1、12.5 因式分解 第12章 整式的乘除 1. 提公因式法 学习目标 1.理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系.（重点） 2.理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式.（难点） 导入新课导入新课 复习引入 运用前面所学的知识填空： (1) m(a+b+c)= ； (2) (x+1)(x-1)= ； (3) (a+b)2 = . ma+mb+mc x2 -1 a2 +2ab+b2 讲授新课讲授新课 因式分解 一 把下列多项式写成乘积的形式 都是多项式化为几个整式 的积的形式 (1) ma+mb+mc=( )( ) (2) x2 -1 =( )( ) (3) a2 +2a
2、b+b2 =( )2 m a+b+c x+1 x-1 a+b 定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因 式分解，也叫做把这个多项式分解因式. x2-1 (x+1)(x-1) 因式分解 整式乘法 x2-1 = (x+1)(x-1) 等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的 乘积 想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？ 是互为相反的变形，即 在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 ，不是的，请说明原 因. 1 x 辨一辨： am+bm+c=m(a+b)+c 24x2y=3x 8xy x2-1=(x+1)(x-1) (2x+1)2=4x2+4x+1 x2+
3、x=x2(1+ ) 2x+4y+6z=2(x+2y+3z) 最后不是积的运算 因式分解的对象是多项式，而不是单项式 是整式乘法 每个因式必须是整式 因式分解之基本方法提公因式法 二 多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式. 相同因式p 这个多项式有什么特点？ pa+pb+pc 例1 找 3x 2 6 xy 的公因式. 系数：最大公约 数 3 字母：相同的 字母 x 所以公因式是3x. 指数：相同字母的最 低次幂 1 典例精析 正确找出多项式各项公因式的关键是： 1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数. 2.定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 3.定指数
4、：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂. 知识要点 提公因式法 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多 项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因 式法. ( a+b+c ) pa+ pb +pc p = 找一找: 下列各多项式的公因式是什么？ 3 a a2 2(m+n) 3mn -2xy (1) 3x+6y (2)ab-2ac (3) a 2 - a 3 (4)4 (m+n) 2 +2(m+n) (5)9 m 2n-6mn (6)-6 x 2 y-8 xy 2 (1) 8a3b2 + 12ab3c； 例2 把下列各式分解因式：
5、分析：提公因式法步骤（分两步） 第一步:找出公因式； 第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积. (2) 2a(b+c) - 3(b+c). 注意：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式. 整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法. 解：（1） 8a3b2 + 12ab3c =4ab2 2a2+4ab2 3bc =4ab2(2a2+3bc)； 如果提出公因式4ab,另一 个因式是否还有公因式？ 另一个因式将是2a2b+3b2c, 它还有公因式是b. （2） 2a(b+c)-3(b+c) =(b+c)(2a-3). 如何检查因式分 解是否正确？ 做整式乘法运算. 把
6、12x2y+18xy2分解因式. 解：原式 =3xy(4x + 6y). 错误 公因式没有提尽，还可以提出公因式 2 注意：公因式要提尽. 正确解：原式=6xy(2x+3y). 小明的解法有误吗？ 思 考 当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式 后剩余的项是1. 注意：某项提出莫漏1. 解：原式 =x(3x-6y). 把3x2 - 6xy+x分解因式. 正确解：原式=3x x-6y x+1 x =x(3x-6y+1). 小亮的解法有误吗？ 提出负号时括号里的项没变 号 把 - x2+xy-xz分解因式. 解：原式= - x(x+y-z). 注意：首项有负常提负. 正确解：原式= - (x2-
7、xy+xz) =- x(x-y+z) 小华的解法有误吗？ 当堂练习当堂练习 1.把下列各式分解因式： (1)8 m2n+2mn； (2)12xyz-9x2y2； (3)p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 )； (4) -x3y3-x2y2-xy. 2mn(4m+1)； 3xy(4z-3xy)； (a2+b2)(p-q)； -xy(x2y2+xy+1). 2.分解因式：(x-y)2+y(y-x). 解法1：(x-y)2+y(y-x) =（x-y）2-y(x-y) =(x-y)(x-y-y) =(x-y)(x-2y). 解法2：(x-y)2+y(y-x) =（y-x)2+y(y-x) =
8、(y-x)(y-x+y) =(y-x)(2y-x). 99 99 + 99 =9900. 117 259259259 3515 117 259259259 3515 （1） 99299. （2） = 99 (99+1) 解：原式= 117 259+ 3515 （） =2591 =259; 解：原式= 3.计算： 7 259; 15 4.计算（-2）101+（-2）100 5.已知: 2x+y=4,xy=3,求代数式2x2y+xy2的值. 解：原式=（-2）100 （-2+1） =2100 （-1） =-2100. 解：2x2y+xy2=xy(2x+y)=3 4=12. 课堂小结课堂小结 因式 分解 定义定义 am+bm+mc=m(a+b+c) 方法方法 提 公 因 式 法 公式法 确定公因式的方法：三定，即定系数；定 字母；定指数 分两步： 第一步找公因式；第二步提公因式 （下节课学习） 注意注意 1.分解因式是一种恒等变形； 2.公因式：要提尽； 3.不要漏项； 4.提负号，要注意变号
