1、13.3 等腰三角形 第13章 全等三角形 1.等腰三角形的性质 学习目标 1.理解并掌握等腰三角形的性质.(重点) 2.经历等腰三角形的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题.(难 点) 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶 角，腰和底边的夹角叫做底角. A C B 腰腰 腰腰 底边底边 顶 角 顶 角 底角底角 底角底角 导入新课导入新课 复习引入 剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角形的大小和形状可以 不一样，如图，把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD.你能发现什么 现象吗？ 讲授新课讲
2、授新课 做一做 D A B C A BC D 等腰三角形的性质 一 1.等腰三角形是轴对称图形. 我们可以得出结论： A C B D 折痕AD所在直线是等腰三角形的对称轴. 你还有新的发现吗？ B，C 是等腰三角形的 . 底角 B C 所以我们可以描述为: 等腰三角形的两个底角相等. 2. 探究归纳 等腰三角形的性质： 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角等边对等角”）. 已知：如图，ABC 中，AB=AC,求证：B=C . 证明：作顶角BAC的平分线AD. 在ABD与ACD中， ABAC（已知），）， 12（已证）， ADAD（公共边），）， ABD ACD（S.A.S.），）， B
3、C. A B C D 1 2 分析：由上述操作可以得到启发，即添加等腰三角形的顶角平 分线AD，然后证明ABD ACD. 从这里你还可以得到什么结论? 例1 已知：在ABC中 ，AB=AC， B=80 ，求 C和 A的大小. A B C ( =80( ABAC CB 已知）, 等边对等角）. =180 ( 180 =180( =1808080 =20 . ABC ABC 又三角形的内角和 等于）, 等式的性质） 解： 典例精析 想一想： 刚才的证明除了能得到BC ，你还能发现什么? 重合的线段 重合的角 A B D C ABAC BDCD ADAD B C BAD CAD ADB ADC =9
4、0 性质性质 等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线，互相重合（简称 “三线合一”）. . A B C D 1 2 填一填:根据等腰三角形性质完成下列填空. 在ABC中， AB=AC时， （1）AD是底边上的高， _ = _，_= _. (2) AD是中线， _ ，_ =_. (3) AD是角平分线， _ _ ，_ =_. 1 2 2 BD CD AD BC BD 1 BC AD CD 例2 在ABC中 ，AB=AC，D是BC边上的中点，B=30. 求：（1） ADC的大小；（2）1的大小. A D C 1 2 (2)1 +B +ADB=180 （三角形内角和等于180）， B=30 （已知
5、）， 1=180-B-ADB =180-30-90=60. ADBC(等腰三角形 “三线合一”). ADC =ADB=90(垂直的定义). 解：(1) AB = AC，BD=DC（已知）， B 因为等边三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质得到， B C， 同理可得 AB 所以 ABC， 又由 ABC180， 从而推出 ABC60. 也就是说：等边三角形的各个角都相等，并且每一个角 都等于60. 三条边都相等的三角形是等边三角形，它也是轴对称图形，那么等边三角形的 每个角的度数是多少呢？它有几条对称轴？ A C B 等边三角形的三条边都相等，三个角都相等， 也称为正三角形. 三
6、条对称轴 等边三角形的性质 二 A B C D 例3 如图，在ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求ABC各角 的度数. （1）找出图中所有相等的角； （2）指出图中有几个等腰三角形？ A=ABD, C=BDC=ABC； ABC, ABD, BCD； A B C D x 2x 2x （3）观察BDC与A，ABD的关系，ABC、C呢？ BDC= A+ ABD=2 A=2 ABD, ABC= BDC=2 A, C= BDC=2 A； （4）设A=x,请把 ABC的内角和用含x的式子表示 出来. A+ ABC+ C=180 ， x+2x+2x=180 . A B C D 解：A
7、B=AC，BD=BC=AD， ABC=C=BDC， A=ABD. 设A=x,则BDC= A+ ABD=2x, 从而ABC= C= BDC=2x, 于是在ABC中，有A+ABC+C=x+2x+2x=180 ， 解得x=36 . 在ABC中，A=36，ABC=C=72. x 2x 2x 当堂练习当堂练习 1. 如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数. A B C 120 A B C 36 B=C = 72 B=C = 30 2.(1)等腰三角形一个底角为为75, ,它的另外两个角为 ； (2)等腰三角形一个角为36, ,它的另外两个角为 _； (3)等腰三角形一个角为120, ,它的另
8、外两个角为 . . 75, 30 72,72或36,108 30，30 结论:在等腰三角形中,注意对角的分类讨论. 顶角+2底角=180 顶角=1802底角 底角=（180顶角）2 0顶角180 0底角90 A C B D 3. 如图，是西安半坡博物馆屋顶的截面图，已经知道它的两边AB和AC是相等的.建 筑工人师傅对这个建筑物做出了两个判断: 工人师傅在测量了B为37以后，并没有测量C ，就说C 的度数也是37; 工人师傅要加固屋顶，他们通过测量找到了横梁BC的中点D，然后在AD两点之间 钉上一根木桩，他们认为木桩是垂直横梁的. 请同学们想想,工人师傅的说法对吗？请说明理由. 课堂小结课堂小结 等腰三角形的 性质 等 边 对 等 角 等 边 三 角 形 注意是指同一个三角形中 注意是指顶角的平分线、底边上的高和中线 才有这一性质.而腰上高、中线和底角的平 分线不具有这一性质. 三线合一 有三条对称轴，每个内角等于60.
