1、数学 第 1 页（共 6 页） 海淀区高三年级第二学期阶段性测试 数 学 2020 春 本试卷共 6 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作 答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 （1）在复平面内， 复数i(2i)对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 （2）已知集合 |03 Axx，AB 1 ， 则集合B可以是 （3）已知双曲线 2 2 2 1(0) y xb b
2、 的离心率为5， 则b的值为 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （4）已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示， 则下列式子中正确的是 （A）baca （B） 2 cab （C） cc ba （D）|b ca c （5）在 6 1 (2 )x x 的展开式中， 常数项为 （A）120 （B）120 （C）160 （D）160 （6） 如图， 半径为1的圆M与直线l相切于点A， 圆M沿着直线l滚动.当圆M滚动到圆 M 时， （A） 1 2 ， （B） 1 3 ， （C） 0 1 2 ， ， （D） 1 2 3 ， ， 数学 第 2 页（共 6 页） 俯视图俯视图 左视图左视图 主视图主视
3、图 1 1 2 2 圆 M 与直线l相切于点B， 点A运动到点 A ， 线段AB的长度为 3 2 ， 则点 M 到直线 BA 的距离为 （A）1 （B） 3 2 （C） 2 2 （D） 1 2 （7）已知函数( )|f xxm与函数( )g x的图象关于y轴对称.若( )g x在区间(1,2)内单调递 减，则m的取值范围为 （A） 1,) （B）(, 1 （C） 2,) （D）(, 2 （8）某四棱锥的三视图如图所示， 该四棱锥中最长棱的棱长为 （A）5 （B）2 2 （C）2 3 （D）13 （9）若数列 n a满足 1= 2 a， 则“p，r N， p rpr aa a ”是“ n a为等
4、比数列”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （10）形如 2 21 n （n是非负整数）的数称为费马数， 记为n F.数学家费马根据 0 F, 1 F, 2 F, 3 F, 4 F都是质数提出了猜想： 费马数都是质数.多年之后， 数学家欧拉计算出 5 F不是质数， 那 么 5 F的位数是 （参考数据：lg20.3010） （A）9 （B）10 （C）11 （D）12 第二部分（非选择题 共 110 分） 数学 第 3 页（共 6 页） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 （11）已知点(1,2)P在抛物线 2
5、:2C ypx上， 则抛物线C的准线方程为 . （12）在等差数列 n a中， 1 3a ， 25 16aa， 则数列 n a的前4项的和为 . （13）已知非零向量a，b满足|=|aab， 则 1 () 2 abb . （14）在ABC中，4 3AB ， 4 B ， 点D在边BC上， 2 3 ADC ，2CD ， 则AD ；ACD的面积为 . （15）如图，在等边三角形ABC中，6AB . 动点P从点A出发， 沿着此三角形三边逆时针运 动回到A点， 记P运动的路程为x，点P到此三角形中心O距离的平方为( )f x，给出下 列三个结论： 函数 ( )f x的最大值为12； 函数 ( )f x的
6、图象的对称轴方程为9x ； 关于x的方程 ( )3f xkx 最多有5个实数根. 其中，所有正确结论的序号是 . 注： 本题给出的结论中， 有多个符合题目要求。 全部选对得 5 分， 不选或有错选得 0 分， 其他得 3 分。 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 O B C A P 数学 第 4 页（共 6 页） （16） （本小题共 14 分） 如图，在三棱柱 111 ABCABC中， AB 平面 11 BBC C， 1 22ABBBBC， 1 3BC ， 点E为 11 AC的中点. （）求证： 1 C B 平面ABC； （）求二面角ABCE的大小
7、. （17）（本小题共 14 分） 已知函数 2 12 ( )2cossinf xxx （）求 (0)f 的值； （）从 1 1， 2 2； 1 1， 2 1这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件， 求函数 ( )f x在 2 , 6 上的最小值，并直接写出函数 ( )f x的一个周期. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分。 （18）（本小题共 14 分） E C A B 数学 第 5 页（共 6 页） 科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素， 也是推动经济实现高质量发 展的重要支撑， 而研发投入是科技创新的基本保障.下图是某公司从 2010 年到 2019 年这 10
8、 年研发投入的数据分布图： 其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值 （单位：十亿元）. （） 从 2010 年至 2019 年中随机选取一年， 求该年研发投入占当年总营收的百分比超过 10% 的概率； （） 从 2010 年至 2019 年中随机选取两个年份， 设 X 表示其中研发投入超过 500 亿元的年份 的个数， 求 X 的分布列和数学期望； （）根据图中的信息， 结合统计学知识， 判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并 说明理由. （19） （本小题共 15 分） 18 24 30 32 41 60 76 90 88 98 9.7% 11.6%
9、 13.5% 13.2% 14.2% 15.1% 14.6% 14.9% 14.7% 13.9% 0.0% 2.0% 4.0% 6.0% 8.0% 10.0% 12.0% 14.0% 16.0% 0 20 40 60 80 100 120 2010201120122013201420152016201720182019 研发投入 研发投入占营收 数学 第 6 页（共 6 页） 已知函数( )exf xax （）当1a 时， 求曲线( )yf x在点(0, (0)f处的切线方程； 求函数( )f x的最小值； （）求证：当( 2a ，0)时， 曲线( )yf x与1 lnyx 有且只有一个交点
10、（20） （本小题共 14 分） 已知椭圆 22 22 :1 xy C ab (0)ab的离心率为 3 2 ， 1( ,0)Aa， 2( ,0) A a，(0, )Bb， 12 A BA的面积为2. （）求椭圆C的方程； （）设M是椭圆C上一点， 且不与顶点重合， 若直线 1 A B与直线 2 A M交于点P， 直线 1 A M 与直线 2 A B交于点Q. 求证：BPQ为等腰三角形. （21） （本小题共 14 分） 已知数列 n a是由正整数组成的无穷数列. 若存在常数 * kN， 使得 212nnn aaka 对 任意的 * nN成立， 则称数列 n a具有性质( )k. （）分别判断下
11、列数列 n a是否具有性质(2)；(直接写出结论) 1 n a ； 2n n a . （） 若数列 n a满足 1n a (1,2,3,) n a n ， 求证：“数列 n a具有性质(2)”是 “数列 n a 为常数列”的充分必要条件； （）已知数列 n a中 1 1a ， 且 1 (1,2,3,) nn aa n .若数列 n a具有性质(4)， 求数列 n a的通项公式. 数学 第 7 页（共 6 页） 海淀区高三年级第海淀区高三年级第二二学期学期阶段性测试阶段性测试参考答案参考答案 数数 学学 2020 春春 阅卷须知阅卷须知: 1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分
12、数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、一、选择题共选择题共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4040 分分. . 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B D C C D C A B 二、填空题二、填空题: :本大题共本大题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2525 分分. . 题号 11 12 13 14 15 答案 1x 24 0 4 2，2 6 注：第 14 题第一空 3 分,第二空 2 分；第 15 题全部选对得 5 分，不选或有错选得分，其他 得 3 分。 三、解答题共 6 小题，共 8
13、5 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 （16）解： （）因为AB 平面 11 BBC C， 1 C B 平面 11 BBC C 所以 1 ABC B. 在 1 BCC中，1BC , 1 3BC , 1 2CC , 所以 222 11 BCBCCC. 所以 1 CBC B. 因为ABBCB, ,AB BC 平面ABC， 所以 1 C B 平面ABC. （）由（）知， 1 ABC B, 1 BCC B,ABBC , 如图,以B为原点建立空间直角坐标系B xyz . 0 数学 第 8 页（共 6 页） 则(0,0,0)B ， 1 (, 3,1) 2 E ， (1,0,0)C. (1,0,
14、0)BC ， 1 (, 3,1) 2 BE . 设平面BCE的法向量为( , , )x y zn， 则 0, 0. BC BE n n 即 0, 1 30. 2 x xyz 令3y 则0x ，3z , 所以(0, 3, 3)n. 又因为平面ABC的法向量为 (0,1,0)m ， 所以 1 cos, |2 m n m n m n . 由题知二面角ABCE为锐角，所以其大小为 3 . （17）解： （） 2 (0)2cos 0sin02f. （）选择条件. ( )f x的一个周期为. 2 ( )2cossin2f xxx (cos21)sin2xx 22 2(sin2cos2 )1 22 xx 2
15、sin 2)1 4 x （. 因为, 2 6 x ,所以 37 2 +, 4412 x . 所以 1sin 2)1 4 x （. 所以 12( )12f x . 数学 第 9 页（共 6 页） 当2= 42 x 时，即 3 = 8 x时， ( )f x在, 2 6 取得最小值12. 选择条件. ( )f x的一个周期为2. 2 ( )2cossinf xxx 2 2(1 sin)sinxx 2 117 2(sin) 48 x . 因为, 2 6 x ,所以 1 sin 1, 2 x . 所以 当sin =1x时，即 = 2 x时， ( )f x在, 2 6 取得最小值1. （18）解：（）设事
16、件 A 为“从 2010 年至 2019 年中随机选取一年，研发投入占当年总营 收的百分比超过 10%” ，从 2010 年至 2019 年一共 10 年，其中研发投入占当年 总营收的百分比超过 10%有 9 年， 所以 9 ( ) 10 P A . （）由图表信息，从 2010 年至 2019 年 10 年中有 5 年研发投入超过 500 亿元， 所以X的所有可能取值为0,1,2. 且 2 5 2 10 C2 (0)= C9 P X ； 11 55 2 10 C C5 (1)= C9 P X ； 2 5 2 10 C2 (2)= C9 P X . 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 2
17、9 5 9 2 9 故X的期望 252 ()0121 999 E X 数学 第 10 页（共 6 页） （）本题为开放问题，答案不唯一. 要求用数据说话，数据可以支持自己的结论 即可，阅卷时按照上述标准酌情给分. （19）解：（）当1a 时，e( ) x xf x ，则 )1(exfx 所以(0)0.f 又(0)1f， 所以曲线( )yf x在点(0, (0)f处的切线方程为1y 令( )0fx ，得0x . 此时( )fx，( )f x随x的变化如下： 可 知 min 01( )f xf ， 函 数( )f x的最小值为 1. （）由题意可知，0,x（). 令l(1)en x gaxxx，则
18、 1 e( ) x ga x x 由（）中可知e1 x x，故 e1 x x 因为2,0a （)， 则 11 (1)exgaxa x x x 1 2130xaa x 所以函数( )g x在区间(0,)上单调递增 因为 11 e2 1 ( )e2e20 ee a g=+-， 所以( )g x有唯一的一个零点. 即函数( )yf x与1lnyx 有且只有一个交点. x (,0)-? 0 (0,)+? ( )fx - 0 + ( )f x 极小值 数学 第 11 页（共 6 页） （20）解： （）由题 222 3 2 2 . c a ab abc ， ， 解得 2 1. a b ， 所以椭圆方程为
19、 2 2 1 4 x y. （II）解法 1 证明：设直线 2 A M方程为 1 (2)(0) 2 yk xkk 且，直线 1 A B方程为 1 1 2 yx 由 (2), 1 1. 2 yk x yx 解得点 424 (,) 21 21 kk P kk . 由 2 2 (2) 1. 4 yk x x y ， 得 222 (41)161640kxk xk， 则 2 2 164 2= 41 M k x k . 所以 2 2 82 = 41 M k x k ， 2 4 = 41 M k y k . 即 2 22 824 (,) 41 41 kk M kk . 1 2 2 2 4 1 41 824
20、2 41 A M k k k kk k . 于是直线 1 A M的方程为 1 (2) 4 yx k ，直线 2 A B的方程为 1 1 2 yx . 由 1 (2) 4 1 1 2 yx k yx 解得点 422 (,) 21 21 k Q kk . 数学 第 12 页（共 6 页） 于是 PQ xx，所以PQx轴. 设PQ中点为N，则N点的纵坐标为 42 2121 1 2 k kk . 故PQ中点在定直线1y 上. 从上边可以看出点B在PQ的垂直平分线上，所以BPBQ， 所以BPQ为等腰三角形. 解法 2 证明：设 0000 (,)(2,1)M xyxy 则 22 00 44xy. 直线 2
21、 A M方程为 0 0 (2) 2 y yx x ，直线 1 A B方程为 1 1 2 xy. 由 0 0 (2) 2 1 1. 2 y yx x yx ， 解得点 000 0000 2444 (,) 2222 xyy P yxyx . 直线 1 AM方程为 0 0 (2) 2 y yx x ，直线 2 A B方程为 1 1 2 yx . 由 0 0 (2) 2 1 1. 2 y yx x yx ， 解得点 000 0000 24+44 (,) 2+222 xyy Q yxyx . 0000 0000 24424+4 222+2 PQ x xyxy yxyx x 00000000 0000 2
22、(22)(2+2)2(2+2)(22) (22)(2+2) xyyxxyyx yxyx 22 0000 0000 2 (2)4)(4(2) 0 (22)(2+2) xyxy yxyx . 数学 第 13 页（共 6 页） 于是 PQ xx，所以PQx轴. 00 0000 44 222+2 PQ yy yx y x y y 0000 22 000000 4(44)4(44) 2 (22)(2+2)(22) yyyy yxyxyx . 故PQ中点在定直线1y 上. 从上边可以看出点B在PQ的垂直平分线上，所以BPBQ， 所以BPQ为等腰三角形. （21）解： （）数列 n a具有“性质(2)”；
23、数列 n a不具有“性质(2)”. （）先证“充分性” ： 当数列 n a 具有“性质(2)”时，有 212 2 nnn aaa 又因为 1nn aa ， 所以 221 00 nnnn aaaa ， 进而有 2nn aa 结合 1nn aa 有 12nnn aaa , 即“数列 n a为常数列” ； 再证“必要性” ： 若“数列 n a为常数列” ， 则有 2121 22 nnn aaaa ， 即“数列 n a 具有“性质(2)”. （）首先证明： 1 2 nn aa . 因为 n a具有“性质(4)”， 所以 212 4 nnn aaa . 当1n 时有 21 =33aa . 又因为 * 2
24、12nnn a,a ,a N且 22 -1nn aa， 数学 第 14 页（共 6 页） 所以有 221 21,21 nnnn aaaa , 进而有 2211 21122 nnnn aaaa ， 所以 1 2()3 nn aa , 结合 * +1nn a,a N可得： 1 2 nn aa . 然后利用反证法证明： 1 2 nn aa . 假设数列 n a中存在相邻的两项之差大于， 即存在 * kN满足： 212 3 kk aa 或 2 +22 +1 3 kk aa， 进而有 1222 +1221 4()(+)(+) kkkkkk aaaaaa 2222 +121 =()+() kkkk aaaa 22212 +122 +12221 = ()+() + ()() kkkkkkkk aaaaaaaa 9. 又因为 * 1kk aa N， 所以 1 3 kk aa 依次类推可得： 21 3aa，矛盾， 所以有 1 2 nn aa . 综上有： 1 2 nn aa ， 结合 1 1a 可得21 n an， 经验证，该通项公式满足 212 4 nnn aaa ， 所以：21 n an .
