1、圆锥曲线焦点弦问题研究 摘 要： 圆锥曲线的焦点弦问题经常出现在平时的考试中， 特别是与焦点弦被焦点分成两条焦半径之 比有关的问题更是显得突出 获取解决圆锥曲线焦点弦有关问题的通性通法及重要结论， 往往能给我们提供 解题新思路或增强解题的高效性 关键词： 抛物线； 双曲线； 椭圆； 焦点弦 圆锥曲线的焦点弦问题经常出现在各种考试 中， 特别是与焦点弦被焦点分成两条焦半径之比有 关的问题更是显得突出 圆锥曲线焦点弦性质较为 丰富， 如果我们勤于思考， 主动探究， 获取解决圆锥 曲线焦点弦有关问题的通性通法及重要结论， 往往 能给我们提供解题新思路或增强解题的高效性 例 （ 年“ 安徽省示范性高中
2、皖北协作区” 第 届高三联考理科数学第 题）已知点为抛物 线： 的焦点， 直线过点且与抛物线交 于，两点， 点在第一象限，（，） ， 若 （ ， 分别表示 ， 的面积） ， 则直线的斜率的取值范围为 解法 如图所示， 令直线的方程为 （ 显然直线的斜率不为） ， 代入抛物线的方 程 并整理得 设（ ， ） ，（，） ， 则由韦达定理得， ， 由求根公式得 （ 槡） 图 因为 ， 即 ， 所以 ， 即 （ 槡） ， 解得槡 槡 槡 ， 即 槡 槡 槡 ， 故 槡 槡 本题正确答案是槡 ， 槡 点评 这里利用两三角形有公共边 在轴 上， 将两三角形面积比转化为 ， 进一步变形为 ， 从而利用韦达定
3、理及求根公式进行代换得 到 （ 槡） ， 进而得到的范围， 即的范围 当然， 也可以直接利用求根公式， 将两 根代入 得 槡 槡 ， 即 （ 槡） ， 与前面解法相同 解法 令直线的方程为（） （ 显然 直线的斜率存在且不为） ， 代入抛物线的方程 并整理得 （ ） 令（， ） ，（，） ， 方程的根的判别式 （ ） ， 由求 根公式得 （ ） 槡 ， （ ） 槡 因为 ， 即 ， 故 （ ） 槡 （ ） 槡 ， 解得 槡， 所以槡 槡 因为 ， 所以直线的斜率 ， 所以 槡 ，槡 点评 解法与解法在本质上是相同的， 只 不过直线的方程形式不同， 另外利用了抛物线的 焦半径公式 ， 同理 ，
4、将面积比转化为焦半径之比， 然后进一步通 过求根公式进行代换求得的范围 解法 设直线的倾斜角为， 因为 为抛 物线： 的焦点弦， 所以焦半径 ， ， 故 因为 ， 解 得 ， 故 槡 槡 ， 即 槡 ，槡 点评 相比前两种解法， 解法来得简单些 这里充分利用抛物线的焦半径公式， 把 （ 即 ）用 表示， 从而得到 的范围， 进一 步得到 的范围（ 即斜率的范围） 例 （ “ 年全国高三统一联考” （ 河北衡水 中学命题） 理科数学第 题） 已知双曲线： （，） 的左、 右焦点分别为 ， ， 过 的直线与交于，（ 其中点在轴上方）两 点， 且满足 若 的离心率为 ， 直线 的倾斜角为 ， 则实数
5、的值是 解法 如图所示， 因为双曲线的离心率为 ， 所以 ， 故 因此双曲线方程 可化为 令直线的方程为槡（） ， 即 槡（ ） 把式代入式并整理得 ， 解得 ， 令（， ） ，（，） ， 因为 ， 所 以（） ， 即 （ ） ， 解得 点评 本解法是直接法， 直接由直线方程与曲 线方程联立求出交点横坐标， 然后利用向量的坐标 表示得到关于的方程， 从而求出 的值 图 图 解法 如图所示， 由 可得 （槡） ， 故直线与双曲线的右支交 于，两点， 又 ， 设 ， 则 根据双曲线定义， ， 在 和 中， 由余弦定理得 （ ） （） （ ） （ ） （） 并整理得 点评 解法与解法的解题思路差别很
6、大， 本解法利用了双曲线的定义和设而不求的思想及余 弦定理得到和离心率的关系， 从而解决问题另 外利用一对邻补角起了消参的作用 解法 如图所示， 过点向双曲线的右准 线 作垂线， 垂足为 ， 令 ， 过 作 轴， 垂足为 令直线的倾斜角为， 即 由圆锥曲线第二定义（ 统一定义） 得 ， 即 （ ） ， 于是可得 （ ） 同理可得 （ ） 又因为 ， 所以 点评 相比前两种解法， 解法来得更简单， 特别是如果能记住结论 ， 那么这道联考填空题压轴题可“ 秒杀” ， 大大节省考 试时间， 很划算！ 不过， 对于圆锥曲线的第二定义， 高 考考试大纲不做要求， 可能许多老师上课也没讲， 故 学生考试时
7、可能想不到这种方法 图 图 例 （ 数学周报 年高考第一轮复习检 测题（ ） 理科第 题） 已知椭圆： （ ） 与抛物线： 相交于， 两点， 且两 曲线的焦点重合 （）求， 的方程； （） 若过焦点的直线与椭圆分别交于， 两点， 与抛物线分别交于，两点， 是否存在斜率 为（ ） 的直线， 使得 ？ 若存在， 求出 的值； 若不存在， 请说明理由 解 （）因 为，的 焦 点 重 合，所 以 槡 ， 解得 ， 于是椭圆的方程为 ， 抛物线的方程为 （ ）解法 如图所示， 假设存在斜率为 直线使得 ， 则它的方程为（ ） ， 令（，） ，（，） ，（，） ，（，） 由 ， （ ） 得 （ ） 由韦达
8、定理得 ， ， 故 槡 槡 （ ） 槡 槡 （ ） 槡 （ ） 由 ， （ 烅 烄 烆 ） 得 （ ） 由韦达定理得 ， ， 所以 槡 槡 （ ） 槡 槡 （ ） 槡 （ ） 若 ， 则 （ ） （ ） ， 解得槡 故存在斜率为槡 的直线， 使得 点评 本解法属于通性通法： 由直线方程与曲 线方程联立得一元二次方程， 然后由韦达定理代入 弦长公式求弦长， 由已知条件得到关于斜率的方 程， 解方程得到 的值 解法 如图所示， 过点向椭圆的右准线 作垂线， 垂足为， 令， 过作 轴， 垂足为 令直线的倾斜角为， 即 由圆锥曲线第二定义（ 统一定义）得 ， 即 ， 于是可得 （ ） 同理可得 （ ）
9、 所以 （ ） （ ） （ ） （ ） 又抛物线的焦点弦长 ， 由已知 可得 ， 解得 ， 所以 ， 故 槡 即存在斜率为槡 的直线， 使得 图 图 【 规律总结】 对于抛物线， 如图所示， 倾斜角为的直线 过抛物线： （ ） 的焦点且与抛物线 交于，两点（ 其中点在轴上方） ， 则焦半径 ， ， 焦点弦长 ， 焦半径之比 ， 即 对于双曲线， 如图所示， 倾斜角为的直线 过双曲线： （ ， ） 的右焦点 且与的右支交于，两点（ 其中点在轴上 方） ， 则焦半径 （ ） ， （ ） ， 焦点弦长 （ ） ， 焦半径之比 ， 即 对于椭圆， 如图所示， 倾斜角为的直线过 椭圆： （ ） 右焦点且与交 于，两点（ 其中点在轴上方） ，则焦半径 （ ） ， （ ） ， 焦点弦长 （ ） ， 焦半径之比 ， 即 对于上述三种圆锥曲线： （ ）公式中的相当于 （ 即半通径） ， 相当 于 （ 即通径） ， 三种曲线焦点弦长可统一为 通径 （ ）三个结论 ， ， 可统一为 （ ）进一步拓展可得结论： 已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点， 过点的弦 与的焦点所在的轴的夹角为 ， 且 ， 则有
