1、 中考数学（江苏专用）第五章 圆5.1圆的性质及圆的有关位置关系考点1圆的有关概念与性质A组20162020年江苏中考题组1.(2020南京,6,2分)如图,在平面直角坐标系中,点P在第一象限,P与x轴、y轴都相切,且经过矩形AOBC的顶点C,与BC相交于点D.若P的半径为5,点A的坐标是(0,8),则点D的坐标是()A.(9,2)B.(9,3)C.(10,2)D.(10,3)答案答案A设P与x轴、y轴的切点分别是点F、E,连接PE、PF、PD,延长EP交CD于点G,则PEOA,PFOB,四边形AOBC是矩形,四边形OBGE、ACGE、PEOF均是矩形,PE=PF,矩形PEOF是正方形,A(0
2、,8),PE=PF=PD=OE=5,CG=3,PGBC,DG=3,CD=2CG=6,BD=CB-CD=AO-CD=2,在RtPGD中,PGD=90,PD=5,GD=3,PG=4,OB=5+4=9,故D(9,2).思路分析思路分析运用垂径定理求出GD的长度,再根据勾股定理求得PG的长度即可解决本题.2.(2019镇江,15,3分)如图,四边形ABCD是半圆的内接四边形,AB是直径,=.若C=110,则ABC的度数为()A.55B.60C.65D.70DCCB答案答案A连接AC,四边形ABCD是半圆的内接四边形,DAB=180-DCB=70.=,CAB=DAB=35,AB是直径,ACB=90,AB
3、C=90-CAB=55,故选A.DCCB123.(2017南京,6,2分)过三点A(2,2),B(6,2),C(4,5)的圆的圆心坐标为()A.B.(4,3)C.D.(5,3)174,6175,6答案答案A如图,过C作直线CEAB于E,设所求圆的圆心为D,半径为r,连接AD.A(2,2),B(6,2),圆心D在直线x=4上,D的横坐标为4.C(4,5),CE=3.CD=r,DE=3-r.在RtDAE中,AE2+DE2=AD2,即22+(3-r)2=r2,r=,D的纵坐标为5-=,D.故选A.136136176174,6思路分析思路分析本题求过三点的圆的圆心坐标,先根据圆的对称性确定圆心的横坐标
4、,再根据勾股定理求出半径,进而求出圆心的坐标.4.(2018无锡,8,3分)如图,矩形ABCD中,G是BC的中点,过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F,给出下列说法:(1)AC与BD的交点是圆O的圆心;(2)AF与DE的交点是圆O的圆心;(3)BC与圆O相切,其中正确说法的个数是()A.0B.1C.2D.3答案答案C如图,连接DG、AG、DE,作GHAD于H,如图,易证DCG ABG,AG=DG,GH垂直平分AD,点O在GH上,ADBC,GHBC,BC与圆O相切.OG=ODOH,点O不是GH的中点,圆心O不是AC与BD的交点.由DAE=90,知DE为直径,AF与DE的交点是圆
5、O的圆心.(1)错误,(2)(3)正确.故选C.思路分析思路分析连接DG、AG、DE,作GHAD于H,先确定AG=DG,则GH垂直平分AD,则可判断点O在GH上,再根据GHBC可判定BC与圆O相切.接着利用OG=ODOH可判断圆心O不是AC与BD的交点.由DAE=90,知DE为直径,可判断AF与DE的交点是圆O的圆心.5.(2020盐城,14,3分)如图,在O中,点A在上,BOC=100,则BAC=.BC答案答案130解析解析如图,画出所对的圆周角BDC交O于点D,BDC=BOC=100=50,四边形ABDC为O的内接四边形,BDC+BAC=180,BAC=180-BDC=180-50=130
6、.BC12126.(2019宿迁,15,3分)直角三角形的两条直角边分别是5和12,则它的内切圆半径为.答案答案2解析解析直角三角形的斜边长为=13,所以它的内切圆的半径为=2.22512512-132规律总结规律总结三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角;直角三角形的内切圆的半径为(其中a、b为直角边,c为斜边).-2ab c7.(2017扬州,15,3分)如图,已知O是ABC的外接圆,连接AO,若B=40,则OAC=.答案答案50解析解析连接OC,B=40,AOC=80,OA=OC,OAC=OCA=50.8.(2019盐城,13,3分)如图,点A、B
7、、C、D、E在O上,且为50,则E+C=.AB答案答案155解析解析连接EA,为50,BEA=25,四边形DCAE为O的内接四边形,DEA+C=180,DEB+C=180-25=155,故答案为155.AB9.(2016扬州,16,3分)如图,O是ABC的外接圆,直径AD=4,ABC=DAC,则AC长为.答案答案22解析解析连接DC.ABC=ADC,ABC=DAC,ADC=DAC,AC=DC,AD为O直径,ACD=90,ACD为等腰直角三角形,AD=4,AC=4sin45=2.210.(2019扬州,15,3分)如图,AC是O的内接正六边形的一边,点B在上,且BC是O的内接正十边形的一边,若A
8、B是O的内接正n边形的一边,则n=.AC答案答案15解析解析圆内接正多边形的中心为圆心.连接BO,AC是O的内接正六边形的一边,AOC=3606=60,BC是O的内接正十边形的一边,BOC=36010=36,AOB=AOC-BOC=60-36=24,n=36024=15.11.(2019苏州,17,3分)如图,扇形OAB中,AOB=90.P为上的一点,过点P作PCOA,垂足为C,PC与AB交于点D.若PD=2,CD=1,则该扇形的半径长为.AB答案答案5解析解析连接OP,设该扇形的半径为r.AOB=90,OA=OB,OAB=45.PCOA,PCA=90.CA=CD=1.在RtPOC中,PCO=
9、90,OP2-OC2=PC2,即r2-(r-1)2=32.解得r=5.12.(2019泰州,16,3分)如图,O的半径为5,点P在O上,点A在O内,且AP=3,过点A作AP的垂线交O于点B、C.设PB=x,PC=y,则y与x的函数表达式为.答案答案y=30 x解析解析连接PO并延长交O于D,连接BD,则C=D,PBD=90,PABC,PAC=90,PAC=PBD,PACPBD,=,O的半径为5,AP=3,PB=x,PC=y,=,y=.PBPAPDPC3x10y30 x解题关键解题关键本题考查了圆周角定理,相似三角形的判定和性质,正确地作出辅助线是解题的关键.13.(2020南京,24,8分)如
10、图,在ABC中,AC=BC,D是AB上一点,O经过点A、C、D,交BC于点E,过点D作DFBC,交O于点F.求证:(1)四边形DBCF是平行四边形;(2)AF=EF.证明证明(1)AC=BC,BAC=B,DFBC,ADF=B,又BAC=CFD,ADF=CFD,BDCF,又DFBC,四边形DBCF是平行四边形.(2)如图,连接AE.ADF=B,ADF=AEF,AEF=B.四边形AECF是O的内接四边形,ECF+EAF=180,BDCF,ECF+B=180,EAF=B,AEF=EAF.AF=EF.解题关键解题关键本题是一道平行四边形与圆相结合的综合题,考查了平行四边形的判定与性质、圆内接四边形的性
11、质.熟练运用同弧所对的圆周角相等、等腰三角形的判定是解决问题的关键.14.(2019南京,22,7分)如图,O的弦AB、CD的延长线相交于点P,且AB=CD.求证PA=PC.AB=CD,=.+=+,即=.C=A.PA=PC.(7分)证法二:如图,过点O分别作OMAB,ONCD,垂足分别为M,N.ABCDABBDCDDBADCB证明证明证法一:如图,连接AC.连接OA、OC、OP.OMAB,ONCD,AM=AB,CN=CD.AB=CD,AM=CN.在RtOAM和RtOCN中,OMA=ONC=90,根据勾股定理,得OM=,ON=.121222-OA AM22-OC CN又OA=OC,AM=CN,O
12、M=ON.又OP=OP,RtOPM RtOPN.PM=PN.PM+AM=PN+CN,即PA=PC.(7分)15.(2020苏州,28,10分)如图,已知MON=90,OT是MON的平分线,A是射线OM上一点,OA=8cm.动点P从点A出发,以1cm/s的速度沿AO水平向左做匀速运动,与此同时,动点Q从点O出发,也以1cm/s的速度沿ON竖直向上做匀速运动.连接PQ,交OT于点B.经过O、P、Q三点作圆,交OT于点C,连接PC、QC.设运动时间为t(s),其中0t0),则AC=2k,则AE=k.ACDCED,12CEAC1222ACCE22(2)kk5=.设DE=x(x0),则CD=2x,AD=
13、4x.AD=AE+DE,4x=k+x,解得x=k.CD=2x=k.CGAD,CGA=CGD=90,则ACE=CGA.又CAE=GAC,ACEAGC.=,即=,GC=k.在RtCDG中,sinCDG=,CDADEDCDCEAC125532 53CEGCAEACkGC52kk2 55CGCD2 552 53kk35即sinCDA=.解法二:连接BD.AB为O的直径,C为O上一点,ACB=90.DOAC,OFB=ACB=90,BFD=90.CAD=CBD(同弧所对的圆周角相等),tanCBD=tanCAD=,=.3512DFBF12设DF=k(k0),则BF=2k.设OB=OD=r,则OF=OD-D
14、F=r-k.在RtBOF中,有OF2+BF2=OB2,即(r-k)2+(2k)2=r2,化简得r=k.OF=OD-DF=r-k=k.sinCBA=.CDA=CBA(同弧所对的圆周角相等),sinCDA=sinCBA=.5232OFOB3252kk35351.(2019苏州,5,3分)如图,AB为O的切线,切点为A.连接AO,BO,BO与O交于点C.延长BO与O交于点D,连接AD.若ABO=36,则ADC的度数为()A.54B.36C.32D.27考点2与圆有关的位置关系答案答案DAB为O的切线,BAO=90,AOB=90-36=54.OD=OA,OAD=ODA.AOB=DAO+ADO=54,A
15、DO=27,即ADC=27.故选D.2.(2020泰州,14,3分)如图,直线ab,垂足为H,点P在直线b上,PH=4cm,O为直线b上一动点,若以1cm为半径的O与直线a相切,则OP的长为.答案答案3或5cm解析解析ab,当O与直线a相切时,OH=1cm,有以下两种情况:当O在直线a的左侧时,OP=PH-OH=4-1=3cm;当O在直线a的右侧时,OP=PH+OH=4+1=5cm.3.(2020苏州,14,3分)如图,已知AB是O的直径,AC是O的切线,连接OC交O于点D,连接BD.若C=40,则B的度数是.答案答案25解析解析AC是O的切线,OAC=90,C=40,AOD=50,B=AOD
16、=25.124.(2019南京,14,2分)如图,PA、PB是O的切线,A、B为切点,点C、D在O上.若P=102,则A+C=.答案答案219解析解析连接AB,PA、PB是O的切线,PA=PB,P=102,PAB=PBA=(180-102)=39,DAB+C=180,PAD+C=PAB+DAB+C=39+180=219.125.(2019常州,17,2分)如图,半径为的O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切,连接OC,则tanOCB=.3答案答案35解析解析设O与BC边的切点为D.连接OB,OD.如图.O与等边三角形ABC的两边AB、BC都相切,OBC=OBA=ABC=30,OD
17、B=90,tanOBC=,BD=3,CD=BC-BD=8-3=5,tanOCB=.12ODBD333ODCD356.(2017连云港,14,3分)如图,线段AB与O相切于点B,线段AO与O相交于点C,AB=12,AC=8,则O的半径长为.答案答案5解析解析连接OB,AB切O于B,OBAB,ABO=90,设O的半径长为r,由勾股定理得r2+122=(8+r)2,解得r=5.思路分析思路分析连接OB,根据切线的性质得ABO=90,在RtABO中,由勾股定理即可求出O的半径长.解题关键解题关键本题考查了切线的性质和勾股定理的应用,解题关键是得到直角三角形ABO.7.(2018连云港,14,3分)如图
18、,AB是O的弦,点C在过点B的切线上,且OCOA,OC交AB于点P,已知OAB=22,则OCB=.答案答案44解析解析连接OB,BC是O的切线,OBBC,OBA+CBP=90,OCOA,A+APO=90,OA=OB,OAB=22,OAB=OBA=22,APO=68,APO=CBP,APO=CPB,CPB=ABC=68,OCB=180-68-68=44.故答案为44.8.(2018南京,16,2分)如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=4,以CD为直径作O.将矩形ABCD绕点C旋转,使所得矩形ABCD的边AB与O相切,切点为E,边CD与O相交于点F,则CF的长为.答案答案4解析解析连接OE,延
19、长EO交CD于点G,作OHBC于点H,则OEB=OHB=90.矩形ABCD绕点C旋转得矩形ABCD,B=BCD=90,AB=CD=5,BC=BC=4,四边形OEBH和四边形EBCG都是矩形,OE=OC=2.5,BH=OE=2.5,CH=BC-BH=1.5,CG=BE=OH=2.22-OC CH222.5-1.5四边形EBCG是矩形,OGC=90,即OGCD,CF=2CG=4.故答案为4.评析评析本题主要考查圆的切线的性质,解题的关键是掌握矩形的判定与性质、旋转的性质、切线的性质、垂径定理等知识点.9.(2020无锡,24,8分)如图,已知ABC是锐角三角形(AC0),CD=x,则DE=x,AB
20、=DE=x.AC=CE,BC=CD,ACB=ECD,=,ACE=BCD,ACEBCD,=3,BD=,BE=DE-BD=x-.CECD1010ACBCCECDAEBDECCD231023AE2+BE2=AB2,22+=(x)2,x=,AB=.2210-3x101031037.(2020北京,20,5分)已知:如图,ABC为锐角三角形,AB=AC,CDAB.求作:线段BP,使得点P在直线CD上,且ABP=BAC.作法:以点A为圆心,AC长为半径画圆,交直线CD于C,P两点;连接BP.线段BP就是所求作的线段.(1)使用直尺和圆规,依作法补全图形(保留作图痕迹);12(2)完成下面的证明.证明:CD
21、AB,ABP=.AB=AC,点B在A上.又点C,P都在A上,BPC=BAC()(填推理的依据).ABP=BAC.1212解析解析(1)补全的图形如图所示.(2分)(2)BPC;(3分)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.(5分)8.(2018福建,24,12分)已知四边形ABCD是O的内接四边形,AC是O的直径,DEAB,垂足为E.(1)延长DE交O于点F,延长DC,FB交于点P,如图1.求证:PC=PB;(2)过点B作BGAD,垂足为G,BG交DE于点H,且点O和点A都在DE的左侧,如图2.若AB=,DH=1,OHD=80,求BDE的大小.3图1图2解析解析(1)证明:AC是O的直径
22、,ABC=90.又DEAB,DEA=90.DEA=ABC,BCDF,F=PBC.四边形BCDF是圆内接四边形,F+DCB=180,又PCB+DCB=180,F=PCB,PBC=PCB,PC=PB.(2)连接OD,AC是O的直径,ADC=90,又BGAD,AGB=90,ADC=AGB,BGDC.又由(1)知BCDE,四边形DHBC为平行四边形,BC=DH=1.在RtABC中,AB=,tanACB=,ACB=60,CAB=30.从而BC=AC=OD,DH=OD.在等腰三角形DOH中,DOH=OHD=80,ODH=20.设DE交AC于N.BCDE,ONH=ACB=60.NOH=180-(ONH+OH
23、D)=40,DOC=DOH-NOH=40,3ABBC312CBD=OAD=20.BCDE,BDE=CBD=20.一题多解一题多解(1)证明:易证DFBC,从而CD=BF,且=1,PB=PC.(2)连接OD,设BDE=x,则EBD=90-x,易证四边形BCDH为平行四边形,BC=DH=1,AB=,CAB=30,AC=2,ADB=ACB=60,OD=OA=1=DH,ODH=180-2OHD=180-280=20,OAD=ODA=ADB-(ODH+x)=60-(20+x)=40-x.又AOD=2ABD,180-2(40-x)=2(90-x),解得x=20,即BDE=20.PCPBCDBF3解后反思解
24、后反思本题考查圆的有关性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、解直角三角形等基础知识,考查运算能力、推理能力、空间观念与几何直观,考查化归与转化思想.考点2与圆有关的位置关系1.(2020广东广州,7,3分)如图,RtABC中,C=90,AB=5,cosA=,以点B为圆心,r为半径作B,当r=3时,B与AC的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.无法确定45答案答案BC=90,AB=5,cosA=,AC=ABcosA=5=4,BC=3.r=3,B与AC的位置关系是相切.故选B.ACAB454522-AB AC225-42.(2018福建,9,4分)如图,A
25、B是O的直径,BC与O相切于点B,AC交O于点D.若ACB=50,则BOD等于()A.40B.50C.60D.80答案答案D由BC与O相切于点B,可得ABC=90,由三角形内角和为180及ACB=50可得BAC=40,由OA=OD得ODA=BAC=40,由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得BOD=ODA+OAD=80.3.(2020河南,20,9分)我们学习过利用尺规作图平分一个任意角,而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题,之后被数学家证明是不可能完成的.人们根据实际需要,发明了一种简易操作工具三分角器.图1是它的示意图,其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上,
26、且AB的长度与半圆的半径相等;DB与AC垂直于点B,DB足够长.图1图2使用方法如图2所示,若要把MEN三等分,只需适当放置三分角器,使DB经过MEN的顶点E,点A落在边EM上,半圆O与另一边EN恰好相切,切点为F,则EB,EO就把MEN三等分了.为了说明这一方法的正确性,需要对其进行证明.如下给出了不完整的“已知”和“求证”,请补充完整,并写出“证明”过程.已知:如图2,点A,B,O,C在同一直线上,EBAC,垂足为点B,.求证:.解析解析已知:如图,点A,B,O,C在同一直线上,EBAC,垂足为点B,AB=OB,EN切半圆O于点F.(2分)求证:1=2=3.(3分)证明:连接OF.(4分)
27、EBAC,ABE=OBE=90,又AB=OB,EB=EB,ABE OBE.1=2.(6分)EN切半圆O于点F,OFEF,又OBEB且OF=OB,EO平分BEF,3=2,1=2=3.(9分)说明:若“已知”未补充完整,而“证明”过程正确,仅在“已知处扣分”4.(2017北京,24,5分)如图,AB是O的一条弦,E是AB的中点,过点E作ECOA于点C,过点B作O的切线交CE的延长线于点D.(1)求证:DB=DE;(2)若AB=12,BD=5,求O的半径.解析解析(1)证明:BD是O的切线,OBD=90.CEOA,ACE=90.OBA+EBD=A+AEC=90.OA=OB,A=OBA,EBD=AEC
28、.又AEC=BED,BED=EBD,DB=DE.(2)如图,连接OE,则OEAB,AE=BE=6.过点D作DMAB于点M,DE=DB,BM=BE=3,在RtBMD中,由勾股定理得,DM=4.易证OBE=BDM,又BEO=DMB,RtOBERtBDM,=,OB=.12OBBDBEDM1525.(2018湖北武汉,21,8分)如图,PA是O的切线,A是切点,AC是直径,AB是弦,连接PB、PC,PC交AB于点E,且PA=PB.(1)求证:PB是O的切线;(2)若APC=3BPC,求的值.PECE解析解析(1)证法一:连接OP,OB.在OAP和OBP中,OAP OBP,OAP=OBP,PA是O的切线
29、,OBP=OAP=90,PB是O的切线.证法二:连接OB.PA是O的切线,PAO=90.OA=OB,PA=PB,OAB=OBA,PAB=PBA.PBO=PAO=90,APBPOAOBOPOPPB是O的切线.(2)连接BC,设OP交AB于点F,AC是O的直径,ABC=90.PA,PB是O的切线,PO垂直平分AB,PO平分APB,BCPO,OPC=PCB.APC=3BPC,OPC=BPC,PCB=BPC,BC=BP.设OF=t,则BC=BP=2t,由PBFPOB,得PB2=PFPO,即(2t)2=PF(PF+t).解得PF=t(取正值).-1172PFECBE,=.PECEPFBC17-14解题技
30、巧解题技巧对于含有切线的解答题,首先要想到的是作“辅助线”,由此获得更多能够证明题目要求的条件.一般作“辅助线”的方法为“见切点,连圆心”,构造直角三角形(或垂直),然后利用切线性质及直角三角形的边角关系、勾股定理进行证明或计算.考点1圆的有关概念与性质C组教师专用题组1.(2020浙江杭州,9,3分)如图,已知BC是O的直径,半径OABC,点D在劣弧AC上(不与点A,点C重合),BD与OA交于点E.设AED=,AOD=,则()A.3+=180B.2+=180C.3-=90D.2-=90答案答案D如图,连接AB,则DBA=DOA=,DEA=DBA+OAB=.OA=OB,BOA=90,OAB=4
31、5,=+45,2-=90,故选D.121212思路分析思路分析连接AB,利用一条弦所对的圆周角等于圆心角的一半,可得到DBA=,利用三角形外角的性质,可得DBA+OAB=,再证明OAB=45,进而可得和之间的关系式.12方法总结方法总结圆中求角度的问题,优先考虑运用圆周角定理及其推论,因此先要找出图形中的圆心角或圆周角,再看所求角与这些特殊角之间的关系.此外还应注意题干中的一些隐含条件,一般会涉及等腰三角形的性质,三角形内角和定理,三角形外角的性质等.2.(2019陕西,9,3分)如图,AB是O的直径,EF、EB是O的弦,且EF=EB,EF与AB交于点C,连接OF.若AOF=40,则F的度数是
32、()A.20B.35C.40D.55答案答案B连接OE.EF=EB,EOF=EOB.AOF=40,BOF=180-AOF=140,EOF=EOB=(360-140)=110.OE=OF,F=OEF=(180-EOF)=35,故选B.12123.(2019贵州贵阳,6,3分)如图,正六边形ABCDEF内接于O,连接BD,则CBD的度数是()A.30B.45C.60D.90思路分析思路分析根据正六边形的内角和求得BCD的度数,然后根据等腰三角形的性质即可得到结果.答案答案A在正六边形ABCDEF中,BCD=120,BC=CD,CBD=(180-120)=30,故选A.124.(2020宁夏,12,
33、3分)我国古代数学经典著作九章算术中记载了一个“圆材埋壁”的问题:“今有圆材埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径几何?”意思是:今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小.用锯去锯这木材,锯口深ED=1寸,锯道长AB=1尺(1尺=10寸).这根圆形木材的直径是寸.答案答案26解析解析由垂径定理可知OE垂直平分AB,AD=5寸,设半径OA=x寸,则OD=(x-1)寸.在RtAOD中,AD2+OD2=OA2,52+(x-1)2=x2,解得x=13,直径为26寸.5.(2018吉林,13,3分)如图,A,B,C,D是O上的四个点,=.若AOB=58,则BDC=度.ABBC答案答案29
34、解析解析连接OC,=,AOB=BOC=58,又点D在圆上,BDC=BOC=29.ABBC12思路分析思路分析连接OC,由与相等可得圆心角AOB=BOC,再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求得BDC的度数.ABBC6.(2018内蒙古呼和浩特,12,3分)同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为.答案答案 12解析解析设圆的半径为r,则内接正方形的边心距为r,内接正三角形的边心距为r,故rr=1.2212221227.(2019陕西,17,5分)如图,在ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高.请用尺规作图法,求作ABC的外接圆.(保留作图痕迹,不写作法)解析解析如图所示的圆即为所求.
35、(5分)8.(2020广东广州,24,14分)如图,O为等边ABC的外接圆,半径为2,点D在劣弧上运动(不与点A,B重合),连接DA,DB,DC.(1)求证:DC是ADB的平分线;(2)四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数吗?如果是,求出函数解析式;如果不是,请说明理由;(3)若点M,N分别在线段CA,CB上运动(不含端点),经过探究发现,点D运动到每一个确定的位置,DMN的周长有最小值t,随着点D的运动,t的值会发生变化,求所有t值中的最大值.AB解析解析(1)证明:ABC为等边三角形,AC=BC,=,ADC=BDC,DC是ADB的平分线.(2)是.解法一:将CBD绕C点顺时针旋转6
36、0得CAE,则CBD CAE.DAC+DBC=180,DBC=EAC,EAC+DAC=180,即E,A,D三点共线.CE=CD,ADC=ABC=60,EDC为等边三角形.S四边形ADBC=SEDC=CD2,S=x2.O的半径为2,BC=2.2x4.ACBC343433解法二:在CD上取一点E,使得CE=BD,连接AE.由BD=CE,ABD=ACE,AB=AC,得ABD ACE,AD=AE.又ADC=ABC=60,ADE为等边三角形.AD=DE,CD=CE+DE=BD+AD.作AFCD于F,BGCD于G.设AD=a,则BD=x-a,AF=ADsin60=a,BG=BDsin60=(x-a),32
37、32S=SACD+SBCD=CD(AF+BG)=x=x2(2EB,当E,D,B三点共线时,ED+DB最小,此时ED+DB=EB,AD+BD=EB,在RtECB中,EB=4,AD+BD=4,2AD+3BD=12,即2AD+3BD的最小值是12.2323221241023101010思路分析思路分析在CA上取一点E,使得CE=4,连接BE,DE,先证DCEACD,将DE转化为AD,从而求得 AD+DB的最小值,即可求得2AD+3BD的最小值.23236.(2020常州溧阳一模,18)如图,在O中,点A、点B在O上,AOB=90,OA=6,点C在OA上,且OC=2AC,点D是OB的中点,点M是劣弧A
38、B上的动点,则CM+2DM的最小值为.答案答案410解析解析延长OB至点N,使得BN=OB,连接CN,与圆O交于M,AOB=90,OA=6,OC=2AC,点D是OB的中点,AC=2,OC=4,OD=BD=3,OB=BN=6.MOD=NOM,=,MODNOM,DM MN=1 2,OMONODOM12即2DM=MN,CM+2DM的最小值为CM+MN的长,即CN的长,在CNO中,ON=12,OC=4,CN=4.22OCON10思路分析思路分析延长OB至点N,使得OB=BN,连接CN,与圆O交于M,证明MODNOM,得到2DM=MN,将CM+2DM的最小值转化为CM+MN,即CN的长,再利用勾股定理求
39、解即可.解题的关键是构造相似三角形将多线段和的最值转化在一条线段上求解.7.(2019泰州姜堰一模)如图,点C为的中点,CHAB于H,CH=1,AB=2,点P为上一动点,延长BP至点Q,使BPBQ=AB2.若点P由点A运动到点C,则点Q运动的路径长为.AB3AC答案答案23解析解析如图所示:连接AQ,AP,BC,AC.BPBQ=AB2,=,又ABP=QBA,ABPQBA,APB=QAB.CH=1,CHAB,CHB=90,BPABABBQ又AB=2,C为的中点,BH=,tanCBH=,CBH=30,ACB=APB=QAB=120.当P在C点处时,AQB=30,AQ=AB=2.当点P在A点处时,Q
40、与A重合,当点P在C点处时,Q运动到最远处,点Q运动的路径长为2.3AB33333三、解答题(共29分)8.(2019常州一模,23)如图,O经过正方形网格中的格点A、B、C、D,请你仅用网格中的格点及无刻度的直尺分别在图1、图2、图3中画出一个满足下列两个条件的P.(1)顶点P在O上且不与点A、B、C、D重合;(2)P在图1、图2、图3中的正切值分别为1、2.12解析解析点P的位置有多种,参考答案如下:9.(2018南通如皋一模,25)如图,线段AB是O的直径,弦CDAB于点H,P是圆上任意一点,AH=2,CH=4.(1)求O的半径r的长度;(2)求sinCPD.解析解析(1)如图,连接OC
41、.ABCD,CHO=90.在RtCOH中,OC=r,OH=r-2,CH=4,r2=42+(r-2)2,r=5.(2)连接OD.ABCD,AB是直径,=.AOC=COD.CPD=COD,CPD=COA.在RtOCH中,sinCOH=.sinCPD=sinCOA=.ADAC12CD1212CHOC4545考查要点考查要点本题考查垂径定理、勾股定理、锐角三角函数等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用转化的思想思考问题.10.(2020南京联合体一模,25)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=9,点E是BC边上一动点,连接AE、DE,作ECD的外接圆O,交AD于点F,交AE于点G,连
42、接FG.(1)求证:AFGAED;(2)当BE的长为时,AFG为等腰三角形;(3)如图,若BE=1,求证:AB与O相切.解析解析(1)证明:四边形FGED是O的内接四边形,FGE+ADE=180.(1分)AGF+FGE=180,AGF=ADE.(2分)又GAF=DAE,AFGAED.(3分)(2)3、9-3.(6分)详解:O是ECD的外接圆,ECD=90,DE是O的直径,连接EF,则DFE=90,AFE=180-DFE=90.BAF=ABE=AFE=90,四边形ABEF是矩形,AF=BE,EF=AB=6,5925由(1)知AFGAED,当AFG是等腰三角形时,AED是等腰三角形,分三种情况:当
43、AE=DE时,DFE=90,EFAD,又AE=DE,AF=DF=AD=9=,BE=AF=.当DE=AD=9时,在RtDCE中,ECD=90,DE=9,DC=6,CE=3,BE=BC-EC=9-3.当AE=AD=9时,1212929222-DE DC229-655在RtABE中,ABE=90,AE=9,AB=6,BE=3.综上所述,当BE的长为或9-3或3时,AFG为等腰三角形.(3)证明:过O作OHAB于点H,反向延长OH交CD于点I,AHI=90,在矩形ABCD中,BAD=ADC=90,则AHI=BAD=ADC=90,四边形AHID为矩形,22-AE AB229-659255HI=AD=9,
44、OID=90,即OICD,DI=CD=3,BE=1,BC=9,EC=8,BCD=90,DE为直径,OD为半径,在RtDEC中,由勾股定理得DE=10,OD=5,在RtDIO中,由勾股定理得IO=4.(7分)OH=HI-OI=9-4=5.(8分)OH是O的半径,又OHAB,AB与O相切.(9分)1222-OD DI11.(2019南京联合体一模)如图,在 ABCD中,连接AC,O是ABC的外接圆,O交AD于点E,连接CE.(1)求证:CE=CD;(2)若ACB=DCE.求证:CD与O相切;O的半径为5,BC的长为4,则AE=.5解析解析(1)证明:四边形ABCD为平行四边形,B=D,DEC+AE
45、C=180,B+AEC=180,DEC=B,DEC=D,CE=CD.(2)证明:如图,连接CO并延长,交O于M,连接EM,四边形ABCD为平行四边形,ADBC,DAC=ACB,ACB=DCE,DAC=DCE,DAC=M,DCE=M,CM为O的直径,MEC=90,M+ECM=90,DCE+ECM=90,CDCM,CD与O相切.如图,设CM与AB交于点H,四边形ABCD为平行四边形,ABCD,AB=CD,BHC=DCM=90,CHAB,AH=BH,CA=CB.过点O作ONBC于点N,则CN=BN=CB=2.在RtONC中,ON=,OCN=BCH,ONC=CHB=90,12522-OC CN5CONCBH,=,即=,BH=4,AB=2BH=8,CD=CE=8,=1,DCE=ACB,DCEACB,=,即=,DE=,AD=BC=4,AE=AD-DE=.COCBONBH54 55BHCDCECACBDCCADEAB84 58DE16 5554 55
