1、 - 1 - 广西南宁市 2017-2018 学年高二数学上学期第三次月考试题 理 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 已知等差数列 ?na 的公差为 2， 且 1124naa? ? ， 则 n? （ ） A 12 B 13 C 14 D 15 2 已知集合 ? ?032| 2 ? xxRxA ， ? ?mxRxB ? 1| ，若 Ax? 是 Bx? 的充分不必要条件，则实数 m 的取值范围为（ ） A ),3( ? B )3,1(? C ),3 ? D 3,1(? 3 下列函数中，既是 偶函数又在区间 ),0
2、( ? 上单调递减的是（ ） A 3xy? B |ln xy? C )2sin( xy ? ? D 12? xy 4 向量 ,ab满足 ? ? ? ?3 , 2 , 2 2a b a b a b? ? ? ? ? ? ?， 则 a 与 b 的夹角为 （ ） A 23?B3?C 56?D6?5 以下茎叶图记录了甲，乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位 :分） 甲组 乙组 9 0 9 x 2 1 5 y 8 7 4 2 4 已知甲组数据的中位数为 15,乙组数据的平均数为 8.16 ,则 yx, 的值分别为（ ） A 2， 5 B 5， 5 C 5， 8 D 8， 8 6 已知角 ?
3、的终边过点 ( 8 , 6 sin 30 )oPm? ，且 54cos ? ，则 m 的值为 ( ) A 21 B. 21? C 23? D. 23 7 已知抛物线 xy 42? 上一点 P 到焦点 F 的距离为 5，则 PFO? 的面积为 ( ) A 1 B. 2 C 3 D. 4 8 已知实数 ,xy满足 121yyxx y m? ?，如果目标函数 yxz ? 的最小值为 2? ，则实数 m 等于（ ） - 2 - A 4 B 2 C 0 D 1 9 已知 xbxaxf cossin)( ? 若 )4()4( xfxf ? ? ，则直线 0? cbyax 的倾斜角为（ ） A 4? B 3
4、? C. 32? D. 43? 10 某四面体的三视图如右图所示，正视图、俯视图都是腰长为 2的等腰 直角三角形，侧视图是边长为 2的正方形，则此四面体的体积是（ ） A 34 B 38 C 4 D 8 11 已知点 12,FF分别为椭圆 1C 与双曲线 2C 的公共焦点， 12,ee分别是 1C 和 2C 的离心率，若 P 是 1C 和 2C 在第一象限内交点， 221 ? PFF,则2111 ee? 的值可能在下列哪个区间（ ） A )2,1( B )3,2( C )4,3( D )5,4( 12 若实数 ,xy满足 0xy?，且 14 12x y x y?，则 xy? 的最小值为（ ）
5、A 3 234? B 3 256? C 3 246? D 3 249? 二、填空题 （本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分只填结果） 13 曲线 53xye? ? 在点 ? ?0, 2? 处 的切线方程为 _. 14 设正四面体的棱长为 2 ，则它的外接球的体积为 . 15直线 12 ? xy 与双曲线 148 22 ?yx 交于 BA, 两点，则 AB 的中点坐标为 . 16 已知椭圆方程为 )0(12222 ? babyax ， M是椭圆上一动点， 1F 和 2F 是左、右两焦点，由 2F 向 21MFF? 的外角平分线作垂线，垂足为 N，则 N点的轨迹方程为 . - 3 - 三、
6、解答题 （本大题共 6小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （本题满分 10分） 已知数列 ?na 是递增的等比数列，且 1 4 2 39, 8.a a a a? ? ? （ 1）求数列 ?na 的通项公式； （ 2）设 nS 为数列 ?na 的前 n 项和， 11nnnnab SS?，求数列 ?nb 的前 n 项和 nT 。 18 （本题满分 12分）在 ABC? 中，角 ,ABC 的对边分别为 ,abc，已知向量 )12co s2,(co s 2 ? CBm ， )2,( abcn ? ，且 0mn? . （ 1）求角 C 的大小； （ 2）若点 D 为 AB
7、上一点，且满足 32,7|, ? cCDDBAD ，求 ABC? 的面积 . 19.（本题满分 12分）某校 100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图： （ 1）求图中 a 的值； （ 2）根据频率分布直方图，估 计这 100 名学生期中考试数学成绩的平均分； （ 3）现用分层抽样的方法从第 3、 4、 5组中随机抽取 6名学- 4 - 生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取 2名，求其中恰有 1人的分数不低于 90分的概率？ 20.（本题满分 12分） 已知直线 1xy?与双曲线 2 22 1( 0)x yaa ? ? ?有两个不同的交点， 求双曲线离心率 e 的范围 . 21（本题
8、满分 12分）如右下图，在四棱 锥 ABCDP? 中，直线 ?PA 平面 ABCD ， BCAD/ ，ADAB? ， 4422 ? BEADABBC （ I）求证：直线 ?DE 平面 PAC . （ II）若直线 PE 与平面 PAC 所成的角的正弦值为 55 ，求二面角 DPCA ? 的平面角的余弦值 . GPA DB CE- 5 - 22.（本题满分 12 分） 设椭圆 )0(1:2222 ? babyaxC 的离心率 21?e ，右焦点到直线1?byax 的距离 ,721?d O 为坐标原点 . （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）过点 O 作两条互相垂直的射线，与椭圆 C 分别交于
9、A 、 B 两点，证明点 O 到直线 AB的 距离为定值，并求弦 AB 长度的最小值 . - 6 - 柳州铁一中学、南宁三中高二上学期联考 理科数学 试卷 答案 1 C 2 A 解析： ? ? )3,1(032| 2 ? xxRxA? ， ? ?mxRxB ? 1| ，且 Ax? 是Bx? 的充分不必要条件， BA? ，则 3?m ；故选 A 3 D 解析： 3xy? 是奇函数，? ? ? 0),ln ( 0,ln|ln xxxxxy是偶函数，且在区间 ),0( ? 上单 调递增， xxy cos)2sin( ? ? 是偶函数，且在 ),0( ? 单调递减，在 )2,( ? 单调递增， 12?
10、 xy 是偶函数，且 12? xy ；故选 D 4 A 5 C 解析：由茎叶图，得甲组数据共 5 个，且中位数为 15，所以 5x? ，乙组数 据的平均值 9 1 5 1 8 (1 0 ) 2 4 1 6 .85 y? ? ? ? ? ?，解得 8y? ，故选 C。 6 A 解析：点 ? ?8 , 3Pm? , 264 9rm? ? ?，284c o s 56 4 9mm? ? ? ? ?， 即 2264 1664 9 25mm ?.解得 2 14m? . 4cos 05? ? ? ?, 8 0, 0mm? ? ? ?.所以12m? 7 B 8 C 9. D 解析：令 4?x ，则 )2()0
11、( ?ff ? ，即 ab? ，则 直线 0? cbyax 的斜率为1?bak ，其倾斜角为 43? ；故选 D 10 A 11. A 设椭圆的长半轴长为 1a ，双曲线的实半轴长为 2a ，焦点坐标为 )0,(c? ，由椭圆与双曲线的定义得 121 2aPFPF ? ， 221 2aPFPF ? ，由勾股定理得 22221 4| cPFPF ? 联立方程得 22221 2caa ? ，即 2112221 ?ee- 7 - 由均值不等式得 2)11(211222121 ? eeee，由于 21 1 ee ? ，则 )2,1(1121 ?ee12. D 解：令 yxbyxa 2, ? ，则 14
12、1 ?ba ， 0, ?ba ，则 32bayx ? 3 24924931)41()2(31 ? abbababa 当且仅 当 ab 2? 取等号 13 025 ?yx 14 32? 解析：设四面体为 ABCD，过点 A作 ?AO 平面 BCD ，则 O 为 BCD? 的中心 3 32,36 ? OAOB ，设四面体外接球的半径为 R ，由勾股定理得222 )( ROAOBR ? ，解得 23?R ， ? 2334 3 ? RV 15. )71,74( 解析：设 ),(),( 2211 yxByxA ， AB 的中点坐标为 ),( 00 yx ，代入双 曲线方程化简得8421 2121 21
13、? xx yyxx yy，则 00 4yx ? ，又 12 00 ? xy ，联立方程即可得。 16 222 ayx ? 解析：延长 NF2 交直线 MF1 于 A点，则 MN 是 AF2 的垂直平分线，则 MAMF?2 ，由椭圆的定义得 aAF 21? ,又 ON 是 AFF 21? 的中位线，则 aON? 17 解：（）由题设知 1 4 2 3 8a a a a? ? ? ? ? 1分 又 149aa?，可解得 1418aa? ?或 1481aa? ?（舍去） ? 3分 由 341a aq? 得公比 2q? ? 4分 故 111 2nnna a q ?, *Nn? ? 6分 . （） 1
14、(1 ) 211n nn aqS q? ? ? 8分， 又 111 1 111n n nnn n n n n na S Sb S S S S S S? ? ? ? ? ? ? 10 分， 所以12 1 2 2 3 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1. . . ( ) ( ) . . . ( )nn n n nT b b b S S S S S S S S? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?- 8 - 111 21n? ? 12分 18 解 （ 1）由 0mn? ，得 ? ?c o s 2 c o s 0c B b a C? ? ?， 由正弦定理可得 ? ?s in c o
15、s s in 2 s in c o s 0C B B A C? ? ?， ? 2分 sin 2sin cos 0A A C?， ? 4分 sin 0A? ， 1cos 2C? ， ? ?0,C ? ， 3C ? 6分 （ 2） AD DB? ， ,2C D C A C B C D C D C A C B? ? ? ? ?， 又 7 , 2 3CD c?，两边平方： 2 2 2 2 24 2 c o s 2 8C D b a a b C b a a b? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 22 c o s 1 2c a b a b C a b a b? ? ? ? ? ? ? ? 8分 由
16、 可得 8ab? ? 10 分 ， 1 sin 2 32ABCS ab C? ?. ? 12 分 19解 ：（ 1）由题意得 10a+0.0110+0.0210+0 .0310+0.03510=1 ，所以 a=0.005 ? 2分 （ 2）由直方图分数在 50， 60的频率为 0.05， 60， 70的频率为 0.35， 70， 80的频率为0.30， 80， 90的频率为 0.20， 90， 100的频率为 0.10，所以这 100 名学生期中考试数学成绩的平均分的估计值为：550.05+650.35+750.30+850.20+950.10=74.5 ? 6分 （ 3）由直方图，得：第 3
17、 组人数为 0.3100=30 。 第 4 组人数为 0.2 100=20 人，第 5 组人数为 0.1100=10 人所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6名学生，第 3、 4、 5组分别抽取 3人、 2人、 1 人设第 3 组的 3位同学为 A1， A2， A3，第 4组的 2位同学为 B1， B2，第 5组的 1位同学为 C1，则从六位同学中抽两位同学有 15 种可能如下： （ A1， A2），（ A1， A3），（ B1， B2），（ A2， A3），（ A1， B1），（ A1， B2），（ A2， B1），（ A2， B2），（ A3， B1），（ A3 ， B2 ），（ A1 ， C1 ），（ A2 ， C1 ），（ A3 ， C1 ），（ B1 ， C1 ），（ B2 ，C1）， ? 9分 其中恰有 1人的分数不低于 90（分）的情形有：（ A1， C1），（ A2， C1），（
