、况的概率再 用 1 减即可。 解：的取值为1,2,3,4 4 8 51 1 14 P C 4 8 4234202 3 707 P C 4 8 551 4 7014 P C 4 21134 7 PPPP 的分布列为： 1 2 3 4 P 1 14 4 7 2 7 1 14 142133 1234 14771414 E 例 10：袋中装有 35 个球，每个球上分别标有1 35的一个号码，设号码为n的球重 2 515 2 n n克，这些球等可能的从袋中被取出 （1）如果任取 1 球，试求其重量大于号码数的概率 （2）如果不放回任意取出 2 球，试求它们重量相等的概率 （3）如果取出一球，当它的重量大
23、于号码数，则放回，将拌均匀后重取；当它的重量小于号 码数时，则停止取球，按照以上规则，最多取球 3 次，设停止之前取球次数为，求的分布 列和期望 思路： （1）本题的球重与编号存在函数关系，要解得重量大于号码数的概率，先要判断出在 35 个球中，那些球的重量大于号码数，即解不等式 2 515 2 n nn，可解出66n 或 66n ，所以n的解集为1,2,3,9,10,11,35共 30 个数，所以取出球重量大于号码数 的概率为 306 357 解：设事件A为“取 1 球其重量大于号码数” 若球重量大于号码数，则 2 515 2 n nn 2 12300nn，解得：66n 或66n 135,n
24、nN n的取值集合为1,2,3,9,10,11,35，共 30 个元素 306 357 P A （2）思路：不妨设取出的球的编号为,m n，从而 22 515515 22 nm nm，可推得： 10mn，从而取出球的组合为 1,9 , 2,8 , 3,7 , 4,6共 4 组，所以概率为 2 35 4 C 解：设所取球的编号为,m n，依题意可得： 22 515515 22 nm nm 22 10100nmnmnmnm mn 10mn 取出球的组合为 1,9 , 2,8 , 3,7 , 4,6 设事件B为“取出 2 球重量相等” 2 35 44 595 P B C （3）思路：依题意可知：可取
25、的值为1,2,3，由（1）可知球重量大于号码的概率为 6 7 ，因 为是可放回的抽取，所以每次抽取为独立重复试验。当1时，可知取出的球重量小于号码 数；当2时，则第一次取出的球比号码数大，第二次取出的球比号码数小；当3时， 则前两次取出的球比号码数大（无论第三次如何都终止取球） ，从而求出概率得到分布列 解：可取的值为1,2,3，由（1）可知取出球重量大于号码的概率 6 7 P A 61 11 77 PP A 6 16 2 7 749 P 6 636 3 7 749 P 的分布列为： 1 2 3 P 1 7 6 49 36 49 1636127 123 7494949 E 三、历年好题精选 1
26、、 （2014，福建）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1000 位顾客进行 奖励，规定：每位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个 球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额 （1）若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元，其余 3 个均为 10 元，求： 顾客所获的奖励额为 60 元的概率； 顾客所获的奖励额的分布列及数学期望 （2）商场对奖励总额的预算是 60 000 元，并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元和 50 元的两种球组成，或标有面值 20 元和 40 元的两种球组成为了使顾客 得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾
27、客所获的奖励额相对均衡，请对 袋中的 4 个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由 2、 （2014，重庆）一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片，其中 4 张卡片上的数 字是 1，3 张卡片上的数字是 2，2 张卡片上的数字是 3.从盒中任取 3 张卡片 (1)求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率； (2)X表示所取 3 张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望 (注：若三个数, ,a b c满足abc，则称b为这三个数的中位数) 3、袋中共有 10 个大小相同的编号为 1,2,3 的球，其中 1 号球有 1 个，2 号球有 3 个，3 号球 有 6 个 （1）从袋中任意摸出 2
28、个球，求恰好是一个 2 号球和一个 3 号球的概率 （2）从袋中任意摸出 2 个球，记得到小球的编号数之和为，求随机变量的分布列和数学 期望 4、袋中装有标有数字 1,2,3,4,5 的小球各 2 个，现从袋中任意取出 3 个小球，假设每个小球被 取出的可能性都相等 （1）求取出的 3 个小球上的数字分别是 1,2,3 的概率 （2）求取出的 3 个小球上的数字恰有 2 个相同的概率 （3）用X表示取出的 3 个小球上的最大数字，求X的分布列 习题答案：习题答案： 1、解析： （1） 设顾客所获的奖励额为X 11 13 2 4 1 60 2 C C P X C （2）X可取的值为20,60 1
29、1 13 2 4 1 60 2 C C P X C 2 3 2 4 1 20 2 C P X C X的分布列为 X 20 60 P 0.5 0.5 所以顾客所获的奖励额的期望为40EX （2）每个顾客平均奖励额为 60000 60 1000 元，可知期望有可能达到60的只有方案 10,10,50,50或20,20,40,40，分别分析以下两种方案： 方案一：10,10,50,50，则 1 X的取值为20,60,100 1 2 4 11 20 6 P X C 11 22 1 2 4 2 60 3 CC P X C 1 2 4 11 100 6 P X C 1 121 206010060 636
30、EX 222 1 1211600 2060606010060 6363 DX 方案二：20,20,40,40，则 2 X的取值为40,60,80 2 2 4 11 40 6 P X C 11 22 2 2 4 2 60 3 CC P X C 2 2 4 11 80 6 P X C 2 121 40608060 636 EX 222 1 121400 406060608060 6363 DX 由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案 2 奖励额的方差比方案 1 的小，所以应该选择方案 2. 2、解析： （1）设事件A为“3 张卡片数字完全相同” 33 43 3 9 5 84 CC P A C
31、 （2）X可取的值为1,2,3 321 445 3 9 3417 1 8442 CC C P X C 112213 344363 3 9 43 2 84 C C CC CC P X C 21 27 3 9 71 3 8412 C C P X C X的分布列为： X 1 2 3 P 17 42 43 84 1 12 1743147 123 42841228 EX 3、解析： （1）设事件A为“一个 2 号球，一个 3 号球” 11 36 2 10 2 5 CC P A C （2）可取的值为3,4,5,6 1 3 2 10 11 3 15 C P C 21 36 2 10 11 4 5 CC P
32、C 11 36 2 10 2 5 5 C C P C 2 6 2 10 1 6 3 C P C 的分布列为： 3 4 5 6 P 1 15 1 5 2 5 1 3 1121 34565 15553 E 4、解析： （1）设事件A为“3 个小球上的数字分别是 1,2,3” 111 222 3 10 1 15 CCC P A C （2）设事件B为“3 个小球上的数字恰有 2 个相同” 11 58 3 10 1 3 C C P B C （3）X可取的值为2,3,4,5 121 222 3 10 4 2 120 CC C P X C 2112 2424 3 10 16 3 120 C CC C P X C 2112 2626 3 10 36 4 120 C CC C P X C 2112 2828 3 10 64 5 120 C CC C P X C X的分布列为： X 2 3 4 5 P 1 30 2 15 3 10 8 15 123813 2345 301510153 E
