1、 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 III 卷） 理科数学理科数学 一选择题 1、已知集合1|,2 , 1 , 0 , 1 2 xxBA，则BA（ ） A. 1 , 0 , 1 B. B.0,1 C. C.1 , 1 D. D.2 , 1 , 0 答案： A 解答： 11|1| 2 xxxxB，所以1 , 0 , 1BA. 2.若iiz2)1 (，则z（ ） A.i1 B.i1 C.i1 D.i1 答案： D 解答： iiz2)1 (,iii ii ii i i z 1)1 ( )1)(1 ( )1 (2 1 2 . 3.西游记 三国演义 水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为
2、中国古典小说 四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 位学生，其中阅读 过西游记或红楼梦的学生共有 90 位，阅读过红楼梦的学生共有 80 位，阅读过 西游记且阅读过红楼梦的学生共有 60 位，则该校阅读过西游记的学生人数与该 校学生总数比值的估计值为（ ） A.5 . 0 B.6 . 0 C.7 . 0 D.8 . 0 答案： C 解答： 7 . 0 100 608090 4. 42 )1)(21 (xx的展开式中 3 x的系数为（ ） A.12 B.16 C.20 D.24 答案： A 解答： 由题意可知含 3 x 的项为 331 4 233 4 121211
3、xxCxxC ，所以系数为12. 5.已知各项均为正数的等比数列 n a的前4项和为15，且 531 34aaa，则 3 a （） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 答案： C 解答： 设该等比数列的首项 1 a，公比q，由已知得， 42 111 34a qa qa， 因为 1 0a 且0q ，则可解得2q ，又因为 23 1(1 )15aqqq， 即可解得 1 1a ，则 2 31 4aa q. 6. 已知曲线xxaey x ln在点)1 (ae，处的切线方程为bxy 2，则（ ） A.ea,1b B.ea,1b C. 1 ea,1b D. 1 ea,1b 答案： D 解析： 令xx
4、aexf x ln)(，则1ln)(xaexf x ，21) 1 (aef，得 1 1 e e a. baef2) 1 (，可得1b.故选 D. 7.函数 3 2 22 xx x y 在 6,6的图像大致为（ ） A. B. C. D. 答案： B 解析： 3 2 ( ) 22 xx x yf x ， 33 2()2 ()( ) 2222 xxxx xx fxf x ，( )f x为奇函数，排 除选项 C.又 33 444 2 42 4 (4)8 222 f ，根据图像进行判断，可知选项 B 符合题意. 8.如图，点 为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段 的中点，则（ ） A.，且直线
5、，是相交直线 B.，且直线，是相交直线 C.，且直线，是异面直线 D.，且直线，是异面直线 答案： B 解析： 因为直线，都是平面内的直线，且不平行，即直线，是相交直线，设正方形 的边长为，则由题意可得：，根据余弦定理 可得：， ，所以，故选 B. 9.执行右边的程序框图，如果输出 为，则输出 的值等于（ ） A. B. C. D. 答案： C 解析： 第一次循环：； 第二次循环：； 第三次循环：； 第四次循环：； 第七次循环：， 此时循环结束，可得.故选 C. 10. 双曲线C： 22 1 42 xy 的右焦点为 F，点P为C的一条渐近线的点，O为坐标原点.若 | |POPF 则 PFO 的
6、面积为（ ） A: 3 2 4 B: 3 2 2 C: 2 2 D:3 2 答案: A 解析： 由双曲线的方程 22 0 42 xy 可得一条渐近线方程为 2 2 yx ；在 PFO 中| | |POPF 过 点 P 做 PH 垂直 OF 因为 2 t a nP O F = 2 得到 3 2 PO ;所以 1332 6 224 SP F O ;故选 A; 11. 若 ( )f x 是定义域为 R的偶函数，且在(0,) 单调递减，则（ ） A. 23 32 3 1 (log)(2)(2) 4 fff B. 23 32 3 1 (log)(2)(2) 4 fff C. 23 32 3 1 (2)(
7、2)(log) 4 fff D. 23 32 3 1 (2)(2)(log) 4 fff 答案： C 解析: 依据题意函数为偶函数且函数在 (0,) 单调递减，则函数在 (,0) 上单调递增；因为 333 1 (log)( log 4)(log 4) 4 fff ； 又 因 为 23 32 3 0221l o g4 ； 所 以 23 32 3 1 ( 2)( 2)( l o g) 4 fff ；故选 C. 12.设函数( )sin0 5 f xx ，已知( )f x在0 2，有且仅有5个零点，下述四个 结论： 1( )f x在0,2有且仅有3个极大值点 2( )f x在0,2有且仅有2个极小值
8、点 3( )f x在0, 10 单调递增 4的取值范围是 12 29 , 510 其中所有正确结论的编号是 A. 14 B.23 C.123 D.134 答案： D 解析： 根据题意，画出草图，由图可知 12 2,x x， 由题意可得， 1 2 5 5 6 5 x x ，解得 1 2 24 5 29 5 x x ， 所以 2429 2 55 ，解得12 29 510 ，故4 对； 令 52 x 得 3 0 10 x ，图像中y轴右侧第一个最值点为最大值点，故1 对； 12 2,x x，( )f x在0,2有2个或3个极小值点，故2 错； 1229 510 ，11 49 251051002 ，故
9、3 对. 二.填空题 13.已知a，b为单位向量，且0a b ，若25cab，则cos, a c . 答案： 2 3 解析： 2 222 25454 59cababa b，3c ， 2 25252a caabaa b ， 22 cos, 1 33 a c a c ac . 14.记 n S为等差数列 n a的前n项和，若 1 0a ， 21 3aa，则 10 5 S S . 答案： 4 解析： 设该等差数列的公差为d， 21 3aa， 11 3ada，故 11 20,0da ad， 110 1 10 15 51 10 2 292 10 2 4 5245 2 aa adSd aaSadd . 1
10、5.设 1 F 、 2 F为椭圆1 2036 22 yx C：的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若 21F MF 为等腰三角形，则M的坐标为_. 答案： )15, 3( 解析： 已知椭圆1 2036 22 yx C：可知，6a，4c，由M为C上一点且在第一象限，故等腰三角 形 21F MF中8 211 FFMF， 42 12 MFaMF, 4 15 8 28 sin 22 21 MFF,15sin 212 MFFMFyM， 代入 1 2036 22 yx C：可得3 M x.故M的坐标为)15, 3(. 16.学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型。如图，该模型为长方体 1111
11、DCBAABCD挖去四棱锥EFGHO后所得的几何体，其中O为长方体的中心， HGFE,分别为所在棱的中点，6 BCABcm，4 1 AAcm,3D 打印机所用原料密度 为 3 /9 . 0cmg，不考虑打印损耗，则作该模型所需原料的质量为 g. 答案： 8 .118 解答： 1232 2 1 464 EFGH S四边形 2 cm，132312 3 1 466V 3 cm. 8 .1181329 . 0Vmg. 三解答题 17.为了解甲，乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下实验：将 200 只小鼠随机分成 BA,两组，每组 100 只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只
12、小 鼠给服的溶液体积相同，摩尔溶度相同。经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠 体内离子的百分比，根据实验数据分别得到如下直方图： 记C为事件 “乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5” ， 根据直方图得到)(CP的估计值为 0.70. （1）求乙离子残留百分比直方图中ba,的值； （2）分别估计甲， 乙离子残留百分比的平均值 （同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） . 答案： 见解析 解答: （1）依题意得 12 . 015. 015. 005. 0 7 . 015. 02 . 0 ab a ，解得 1 . 0 35. 0 b a . （2）05. 4705. 061 . 052
13、. 043 . 032 . 0215. 0 0.05x3+0.1x4+0.15x5+0.35x6+0.2x7+0.15x8=6 得到甲离子残留百分比的平均值为 4.05,，乙离子残留百分比的平均值为 5.7. 18. ABC 的内角A B C ， ， 的对边分别为 , ,a b c .已知 sinsin 2 AC abA . (1 求 B; (2) 若 ABC 为锐角三角形，且 1c ，求 ABC 面积的取值范围. 答案： （1）3 （2）见解析 解析： 因 为 s i ns i ns i ns i n 2 B ABA ； 结 合 正 弦 定 理 sinsinsinsin 2 B ABA ,
14、得 cossin2sincos 222 BBB B ,即 1 sin 22 B ；得到 , 263 B B ； （2）因为 2 3 AC , 0, 2 A 0, 2 C 2 0, 32 C 所以 , 62 C 又因为 sinsinsin abc ABC , 1133 sin sinsin1 22 sin24sin cA SacBA CC ; 又 因 为 sin1 ( ,2) sin2 A C （因为 2 , 3 AC ,A C 为锐角，若 A越大sinA越大，则C越小sinC越小； sin sin A C 越大） ；所以 sin1 ( ,2) sin2 A C ，所以 33 (,) 82 S
15、. 19.图 1 是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中， ，.将其沿折起使得与重合，连结，如图 2. （1）证明：图 2 中的四点共面，且平面平面； （2）求图 2 中的二面角的大小. 答案： 见解析 解析： 证明： （1）由题意知，又，平面，又 平面， 平面平面. (2)分别取，的中点为 ， ，连结，则， 四边形为棱形，且60 ， ， 又平面， ，即平面， 以点 为坐标原点，分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系， ， ， ， 设平面的一个法向量为, ，令，则, 得到， 平面的一个法向量为， ,故二面角的大小为 . 20.已知函数 32 ( )2f xxaxb. （1）讨论( )f
16、x的单调性； （2）是否存在, a b， 使得( )f x在区间0,1的最小值为1且最大值为1？若存在， 求出, a b的 所有值；若不存在，说明理由. 答案： 见解析 解析： （1） 2 ( )626 () 3 a fxxaxx x 当0a时， 2 ( )60fxx，此时 ( )f x在(,) 单调递增. 当0a时，令( )0fx ，解得 3 a x 或0x，令( )0fx ，解得0 3 a x. 此时( )f x在(,0),(,) 3 a 单调递增，在(0,) 3 a 单调递减. 当0a时，令( )0fx ，解得0x或 3 a x ，令( )0fx ，解得0 3 a x. 此时( )f x
17、在(,),(0,) 3 a 单调递增，在(,0) 3 a 单调递减. 综上可得，当0a时，( )f x在(,) 单调递增. 当0a时，( )f x在(,0),(,) 3 a 单调递增，在(0,) 3 a 单调递减. 当0a时，( )f x在(,),(0,) 3 a 单调递增，在(,0) 3 a 单调递减. （2）由（1）中结论可知，当0a时，( )f x在0,1单调递增， 此时 minmax ( )(0)1, ( )(1)21f xfbf xfab ，0,1ab ，满足题意. 当0a时，若1 3 a ，即3a，则( )f x在0,1单调递减， 此时 minmax ( )(1)21, ( )(0
18、)1f xfabf xfb ，4,1ab，满足题意. 若1 3 a ，即03a，则( )f x在0, 3 a 单调递减，在,1 3 a 单调递增. 此时 323 min ( )( )21 327927 aaaa f xfabb (0),(1)2fb fba 当02a时， max ( )(1)21f xfba， 由可得3 3,3 31ab，与02a矛盾，故不成立. 当23a时， max ( )(0)1f xfb， 由可得 3 3 2,1ab，与23a矛盾，故不成立. 综上可知，0,1ab 或4,1ab满足题意. 21.已知曲线 2 : 2 x C y ，D为直线 1 2 y 上的动点.过D作C的
19、两条切线,切点分别是A,B, （1）证明：直线AB过定点; （2）若以 5 (0,) 2 E为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求四边形ADBE的 面积. 答案： 见解析； 解答： （1）当点D在 1 (0,) 2 时，设过D的直线方程为 0 1 2 yk x ，与曲线C联立化简得 2 0 210xk x ，由于直线与曲线相切，则有 2 0 440k ，解得 0 1k ， 并求得 ,A B坐标分别为 11 ( 1, ),(1, ) 22 ，所以直线AB的方程为 1 2 y ； 当点D横坐标不为0时，设直线AB的方程为ykxm（0k ） ，由已知可得直线 AB不过坐标原点即0m，联
20、立直线AB方程与曲线C的方程可得， 2 2 ykxm x y ， 消y并化简得 2 220xkxm，有两个交点 2 480km ， 设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy，根据韦达定理有， 12 2xxk， 12 2x xm ， 由已知可得曲线C为抛物线等价于函数 2 ( ) 2 x f x 的图像， 则有( )fxx，则抛物线在 11 ( ,)A x y上的切线方程为 111 ()yyx xx， 同理，抛物线在 22 (,)B xy上的切线方程为 222 ()yyx xx， 联立，并消去x可得 12 21 12 yyyy xx xx ， 由已知可得两条切线的交点在直线 1 2
21、y 上，则有 22 12 21 12 11 2222 xx xx xx ， 化简得， 1221 21 12 (1)() 2 x xxx xx x x ，0k ，12 xx， 即 12 12 1 1 2 x x x x ，即为 21 1 4 m m ，解得 1 2 m ，经检验 1 2 m 满足条件， 所以直线AB的方程为 1 2 ykx过定点 1 (0, ) 2 ， 综上所述，直线AB过定点 1 (0, ) 2 得证. （2）由（1）得直线AB的方程为 1 2 ykx， 当0k 时，即直线AB方程为 1 2 y ，此时点D的坐标为 1 (0,) 2 ， 以 5 (0, ) 2 E为圆心的圆与直
22、线AB相切于 1 (0, ) 2 F恰为AB中点， 此时 11 2 33 22 ADBE SAB ED ； 当0k 时，直线AB方程与曲线方程联立化简得 2 210xkx ， 12 2xxk， 12 1x x ， 2 12 21yyk， 则AB中点坐标为 2 1 ( ,) 2 H k k ， 由已知可得EHAB，即 2 15 22 1 0 EH k k kk k ， 解得，1k ， 由对称性不妨取1k ，则直线方程为 1 2 yx， 求得D的坐标为 1 (1,) 2 ，4AB ， E到直线AB距离 1 51 0 22 2 2 d ，D到直线AB距离 2 11 1 () 22 2 2 d ， 则
23、 12 11 4 2 22 ADBE SAB dAB d， 综上所述，四边形ADBE的面积为3或4 2. 四选做题（2 选 1） 22.如图，在极坐标系Ox中，)0 , 2(A,) 4 ,2( B,) 4 3 ,2( C,), 2(D,弧AB,BC,CD所在 圆的圆心分别是)0 , 1 (，) 2 , 1 ( ，), 1 (， 曲线 1 M是弧AB,曲线 2 M是弧BC， 曲线 3 M是弧CD. （1）分别写出 1 M, 2 M, 3 M的极坐标方程； （2）曲线M由 1 M, 2 M, 3 M构成，若点P在M上，且3OP,求P的极坐标. 答案： 见解答 解答： （1）由题意可知 1 M, 2
24、 M, 3 M的直角坐标方程为：)01 , 12( 1) 1( 22 yxyx， )21 , 11( 1) 1( 22 yxyx，) 10 , 12( 1) 1( 22 yxyx，所以 1 M, 2 M, 3 M的 极 坐 标 为) 4 0(cos2 ，) 4 3 4 (sin2 ， ) 4 3 (cos2 . （2）3cos2时， 2 3 cos， 6 ， 3sin2时， 2 3 sin， 3 或 3 2 ， 3cos2时， 2 3 cos， 6 5 ，所以P点的极坐标为) 6 , 3( ，) 3 , 3( ， ) 3 2 , 3( ，) 6 5 , 3( . 23.设Rzyx,，且1zyx
25、. （1）求 222 ) 1() 1() 1(zyx的最小值； （2）若 3 1 )() 1()2( 222 azyx成立，证明：3a或1a. 答案： 见解析 解析： （1）根据柯西不等式，4) 111(3) 1() 1() 1( 2222 zyxzyx 故 3 4 ) 1() 1() 1( 222 zyx， 当且仅当111zyx， 即 3 5 x， 3 1 zy时， 222 ) 1() 1() 1(zyx取最小值 3 4 ; （2）方法一：根据柯西不等式， 2222 )12(3)() 1()2(azyxazyx 13 3 1 )2( 2 a，证得3a或1a. 方法二：令), 1, 2(azyxm，) 1 , 1 , 1 (n， 有3)() 1()2(12 222 azyxnmazyxnm 13 3 1 ， 12a ，证得 3a 或 1a
