1、专题专题 6 6轴对称之最短路径轴对称之最短路径 破解策略破解策略 用轴对称思想解决线段最值问题是常用的方法,本质是利用三角形三边关系解决问 题常见的题型有: 1已知:在直线l同恻有 AB两点,在l上找一点P,使得APPB最小 作法:如图作点A关于直线l的对称点A,连结AB,与直线,的交点就是点P 2已知:在直线l同侧有A,B两点,在l上找一点P,使得|APPB|最小 作法:如图,连结AB,作线段AB的垂甫平分线与直线l的交点就是点P 3已知:在直线l同侧有A,B两点,在l上找一点P使得|APPB|最大 作法:如图,连结BA并延长,与直线,的交点就是点P A B l B A P l A A B
2、 l A B l P A B l l A B P 4已知:在直线l同侧有A,B两点在l上找两点C,D(其中CD的长度固定,等于 所给线段d),使得ACCDDB最小, 作法:如图,先将点A向右平移口个单位长度到点A,作A关于直线l的对称点A“, 连结A“B,与直线l的交点就是点 D连结AD,过点A作ACAD,交直线l于点 C则 此时ACCDDB最小 5已知:在MON内有一点P,在边ON,OM上分别找点Q,R,使得PQQRRP最小 作法:如图,分别作点P关于射线OM的对称点P,P“,连结PP“,与射线ON, OM的交点就是点Q,R 6已知:在MON内有一点P,在边OM,ON上分别找点R,Q使得PR
3、QR最小 作法:如图,作点P关于射线OM的对称点P,作PQON,垂足为Q,PQ与射线ON的交 点就是R A B l a A“ A l B A CD O N M P P P P“ O N M R Q O N M P 7已知:在MON内有两点P,Q,在边OM,ON上分别找点R,S使得PRRSSQ最小 作法:如图,作点P关于射线OM的对称点P,作点Q关于射线ON的对称点Q,连 纳PQ与射线OM,ON的交点就是R,S 例题讲解例题讲解 例例 1 (1)如图 1,等边ABC中,AB2,E是AB的中点,AD是高,在AD上作出点P, 使BPEP的值最小,并求BPPE的最小值 (2) 如图 2, 已知O的直径
4、CD为 2,的度数为 60, 点B是的中点, 在直径CD AC AC 上作出点P,使BPAP的值最小,并求BPAP的最小值 (3)如图 3,点P是四边形ABCD内一点,BPm,ABC,分别在边AB,BC上作出 点M,N,使PMN的周长最小,并求出这个最小值(用含m,的代数式表示) B D C A B D C A P O E D CB A 图 1 图 2 图 3 解 P P Q O N M R P O N M Q P P Q O N M Q S R H N M F E P A C D B E P O A CD B A BC D E (1)(作法是:作点B关于AD的对称点,恰好与点C重合,连接CE
5、交AD于一点,这3 点就是所求的点P); (2)(作法是:作点B关于CD的对称点E,连接AE交CD于一点,这点就是所求的2 点P); (3)分别作点P关于边AB,BC的对称点E,F,连结EF,分别与边AB,BC交于点M,N, 线段EF的长度即为PMN的周长的最小值 如图,连结BE,BF, EBF2ABC2,BEBFBPm 过点B作BHEF于点H, 所以EBHEBF,EHFH 1 2 在 RtBEH中,sin, EH BE 所以EHBEsinmsin, 所以EF2msin, 即PMPNMNEF2msin 例例 2 如图,在平面直角坐标系xOy中,分别以点A(2,3),B(3,4)为圆心,以 1,
6、3 为半径作A,B,M,N分别是A,B上的动点,点P为x轴上的动点,求PMPN的最 小值 x y P M N B A O M A O A B N M P y x 解 如图,作A关于x轴的对称图形A,连结AB,与x轴交于点P,与A交点为M, 与B交点为N,连结PA,PA与A交点为M,则此时PAPB值最小,从而PMPN值也最 小,最小值为线段MN的长 如图,易得A(2,3),由两电间距离公式得AB5 2 故MN54,即PMPN54 22 例例 3 如图 1,等边ABC的边长为 6,AD,BE是两条边上的高,点O为其交点 P,N 分别是BE,BC上的动点 Q O N E P B D C AA C D
7、 B P E N O 图 1 图 2 (1)当PNPD的长度取得最小值时,求BP的长度; (2)如图 2,若点Q在线段BO上,BQ1,求QNNPPD的最小值 Q D A C D B P E N O Q D O N E P B D C A 图 3 图 4 解 (1)由等边三角形轴对称的性质可得,点D关于BE的对称点D在AB上,且为AB的 中点 如图 3,过点D作BC的垂线,垂足为N,DN交BE于点P,连结PD,则PD PD 此时DN的长度即为PNPD长度的最小值 显然DNAD,即点N为BD的中点 所以BNBC, 1 4 3 2 从而BP cos BN PBN 3 (2)如图 4,作点Q关于BC的
8、对称点Q,则BQ1,CBQ30 点D是点D关于BE的对称点,连接DQ,交BE于点P,交BC于点N 此时DQ即为QNNPPD的最小值 显然DBQ90, 所以DQ, 22 BDBQ10 即QNNPPD的最小值为 10 进阶训练进阶训练 1两平面镜OM,ON相交于点O,且OMON,一束光线从点A出发,经过平面镜反射后,恰 好经过点B,光线可以只经过平面镜OM反射后过点B,也可以只经过平面镜ON反射后过点 B除了这两种作法外,还有其他方法吗?如果有,请在图中画出光线的行进路线,保留作 图痕迹,并简要说明理由 A O B M N D C A B N M B O A 答案答案: 作点A关于OM的对称点A,
9、作点B关于ON 的对称点B,连接AB,与OM,ON分别交于 点D,C光线行进路线如图 2 (1)在A和B两地之间有一条河,现要在这条河上建一座桥CD,桥建在何处才能使从 A到B的路径最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河岸垂直) (2)如图 2,在A和B两地之间有两条河,现要在这两条河上各建一座桥,分别是MN和 PQ, 桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与 河岸垂直) 解:(1)如图,过点B作BB垂直于河岸,且使BB长度等于这条河宽,连接AB交河 的一岸于点C,过点C作CD垂直于河岸,与另一岸交点为D,则CD即为架桥最合适的位置 (2)如图,过点A作A
10、A垂直于距点A较近的河岸,且使AA长等于该河宽,同样,过点 B作BB垂直于距点B较近的河岸,且使BB长等于河宽,连接AB分别交两条河相邻 的河岸于点N, P, 过点N作NM垂直于该河河岸,与另一岸交点为M, 过P作PQ垂直于该 河河岸,与另一岸交点为Q, 则MN, PQ即为架桥最合适的位置 A B B A 图 1 图 2 D C B A B M Q P N A B B A 3 如图,直线分别与x轴, y轴交于点A, B,抛物线yx22x1 与y轴 3 3 4 yx 交于点 C 若点E在抛物线yx22x1 的对称轴上移动, 点F在直线AB上移动, 求CE EF的最小值 x y C B AO 提示:作点C关于对称轴x1 的对称点C, 则C(2,1) 过点C作CFAB于点 F, 且于对称轴交于点E, 此时FC 的长为CEEF的最小值 连接CB, CA, 作CK x轴于点K, 则SABCSABDS梯形CKOBSCKAABFC,解得FC, 则CE 14 5 EF的最小值是 14 5 x y x=1 E F K C C B AO