1、第第31课时课时 概概 率率 （每年第每年第22题必考题必考1道，道，7分分） 目 录 点对点点对点“过过”考点考点 1 典例典例“串串”考点考点 2 3 陕西陕西5年真题、副题年真题、副题“明明”考法考法 点对点点对点“过过”考点考点 【对接教材】【对接教材】北师：七下第六章北师：七下第六章P135P159，九上第三章，九上第三章P59P74； 人教：九上第二十五章人教：九上第二十五章P126P153. 概率 事件的分类 必然事件 不可能事件 随机事件 概率的计算 公式法 列举法求概 率 频率估计概 率 几何概型 游戏公平性 事件的分类事件的分类 考点考点 1 事件类型事件类型 定义定义 概
2、率概率 必然事件 在一定条件下，有些事件必然会发生 _ 不可能事件 在一定条件下，有些事件必然不会发生 _ 随机事件 在一定条件下，有可能发生，也有可能不 发生的事件 01之间 1 0 返回思维导图返回思维导图 概率的计算概率的计算 考点考点 2 1. 公式法：一般地，如果在一次试验中，有公式法：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能种可能的结果，并且它们发生的可能 性都相等，事件性都相等，事件A包含其中的包含其中的m种结果，那么事件种结果，那么事件A发生的概率发生的概率P(A)_. 2. 用列举法求概率用列举法求概率 (1)列表法：当一次试验涉及两个因素，并且可能出现
3、的结果数目较多时，为了不列表法：当一次试验涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为了不 重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法，再根据公式法计算概率；重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法，再根据公式法计算概率； 列表法求概率列表法求概率(当涉及两步试验时，如下表当涉及两步试验时，如下表) A1 A2 A3 B1 (A1，B1) (A2，B1) (A3，B1) B2 (A1，B2) (A2，B2) (A3，B2) m n 返回思维导图返回思维导图 (2)画树状图法：当一次试验涉及三个或更多因素，列表就不方便了，为了不重画树状图法：当一次试验涉及三个或更多因素，列表就不方便了，为了
4、不重 不漏地列出所有可能的结果，通常采用画树状图法，再根据公式法计算概率不漏地列出所有可能的结果，通常采用画树状图法，再根据公式法计算概率 画树状图求概率画树状图求概率(当涉及两步及两步以上试验时，如下图当涉及两步及两步以上试验时，如下图) 返回思维导图返回思维导图 3. 利用频率估计概率利用频率估计概率 一般地，在大量重复试验中，如果事件一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率发生的频率 稳定于某个常数稳定于某个常数p，那么事，那么事 件件A发生的概率发生的概率P(A)_(0P(A)1) 【提分要点】频率与概率在试验中可以非常接近，但不一定相等，用频率估计概【提分要点】频率与概率在试验
5、中可以非常接近，但不一定相等，用频率估计概 率的大小，必须在相同条件下，试验次数越多越能较好地估计概率率的大小，必须在相同条件下，试验次数越多越能较好地估计概率 4. 几何概型几何概型 m n A P A() 构构成成事事件件 的的区区域域长长度度（面面积积或或体体积积等等） 全全部部结结果果所所构构成成的的区区域域长长度度（面面积积或或体体积积等等） 5. 游戏公平性游戏公平性 判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相同的前提下，如果对于参加游判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相同的前提下，如果对于参加游 戏的每一个人获胜的概率都相等，则游戏公平，否则不公平戏的每一个人获胜的概率
6、都相等，则游戏公平，否则不公平 p 返回思维导图返回思维导图 典例典例“串串”考点考点 例例 1 下列说法正确的是下列说法正确的是_ 了解了解“某市初中生每天课外阅读书籍时间的情况某市初中生每天课外阅读书籍时间的情况”最适合的调查的方式是全面调查；最适合的调查的方式是全面调查； “任意画一个三角形，其内角和为任意画一个三角形，其内角和为180”这一事件是不可能事件；这一事件是不可能事件； “篮球队员在罚球线上投篮一次，投中篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件；为随机事件； 任意掷一枚质地均匀的硬币任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有次，一定有5次向上；次向上； 天气预报说天气预报说“
7、明天的降水概率为明天的降水概率为40%”，表示明天有，表示明天有40%的时间都在降雨；的时间都在降雨； 盒子中有白色乒乓球和黄色乒乓球若干个，某同学进行了如下实验：每次摸出一盒子中有白色乒乓球和黄色乒乓球若干个，某同学进行了如下实验：每次摸出一 个乒乓球，记下它的颜色再放回如此重复个乒乓球，记下它的颜色再放回如此重复360次，摸出白色乒乓球次，摸出白色乒乓球90次，由此估计次，由此估计 摸出白色乒乓球的概率为摸出白色乒乓球的概率为 . 1 4 例例2 在一个不透明的口袋中装有分别标有数字在一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3，4的四个小球，除数字的四个小球，除数字 不同外，小球没有任何
8、区别，每次试验前先搅拌均匀不同外，小球没有任何区别，每次试验前先搅拌均匀 (1)随机摸出一个小球，求小球上的数字大于随机摸出一个小球，求小球上的数字大于3的概率；的概率； (1)不透明的口袋中装有分别标有数字不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3，4的四个小球，小球上的数的四个小球，小球上的数 字大于字大于3的只有的只有4， P(小球上的数字大于小球上的数字大于3) ； 1 4 (2)若甲先随机摸出一个小球，不放回，乙再随机摸出一个小球，求甲摸出的小若甲先随机摸出一个小球，不放回，乙再随机摸出一个小球，求甲摸出的小 球上的数字大于乙的概率；球上的数字大于乙的概率； 画树状图如解图画树状图如解
9、图： 由树状图可知，共有由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中甲摸出的小种等可能的结果，其中甲摸出的小 球上的数字大于乙的情况有球上的数字大于乙的情况有6种，种， P(甲摸出的小球上的数字大于乙甲摸出的小球上的数字大于乙) ； 例2题解图 6 12 1 2 (3)若甲先随机摸出一个小球，放回后，乙再随机摸出一个小球，求甲摸出的小球若甲先随机摸出一个小球，放回后，乙再随机摸出一个小球，求甲摸出的小球 上的数字大于乙的概率；上的数字大于乙的概率； 画树状图如解图画树状图如解图： 由树状图可知，共有由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中甲摸出的小球上的数字大种等可能的结果，其中甲摸出的小球上
10、的数字大 于乙的情况有于乙的情况有6种，种， P(甲摸出的小球上的数字大于乙甲摸出的小球上的数字大于乙) ； 例2题解图 6 16 3 8 (4)若甲同时从口袋里摸出两个球，求摸出的两个小若甲同时从口袋里摸出两个球，求摸出的两个小 球上的数字之积为奇数的概率；球上的数字之积为奇数的概率； 画树状图如解图画树状图如解图： 由树状图可知，共有由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两个小球上的数字之积为奇数的种等可能的结果，其中两个小球上的数字之积为奇数的 结果有结果有2种，种， P(两个小球上的数字之积为奇数两个小球上的数字之积为奇数) ； 例2题解图 2 12 1 6 (5)另有一个平均分成
11、另有一个平均分成3等份的转盘，分别标有数字等份的转盘，分别标有数字5，6，7.甲、乙二人在一起游甲、乙二人在一起游 戏，甲从口袋中随机摸出一个小球，记下球上的数字乙转动转盘一次，记录下戏，甲从口袋中随机摸出一个小球，记下球上的数字乙转动转盘一次，记录下 转盘停止后指针所指区域的数字转盘停止后指针所指区域的数字(若指针指向两个区域的交线，则重新转动转盘若指针指向两个区域的交线，则重新转动转盘 )甲、乙分别记录的数字之和为偶数，则甲胜，否则为乙胜；这个游戏对甲乙甲、乙分别记录的数字之和为偶数，则甲胜，否则为乙胜；这个游戏对甲乙 双方公平吗？说明理由双方公平吗？说明理由 公平，理由：画树状图如解图公
12、平，理由：画树状图如解图， 由树状图可知，共有由树状图可知，共有12种等可能的结果，其种等可能的结果，其 中数字之和为偶数的结果共有中数字之和为偶数的结果共有6种，种， P(甲胜甲胜) ，P(乙胜乙胜)1 ， P(甲胜甲胜)P(乙胜乙胜)， 游戏公平游戏公平 例2题解图 6 12 1 2 1 2 1 2 陕西陕西5年真题、副题年真题、副题“明明”考法考法 命题点命题点 概率的计算概率的计算( (必考必考) ) 1. (2016陕西陕西22题题7分分)某超市为了答谢顾客，凡在本超市购物的顾客，均可凭购物某超市为了答谢顾客，凡在本超市购物的顾客，均可凭购物 小票参与抽奖活动奖品是三种瓶装饮料，它们
13、分别是：绿茶小票参与抽奖活动奖品是三种瓶装饮料，它们分别是：绿茶(500 mL)、红茶、红茶(500 mL)和可乐和可乐(600 mL)抽奖规则如下：抽奖规则如下：如图，是一个材质均匀可自由转动的转盘，如图，是一个材质均匀可自由转动的转盘， 转盘被等分成五个扇形区域，每个区域上分别写有转盘被等分成五个扇形区域，每个区域上分别写有“可可”、“绿绿”、“乐乐”、“茶茶”、“红红” 字样；字样；参与一次抽奖活动的顾客可进行两次参与一次抽奖活动的顾客可进行两次“有效随机转动有效随机转动”(当转动转盘，转盘当转动转盘，转盘 停止后，可获得指针所指区域的字样，我们称这次转动为一次停止后，可获得指针所指区域
14、的字样，我们称这次转动为一次“有效随机转动有效随机转动”)； 假设顾客转动转盘，转盘停止后，指针指向两区域的边界，顾客可以再转动转盘，假设顾客转动转盘，转盘停止后，指针指向两区域的边界，顾客可以再转动转盘， 直到转动为一次直到转动为一次“有效随机转动有效随机转动”；当顾客完成一次抽奖活动后，记下两次指针所当顾客完成一次抽奖活动后，记下两次指针所 指区域的两个字，只要这两个字和奖品名称的两个字相同指区域的两个字，只要这两个字和奖品名称的两个字相同(与字的顺序无关与字的顺序无关)，便，便 可获得相应奖品一瓶；不相同时，不能获得任何奖品可获得相应奖品一瓶；不相同时，不能获得任何奖品 根据以上规则，回
15、答下列问题：根据以上规则，回答下列问题： (1)求一次求一次“有效随机转动有效随机转动”可获得可获得“乐乐”字的概率；字的概率； (2)有一名顾客凭本超市的购物小票，参与了一次抽奖活动请你用列表或画树有一名顾客凭本超市的购物小票，参与了一次抽奖活动请你用列表或画树 状图等方法，求该顾客经过两次状图等方法，求该顾客经过两次“有效随机转动有效随机转动”后，获得一瓶可乐的概率后，获得一瓶可乐的概率 第1题图 1. 解：解：(1)P(一次一次“有效随机转动有效随机转动”可获得可获得“乐乐”字字) ；(2分分) (2)由题意，列表如下：由题意，列表如下： 1 5 第二次 第一次 可 绿 乐 茶 红 可
16、(可，可) (可，绿) (可，乐) (可，茶) (可，红) 绿 (绿，可) (绿，绿) (绿，乐) (绿，茶) (绿，红) 乐 (乐，可) (乐，绿) (乐，乐) (乐，茶) (乐，红) 茶 (茶，可) (茶，绿) (茶，乐) (茶，茶) (茶，红) 红 (红，可) (红，绿) (红，乐) (红，茶) (红，红) (5分分)由表格可知，共有由表格可知，共有25种等可能的结果，其中获得一瓶可乐的结果种等可能的结果，其中获得一瓶可乐的结果 共有两种：共有两种：(可，乐可，乐)，(乐，可乐，可)P(该顾客获得一瓶可乐该顾客获得一瓶可乐) .(7分分) 2 25 2. (2018陕西陕西22题题7分分
17、)如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标 有数字的扇形区域，其中标有数字有数字的扇形区域，其中标有数字“1”的扇形的圆心角为的扇形的圆心角为120.转动转盘，待转盘自转动转盘，待转盘自 动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字此时，动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字此时， 称为转动转盘一次称为转动转盘一次(若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘， 直到指针指向一个扇形的内部为止直到指针指向一个扇形
18、的内部为止) (1)转动转盘一次，求转出的数字是转动转盘一次，求转出的数字是2的概率；的概率； (2)转动转盘两次，用树状图或列表法求这两次分转动转盘两次，用树状图或列表法求这两次分 别转出的数字之积为正数的概率别转出的数字之积为正数的概率 第2题图 解：解：(1)由题意知数字由题意知数字1、3所在的扇形的圆心角度数都为所在的扇形的圆心角度数都为120， 数字数字2所在的两个扇形圆心角的度数之和为所在的两个扇形圆心角的度数之和为120， P(转出的数字是转出的数字是2) ； (2分分) 120 360 1 3 (2)由题意画树状图如解图：由题意画树状图如解图： (6分分) 由树状图可知，转动转
19、盘两次，这两次转出的数字之积共有由树状图可知，转动转盘两次，这两次转出的数字之积共有9种等可能的结种等可能的结 果，其中两数字之积为正数的结果有果，其中两数字之积为正数的结果有5种，种， P(这两次分别转出的数字之积为正数这两次分别转出的数字之积为正数) . (7分分) 第2题解图 5 9 3. (2017陕西陕西22题题7分分)端午节端午节“赛龙舟，吃粽子赛龙舟，吃粽子”是中华民族的传统习俗节日期间，是中华民族的传统习俗节日期间， 小邱家包了三种不同馅的粽子，分别是：红枣粽子小邱家包了三种不同馅的粽子，分别是：红枣粽子(记为记为A)，豆沙粽子，豆沙粽子(记为记为B)，肉，肉 粽子粽子(记为记
20、为C)这些粽子除了馅不同，其余均相同粽子煮好后，小邱的妈妈给一这些粽子除了馅不同，其余均相同粽子煮好后，小邱的妈妈给一 个白盘中放入了两个红枣粽子，一个豆沙粽子和一个肉粽子；给一个花盘中放入了个白盘中放入了两个红枣粽子，一个豆沙粽子和一个肉粽子；给一个花盘中放入了 两个肉粽子，一个红枣粽子和一个豆沙粽子两个肉粽子，一个红枣粽子和一个豆沙粽子 根据以上情况，请你回答下列问题：根据以上情况，请你回答下列问题： (1)假设小邱从白盘中随机取一个粽子，恰好取到红枣粽子的概率是多少？假设小邱从白盘中随机取一个粽子，恰好取到红枣粽子的概率是多少？ (2)若小邱先从白盘里的四个粽子中随机取一个粽子，再从花盘
21、里的四个粽子中随若小邱先从白盘里的四个粽子中随机取一个粽子，再从花盘里的四个粽子中随 机取一个粽子，请用列表法或画树状图的方法，求小邱取到的两个粽子中一个是红机取一个粽子，请用列表法或画树状图的方法，求小邱取到的两个粽子中一个是红 枣粽子、一个是豆沙粽子的概率枣粽子、一个是豆沙粽子的概率 解：解：(1)共有共有4种等可能的结果，其中取到红枣粽子的结果有种等可能的结果，其中取到红枣粽子的结果有2种，种， P(恰好取到红枣粽子恰好取到红枣粽子) ；(2分分) 1 2 (2)由题意，列表如下：由题意，列表如下： 花盘 白盘 A B C1 C2 A1 (A1，A) (A1，B) (A1，C1) (A1
22、，C2) A2 (A2，A) (A2，B) (A2，C1) (A2，C2) B (B，A) (B，B) (B，C1) (B，C2) C (C，A) (C，B) (C，C1) (C，C2) (6分分) 由表格可知，共有由表格可知，共有16种等可能的结果，其中小邱取到的两个棕种等可能的结果，其中小邱取到的两个棕 子中一个是红枣粽子、一个是豆沙粽子的结果有子中一个是红枣粽子、一个是豆沙粽子的结果有3种，种， P(取到一个是红枣粽子、一个是豆沙粽子取到一个是红枣粽子、一个是豆沙粽子) .(7分分) 3 16 4. (2018陕西副题陕西副题22题题7分分)为了继承和发扬延安精神，满足青少年热爱红色革命
23、根为了继承和发扬延安精神，满足青少年热爱红色革命根 据地，了解延安革命历程的愿望，相关部门在当地中小学选拔了一批优秀共青团据地，了解延安革命历程的愿望，相关部门在当地中小学选拔了一批优秀共青团 员和少先队员，组织他们利用节假日，在红色革命旧址员和少先队员，组织他们利用节假日，在红色革命旧址(纪念馆纪念馆)做做“小小讲解员小小讲解员 ”每位每位“小小讲解员小小讲解员”都要通过抽签的方式确定各自的讲解地点，讲解地点有：都要通过抽签的方式确定各自的讲解地点，讲解地点有：A. 枣园革命旧址，枣园革命旧址，B.杨家岭革命旧址，杨家岭革命旧址，C.延安革命纪念馆，延安革命纪念馆，D.鲁艺学院旧址抽签鲁艺学
24、院旧址抽签 规则如下：规则如下： 将正面分别写有字母将正面分别写有字母A、B、C、D的四张卡片的四张卡片(除了正面字母不同外，其余均相同除了正面字母不同外，其余均相同) 背面朝上，洗匀，先由一位背面朝上，洗匀，先由一位“小小讲解员小小讲解员”随机抽取一张卡片，这张卡片上的字母随机抽取一张卡片，这张卡片上的字母 表示的讲解地点，即为他抽取的讲解地点，然后将卡片放回、洗匀，再由下一位表示的讲解地点，即为他抽取的讲解地点，然后将卡片放回、洗匀，再由下一位“ 小小讲解员小小讲解员”抽取已知小明和小亮都是抽取已知小明和小亮都是“小小讲解员小小讲解员” (1)求小明抽到的讲解地点是求小明抽到的讲解地点是“
25、A.枣园革命旧址枣园革命旧址”的概率；的概率； (2)请用列表或画树状图的方法，求小明与小亮抽到同一讲解地点的概率请用列表或画树状图的方法，求小明与小亮抽到同一讲解地点的概率 解：解：(1)共有共有4种等可能的结果，其中小明抽到的讲解地点是种等可能的结果，其中小明抽到的讲解地点是“A.枣园革命旧址枣园革命旧址”的的 结果有结果有1种，种， P(小明抽到的讲解地点是小明抽到的讲解地点是“A.枣园革命旧址枣园革命旧址”) ；(2分分) (2)列表如下：列表如下： 1 4 小亮 小明 A B C D A AA AB AC AD B BA BB BC BD C CA CB CC CD D DA DB
26、DC DD (5分分) 由表格可知，共有由表格可知，共有16种等可能的结果，种等可能的结果， 其中小明和小亮抽到同一讲解地点的结其中小明和小亮抽到同一讲解地点的结 果有果有4种，种， P(小明与小亮抽到同一讲解地点小明与小亮抽到同一讲解地点) .(7分分) 1 4 5. (2019陕西陕西22题题7分分)现有现有A、B两个不透明的袋子，分别装有两个不透明的袋子，分别装有3个除颜色外完全相个除颜色外完全相 同的小球，其中，同的小球，其中，A袋装有袋装有2个白球，个白球，1个红球；个红球；B袋装有袋装有2个红球，个红球，1个白球个白球 (1)将将A袋摇匀，然后从袋摇匀，然后从A袋中随机摸出一个小球
27、，求摸出的小球是白色的概率；袋中随机摸出一个小球，求摸出的小球是白色的概率； (2)小林和小华商定了一个游戏规则，从摇匀后的小林和小华商定了一个游戏规则，从摇匀后的A、B两袋中各随机摸出一个小两袋中各随机摸出一个小 球，摸出的这两个小球，若颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，则小华获球，摸出的这两个小球，若颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，则小华获 胜请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平胜请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平 解：解：(1)共有共有3种等可能的结果，其中摸出白球的结果有种等可能的结果，其中摸出白球的结果有2种，种， (1分分) P(摸出的小
28、球是白色摸出的小球是白色) ；(3分分) (2)根据题意，画树状图如解图：根据题意，画树状图如解图： 2 3 第5题解图 由树状图可知，共有由树状图可知，共有9种等可能的结种等可能的结 果，其中颜色相同的结果有果，其中颜色相同的结果有4种，颜种，颜 色不同的结果有色不同的结果有5种，种， P(颜色相同颜色相同) ， P(颜色不同颜色不同) .(6分分) 这个游戏规则对双方不公平这个游戏规则对双方不公平(7分分 ) 4 9 5 9 4 9 5 9. 6. (2015陕西陕西22题题7分分)某中学要在全校学生中举办某中学要在全校学生中举办“中国梦中国梦 我的梦我的梦”主题演讲比赛，主题演讲比赛，
29、要求每班选一名代表参赛九年级要求每班选一名代表参赛九年级(1)班经过投票初选，小亮和小丽票数并列班级班经过投票初选，小亮和小丽票数并列班级 第一，现在他们都想代表本班参赛经班长与他们协商决定，用他们学过的掷骰子第一，现在他们都想代表本班参赛经班长与他们协商决定，用他们学过的掷骰子 游戏来确定谁去参赛游戏来确定谁去参赛(胜者参赛胜者参赛) 规则如下：两人同时随机各掷一枚完全相同且质地均匀的骰子一次，向上一面的点规则如下：两人同时随机各掷一枚完全相同且质地均匀的骰子一次，向上一面的点 数都是奇数，则小亮胜；向上一面的点数都是偶数，则小丽胜；否则，视为平数都是奇数，则小亮胜；向上一面的点数都是偶数，
30、则小丽胜；否则，视为平 局若为平局，继续上述游戏，直至分出胜负为止局若为平局，继续上述游戏，直至分出胜负为止 如果小亮和小丽按上述规则各掷一次骰子，那么请你解答下列问题：如果小亮和小丽按上述规则各掷一次骰子，那么请你解答下列问题： (1)小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是多少？小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是多少？ (2)该游戏是否公平？请用列表或树状图等方法说明理由该游戏是否公平？请用列表或树状图等方法说明理由(骰子：六个面上分别骰子：六个面上分别 刻有刻有1、2、3、4、5、6个小圆点的小正方体个小圆点的小正方体) 解：解：(1)P(小亮掷得向上一面的点数为奇数小亮掷得向上一面的点数
31、为奇数) ；(2分分) (2)游戏公平游戏公平(3分分) 列表如下：列表如下： 3 6 1 2 小丽 小亮 1 2 3 4 5 6 1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6) 2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6) 3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) (3，6) 4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) (4，6) 5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) (5，6) 6 (6，1) (6，2) (6，3) (6，4) (6，5) (6，6) 由表格可知，共有由表格可知，共有36种等可能的结果，其中小亮、小丽获胜各有种等可能的结果，其中小亮、小丽获胜各有9种结果，种结果， P(小亮胜小亮胜) ， P(小丽胜小丽胜) ， P(小亮胜小亮胜)P(小丽胜小丽胜)， 该游戏是公平的该游戏是公平的(7分分) 9 36 1 4 9 36 1 4 点击链接至练习册点击链接至练习册
