1、圆周角 复习提问：复习提问：(2)(2)圆心角，弧，弦，弦心距关系定理是什么？圆心角，弧，弦，弦心距关系定理是什么？(1)(1)什么是圆心角？什么是圆心角？知识回顾知识回顾 如图是一个圆柱形的海洋馆的横如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面的示意图，人们可以通过其中的截面的示意图，人们可以通过其中的圆弧形玻璃圆弧形玻璃AB AB 观看窗内的海洋动物，观看窗内的海洋动物，同学甲站在圆心的同学甲站在圆心的O O 位置，同学乙站位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置在正对着玻璃窗的靠墙的位置C C，他，他们的视角（们的视角（AOB AOB 和和ACBACB）有什么）有什么关系？如果同学丙、丁分别站在他靠
2、关系？如果同学丙、丁分别站在他靠墙的位置墙的位置D D和和E E，他们的视角（，他们的视角（ADB ADB 和和AEB AEB）和同学乙的视角相同吗？）和同学乙的视角相同吗？甲OBA丙D乙C丁E探究发现探究发现1.ACB1.ACB与与AOBAOB有何异同点？有何异同点？BACO2.2.你知道你知道ACBACB这一类的角名字吗？这一类的角名字吗？（1 1）ACBACB的顶点的顶点C C在在O O上，上，而而AOBAOB的顶点的顶点C C在在O O内。内。（2 2）两个角的大小）两个角的大小不同。不同。新知探究新知探究 顶点在圆上，并且两顶点在圆上，并且两边都与圆还另有一个交点边都与圆还另有一个交
3、点的角叫做的角叫做圆周角圆周角。1.1.圆周角的概念圆周角的概念BACO一个角是圆周角的条件：一个角是圆周角的条件：顶点在圆上；顶点在圆上；两边都和圆相交。两边都和圆相交。练习：指出练习：指出下图中的下图中的圆周角。圆周角。OOA AO OB BO OC COODDO OE EOOF（1）（2）（3）（4）（5）（6）C CA AB BO O 分别量出图中分别量出图中 AB AB 所对的圆周角和圆心角的所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你有什么发现？度数，比较一下，你有什么发现？2.2.圆周角定理圆周角定理 C CO OA AB B12CAOB即即 OC=OBOC=OB，OCB=OCB=O
4、BCOBC。又又AOB=OCB+OBCAOB=OCB+OBCAOB=2OCBAOB=2OCB1.1.如图，在如图，在O O中，中，ACAC为直径，为直径，AOBAOB和和ACBACB分别分别是所对的圆心角和圆周角，你认为是所对的圆心角和圆周角，你认为AOB AOB 与与ACBACB的大小具有什么关系？说出你的理由。的大小具有什么关系？说出你的理由。ABC CO OA AB BC CO OA AB BD DD D2.2.如图，在如图，在O O中，当所对的圆心角中，当所对的圆心角AOBAOB与圆周角与圆周角ACBACB具有如图所示的两种位置关系时，具有如图所示的两种位置关系时，它们是否还具有上述的
5、数量关系？为什么？它们是否还具有上述的数量关系？为什么？ABABC CO OA AB BD D（1 1）圆心在）圆心在BCABCA的的内部内部作直径作直径CDCD由于由于AOD=2ACDAOD=2ACDBOD=2BCDBOD=2BCD，所以所以AOD+BOD=2AOD+BOD=2（ACD+BCDACD+BCD）即即AOB=2 ACBAOB=2 ACB作直径作直径CDCD由于由于BOD=2BCDBOD=2BCDAOD=2ACDAOD=2ACD，所以所以BOD-AOD=2BOD-AOD=2（BCD-ACDBCD-ACD）即即AOB=2ACBAOB=2ACBOBDCA（2 2）圆心在）圆心在BACB
6、AC的的外部外部结论：圆周角定理结论：圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。ACB=ACB=；ADB=ADB=；=。如图：则有如图：则有AOB21AOB21ACBACBADBADB 在同圆或等圆中，同在同圆或等圆中，同弧或等弧弧或等弧所对的圆周角所对的圆周角相等；相等相等；相等的圆周角的圆周角所对的弧也所对的弧也相等。相等。1.1.在一个圆中，并画出在一个圆中，并画出ABAB所对的圆周角能画多所对的圆周角能画多少个？它们有什么关系？少个？它们有什么关系？A AB BD DE EO OC C2.2.在同圆和等圆中，如果两个弧相等，在同圆和
7、等圆中，如果两个弧相等，它们所对的圆周角一定相等吗？为什它们所对的圆周角一定相等吗？为什么？反过来呢？么？反过来呢？推论推论1 1：探究推论探究推论 如图，如图，ABCABC内接于内接于O O，请思考当请思考当AOBAOB为为180180时，时，ACBACB的度数是多少？从而你的度数是多少？从而你得到什么结论？得到什么结论？探索半圆或直径所对的圆周角的度数探索半圆或直径所对的圆周角的度数 A AB BC CO O推论推论2 2：半圆半圆(或直径或直径)所对的圆周角是所对的圆周角是直角；直角；9090的圆周角所对的弦是的圆周角所对的弦是直径。直径。AOCAOC、BOCBOC都是等腰三角形都是等腰
8、三角形OACOACOCAOCA，OBCOBCOCBOCB又又OACOACOBCOBCACBACB 180 180 ACBACBOCAOCAOCBOCB 9090 2180 因此因此，不管点不管点C C在在O O上何处（除点上何处（除点A A、B B），ACBACB总等于总等于9090。证明证明：因为因为OAOAOBOBOCOC，例例1.1.如图，如图，ABAB是是O O的直径，弦的直径，弦CDCD交交ABAB于点于点P P，ACD=60ACD=60，ADC=70ADC=70。求。求APCAPC的度数。的度数。.O.OA AD DC CP PB B解：解：连接连接BCBC，则则ACB=90ACB
9、=90，DCBDCBACBACBACD ACD 90906060=30=30又又BAD=DCB=30BAD=DCB=30，APC=BADAPC=BADADCADC30307070100100重难例题讲解重难例题讲解练习练习：如图，点如图，点A A、B B、C C在在O O上，点上，点D D在圆在圆外，外，CDCD、BDBD分别交分别交O O于点于点E E、F F，比较，比较BACBAC与与BDCBDC的的大小，并大小，并说明说明理由。理由。解：连接解：连接CFCF BFCBFC是是D DFCFC的一个的一个外角，外角，BFC BDC BFC BDC BACBACBFC BFC（同弧（同弧所对的
10、圆周角相等所对的圆周角相等）BAC BAC BDCBDC。1.1.如图，四边形如图，四边形ABCDABCD中中,B,B与与1 1互补互补,AD,AD的延长的延长线与线与DCDC所夹所夹2=602=60,则则1=_,B=_1=_,B=_。2.2.判断判断:圆上任意两点之间分圆周为两条弧圆上任意两点之间分圆周为两条弧,这两这两条弧的度数和为条弧的度数和为360360()()120120 6060 A AB BC CD D1 12 2探究发现探究发现O OA AC CD DE EB B 一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做个多边形叫做圆的内接多边形
11、圆的内接多边形，这个圆叫做这个，这个圆叫做这个多边形的外接圆。多边形的外接圆。O OC CA AB BD D 如图，四边形如图，四边形ABCDABCD为为O O的内接四边形；的内接四边形；O O为四边形为四边形ABCDABCD的外接圆。的外接圆。如图：圆内接四边形如图：圆内接四边形ABCDABCD中，中，A AC C180180同理同理B BD D180180圆的内接四边形的对角互补。圆的内接四边形的对角互补。BAD+BCD=360BAD+BCD=360O OC CA AB BD D探究性质探究性质C CO OD DB BA AE E所以所以A ADCEDCE又又 A A BCDBCD 180
12、180如果延长如果延长BCBC到到E E，那么，那么DCEDCEBCD BCD 100100C CO OD DB BA AE E12 因为因为A A是与是与2 2相邻相邻的内角的内角1 1的对角，我们的对角，我们把把A A叫做叫做DCEDCE的内对角的内对角 因此，圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。因此，圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。即即A=A=2 2几何表达式：几何表达式：ABCDABCD是是O O的内接四边形，的内接四边形，B+D=180B+D=180 且且A=2A=2定理：定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
13、外角都等于它的内对角。C CO OD DB BA AE E12解解：设：设A A、B B、C C的度数分别对于的度数分别对于2x2x、3x3x、6x6x，例例2 2 在圆内接四边形在圆内接四边形ABCDABCD中，中，A A、B B、C C的度数之比是的度数之比是2 23 36.6.求这个四边形各角的度数。求这个四边形各角的度数。由于四边形由于四边形ABCDABCD内接于圆，内接于圆，A+A+C=B+C=B+D=180D=1802x+6x=1802x+6x=180 x=22.5x=22.5 A=45A=45，B=67.5B=67.5，C C =135=135 D=180D=180-67.5-6
14、7.5=112.5=112.5重难例题讲解重难例题讲解E ED DB BA AC C1.1.四边形四边形ABCDABCD内接于内接于O O，则，则A+C=_ A+C=_ B+ADC=_;B+ADC=_;若若B=80B=80，则则ADC=_ADC=_，CDE=_CDE=_。1801801801801001008080随堂练习随堂练习DBACO2.2.四边形四边形ABCDABCD内接于内接于O O，AOC=100AOC=100则则B=_B=_；D=_ D=_。3.3.四边形四边形ABCDABCD内接于内接于O,A:C=1:3,O,A:C=1:3,则则A=_A=_。505013013045454.4
15、.若若ABCDABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立（成立（）（A A）ABCD ABCD 1234 1234（B B）ABCD ABCD 2134 2134（C C）ABCD ABCD 3214 3214（D D）ABCD ABCD 43214321B BDBACO圆的内接梯形一定是梯形。圆的内接梯形一定是梯形。5.5.梯形梯形ABCDABCD内接于内接于O,O,ADBC,B=75ADBC,B=75,则则C=_C=_。7575等腰等腰6.6.如图，四边形如图，四边形ABCDABCD内接于内接于O O，如果，如果BOD=130BOD=130,则则BCD
16、BCD的度数是（的度数是（）A.115A.115 B.130 B.130 C.65 C.65 D.50 D.507.7.如图，等边三角形如图，等边三角形ABCABC内内 接于接于O O，P P是是ABAB上的一点，上的一点，则则APB=APB=。A AB BC CD DO OA AB BC CP PC C1201208.8.已知四边形已知四边形ABCDABCD内接于内接于O,O,且且A:B:C=2:3:4A:B:C=2:3:4，求，求D D的度数。的度数。9.9.四边形四边形ABCDABCD内接于内接于O,BAO,BA、CDCD的延长线交于点的延长线交于点P,AD=2cm,BC=3cm,PAP
17、,AD=2cm,BC=3cm,PA4cm4cm，求，求PCPC的长。的长。你今天学习了哪些知识？你今天学习了哪些知识？课堂小结课堂小结1.1.定义：定义：一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这个那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。圆叫做这个多边形的外接圆。2.2.定理：定理：圆的内接四边形的对角互补，并且圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。任何一个外角都等于它的内对角。(1)(1)一个概念（圆周角）一个概念（圆周角）(2)(2)一个定理：一条弧所对的圆周角等于它所对一个定理
18、：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。圆心角的一半。(3)(3)两两个推论：个推论：半圆或直径所对的圆周角是直角；半圆或直径所对的圆周角是直角；9090的的圆周角所对的弦是直径。圆周角所对的弦是直径。在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。相等；相等的圆周角所对的弧也相等。知识梳理知识梳理思想方法：一种方法和一种思想。思想方法：一种方法和一种思想。在证明中，运用了数学中的分类方法和化在证明中，运用了数学中的分类方法和化归思想。归思想。分类时要做到不重不漏；化归思想是将复分类时要做到不重不漏；化归思想是将复杂问题转化成一系列的简单问题或已证问题。杂问题转化成一系列的简单问题或已证问题。
