1、圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 第二章第二章 2 抛抛 物物 线线 2.1 抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程 第二章第二章 课堂典例探究课堂典例探究 2 课课 时时 作作 业业 3 课前自主预习课前自主预习 1 课前自主预习课前自主预习 了解抛物线的定义、抛物线的标准方程及其 推导过程，能根据条件确定抛物线的标准方 程 经历抛物线标准方程的推导过程，对四种不 同形式方程加以对比，提高分析归纳能力. 1.平面内与一个定点F和一条定直线l(定点不 在定直线上) _的点的轨迹叫作抛物 线，_叫作抛物线的焦点， _叫作抛物线的准线 2同一条抛物线在坐标平面内的位置不同， 方程也不同，顶点在原点，以坐
2、标轴为对称 轴的抛物线有四种形式 请依据这四种抛物线的图形写出标准方程、 焦点坐标及准线方程 抛物线的定义及标准方程 定直线l 距离相等 定点F 图形 焦点 准线 方程 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ F(p 2，0) x p 2 y 22px(p0) F(p 2，0) x p 2 y 22px(p0) F(0，p 2) y p 2 x 22py(p0) F(0，p 2) y p 2 x 22py(p0) 1.抛物线定义中的定点 F 不在定直线 l 上，否则动点 M 的 轨迹不是抛物线，而是过点 F 与 l 垂直的一条直线 2抛物线定义的实质可归纳为“一动三定”，一个动点， 设
3、为 M；一个定点 F，即抛物线的焦点；一条定直线 l，即抛物 线的准线；一个定值，即点 M 与点 F 的距离和它到直线 l 的距 离之比等于 1. 3 抛物线的标准方程中一次项变量及其系数的符号决定抛 物线的开口方向，其焦点的非零坐标为一次项系数的1 4. 4抛物线标准方程四种形式的不同点与相同 点： 不同点： (1)焦点在x轴上时，方程的右边为2px，左 边为y2；焦点在y轴上时，方程的右边为 2py，左边为x2； (2)开口方向为x轴(或y轴)的正方向时，焦点 在x轴(或y轴)的正半轴上，方程右边取正号； 开口方向为x轴(或y轴)的负方向时，焦点在x 轴(或y轴)的负半轴上，方程右边取负号
4、 相同点： (1)抛物线的顶点都是原点； (2)焦点都在坐标轴上； (3)准线与焦点所在的轴垂直，垂足与焦点关于原点对称， 且它们到原点的距离的绝对值都等于一次项系数的1 4， 即 2p 4 p 2； (4)焦点到准线的距离均为 p. 5 过抛物线焦点的直线与抛物线相交， 被抛物线所截得的 线段，称为抛物线的焦点弦 6通过抛物线的焦点作垂直于坐标轴的直线交抛物线于 A、B 两点，线段 AB 称为抛物线的通径，通径|AB|的长等于 2p. 1.抛物线y24x的准线方程为( ) Ax2 Bx2 Cx1 Dx1 答案 C 解析 2p4，p2，p 21， 抛物线 y24x 的准线方程为 x1. 2(2
5、014 新疆乌鲁木齐地区诊断)抛物线 x21 2y 的焦点到 准线的距离是( ) A2 B1 C.1 2 D1 4 答案 D 解析 x21 2y，p 1 4，焦点到准线的距离为 1 4. 3(2015陕西文，3)已知抛物线y22px(p 0)的准线经过点(1,1)，则该抛物线焦点 坐标为( ) A(1,0) B(1,0) C(0，1) D(0,1) 答案 B 解析 由抛物线 y22px(p0)得准线 xp 2，因为准线 经过点(1,1)，所以 p2，所以抛物线焦点坐标为(1,0)，故答 案选 B. 4分别求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)准线方程为2y40，_. (2)过点(3,4)，
6、_. 答案 (1)x28y (2)y216 3 x 或 x29 4y 解析 (1)准线方程为 2y40，即 y2，故抛物线焦 点在 y 轴的正半轴上，设其方程为 x22py(p0)又p 22，所 以 2p8，故抛物线的标准方程为 x28y. (2)点(3,4)在第一象限， 设抛物线的标准方程为 y22px(p0)或 x22p1y(p10) 把点(3,4)的坐标分别代入 y22px 和 x22p1y，得 42 2p 3,322p1 4，即 2p16 3 ，2p19 4. 所求抛物线的标准方程为 y216 3 x 或 x29 4y. 课堂典例探究课堂典例探究 根据下列条件写出抛物线的标准方 程：
7、(1)经过点P(4，2)； (2)焦点在直线3x4y120上 分析 焦点是抛物线的定位条件，参数p 是抛物线的定形条件因此关键是确定焦点坐 标和p的值 待定系数法求抛物线的标准方程 解析 (1)P 在第四象限，抛物线开口向右或向下， 标准方程可以设为 y22px(p0)或 x22py(p0)，将 P(4， 2)点代入得 48p 或 164p，解得 p1 2或 p4. 所以抛物线方程为 y2x 或 x28y. (2)令 x0，得 y3；令 y0，得 x4， 抛物线焦点为(0，3)或(4,0)，当焦点为(0，3)时， p 2 3，p6，抛物线方程为 x212y. 当焦点为(4,0)时，p 24，p
8、8，抛物线方程为 y 216x. 方法规律总结 求抛物线标准方程的方法： 直接法：直接利用题中已知条件确定焦参 数p. 待定系数法：先设出抛物线的方程，再根 据题中条件，确定焦参数p. 当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物 线方程为y2mx或x2my. 已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准 方程的形式；已知抛物线过某点不能确定抛 物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的 图像及开口方向确定 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求 对应抛物线的准线方程： (1)过点(3,2)； (2)焦点在直线x2y40上 分析 从方程形式看，求抛物线的标准方程 仅需确定一个待定系数p；从实际分析，一般 需确
9、定p和开口方向，否则，应展开相应的讨 论 解析 (1)设所求的抛物线方程为 y22px(p0)或 x2 2py(p0)， 过点(3,2)， 42p(3)或 92p 2. p2 3或 p 9 4. 故所求的抛物线方程为 y24 3x 或 x 29 2y， 对应的准线方程分别为 x1 3，y 9 8. (2)令 x0 得 y2，令 y0 得 x4， 抛物线的焦点为(4,0)或(0，2) 当焦点为(4,0)时，p 24， p8，此时抛物线方程 y216x； 当焦点为(0，2)时，p 2|2|， p4，此时抛物线方程为 x28y. 故所求的抛物线的方程为 y216x 或 x28y，对应的准 线方程分别
10、是 x4，y2. 求抛物线的焦点及准线 已知抛物线的方程如下，分别求其 焦点和准线方程： (1)y26x；(2)2y25x0；(3)x ay2(a0) 解析 (1)2p6，p3.又开口向右， 焦点坐标是(3 2，0)，准线方程为 x 3 2. (2)将 2y25x0 变形为 y25 2x. 2p5 2，p 5 4，开口向左 焦点为(5 8，0)，准线方程为 x 5 8. (3)抛物线方程为 y21 ax，2p 1 |a|. 当 a0 时，p 2 1 4a，抛物线开口向右，焦点坐标为( 1 4a，0)， 准线方程为 x 1 4a；当 a0 或m0 时，准线方程为 xm 4 ，由条件知 1( m
11、4 )3，所以 m8. 此时抛物线方程为 y28x； 当 m0)， 抛物线过点(3，1)，(1)22p(3)， p1 6， 所求抛物线的标准方程为 y21 3x. 答案 错误略 抛物线方程为 y21 3x 或 x 29y 解析 上述解答错误主要是忽略了对抛物线焦点位置的 讨论因为若第三象限上的点在抛物线上，则抛物线的焦点可 能在 x 轴的负半轴上，也可能在 y 轴的负半轴上，需要按这两 种情况进行讨论正确解答如下： 点(3，1)在第三象限， 设所求抛物线的标准方程为 y22px 或 x2 2py(p0)， 若抛物线方程为 y22px，则由(1)22p(3)，解 得 p1 6； 若抛物线方程为 x22py，则由(3)22p(1)，解 得 p9 2. 所求抛物线的标准方程为 y21 3x 或 x 29y.
